Психологические науки
 Скачать 483.78 Kb.
|
|
39 Научный поиск: личность, образование, культура, №4(42) 2021 Научный поиск: личность, образование, культура. 2021. № 4. С. 39–47. Scientific search: personality, education, culture.2021. no. 4. pp. 39–47. ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ НАУКИ Научная статья УДК 159.955:372.851 ББК 88.835.13+74.262 https://doi.org/10.54348/2021.4.6 Формальная логика как механизм восхождения на теоретический уровень мышления Сергей Рувимович Когаловский Ивановский государственный университет, Иваново, Россия, askogal@yandex.ru Аннотация. Каковы роли формально-логических средств в процессах формирования и освое- ния ведущих понятий школьного курса математики? Эти вопросы мы анализируем на примере процесса формирования понятия предела числовой последовательности. Описываемый процесс широко использует средства логической семантики. Формальная логика в нем функционирует как семантико-синтаксический инструмент, как неразделимое единство синтаксического и семантиче- ского планов при ведущей роли семантического плана, а значит, при ведущей роли смыслового начала и тем самым при ведущей роли механизмов понимания. Идеальный мир, в который погру- жается рассмотрение «очищающими» средствами формальной логики, становится идеальным по- лигоном для испытаний сформированного понятия на эффективность, для совершенствования его формы, для расширения возможностей его применения, для наращивания его «дальнодействия», для наращивания «дальновидения» субъекта поисково-исследовательской деятельности. Погруже- ние в такой «мир» несет возможность столкновений с качественно новыми ситуациями, возмож- ность конструировать и исследовать такие ситуации. Семантический инструмент преображает механизмы ориентировки и метаориентировки, преображает способ поисково-исследовательской деятельности. Он превращает формальную логику в носитель креативности, в орудие более дале- ко идущего развития математических способностей учащихся, а с ним их общего интеллектуаль- ного развития. Ключевые слова:обучение математике, эмпирическое мышление, теоретическое мышление, формальная логика, логическая семантика, смысловые скачки, преображение способа мышления. Для цитирования: Когаловский С. Р. Формальная логика как механизм восхождения на тео- ретический уровень мышления // Научный поиск: личность, образование, культура. 2021. № 4. С. 39–47. https://doi.org/10.54348/2021.4.6 Original article Formal logic as a mechanism of exaltation to the theoretical level of thinking Sergey R. Kogalovsky Ivanovo State University, Ivanovo, Russia, askogal@yandex.ru Abstract. What is the role of formal-logical means in the processes of formation and development of the leading concepts of school mathematics course? We analyze these questions on the example of the formation of the concept of the limit of a numerical sequence. Logical semantics is widely used in the described process. Formal logic acts in it as a semantic-syntactic tool, as an inseparable unity of syntac- tic and semantic plans with the leading role of the semantic plan and, consequently, with the leading role of the semantic principle and, consequently, with the leading role of understanding mechanisms. The ideal world into which consideration is immersed with the help of “cleansing” means of formal logic becomes an ideal testing ground for testing the formed concept for efficiency, for improving its form, for expanding possibilities of its application, for increasing its “range of action”, for increasing “range of vision" of the subject of search and research activity. Immersion in such a “world” brings the possibility ––––––––––– © Когаловский С. Р., 2021 40 Научный поиск: личность, образование, культура, №4(42) 2021 Актуальность. Каковы роли формально- логических средств в процессах формирования и освоения ведущих понятий школьного курса математики, являющихся его несущим карка- сом? Блокируют они развитие теоретического мышления учащихся или способствуют ему? Блокируют они творческое начало или способ- ствуют ему? Эти вопросы мы проанализируем здесь начальным образом на примере процесса формирования понятия предела (числовой) по- следовательности. Наши рассмотрения послу- жат и иллюстрациями к статье [Когаловский, 2021]. В силу ограниченности допустимого объ- ема статья будет носить конспективный харак- тер. Раскрытию ряда технических, и не только технических, деталей может помочь, например, обращение к статье [Когаловский, 2013] или к монографии [Когаловский, 2018], в которых содержатся сценарии таких процессов. В замет- ке приводятся несколько модифицированные фрагменты этих сценариев, сопровождаемые необходимыми комментариями, относящимися к названным вопросам. Методы и организация исследования. Описываемый в статье процесс восхождения к понятию предела последовательности, как и описываемые в [Когаловский, 2018] процессы восхождений к другим ведущим понятиям школьного курса математики, предстают в фор- ме сократических диалогов. Они подобны и процессам феноменологической редукции в смысле Гуссерля (см. [Когаловский, 2018, с. 161 -165]). Они выступают и как эффективные и «природосообразные» средства коммуникации в учебной деятельности, и как эффективные и «природосообразные» средства расширения и обогащения контекста рассмотрения, и как эф- фективные и «природосообразные» средства восхождения на метапредметные и метатеоре- тический уровни рассмотрения. Названному процессу предшествует созида- ние «предыстории» формируемого понятия как опыта деятельности на наивном уровне, осно- ванной на обращении к начальным, нечетким, синкретичным представлениям о предельном переходе, на рассмотрении последовательно- стей, подобных следующим: 1, 1/2, 1/3, …; 1, -1/2, 1/3, -1/4, …; 2/1, 3/2, 4/3, …; 0,1, 0,11, 0,111, 0,1111, …; 1, 2, 3, 4, …; 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, …; 1, -2, 1/2, 1/3, 1/4,… Урезание такого начала, его низведение до уровня предварительных пояснений несло бы трудно восполнимые потери в деле собствен- но математического и общего интеллектуаль- ного развития учащихся. Задача 1. Найти предел последовательно- сти с, образуемой из п оследовательн о- стей а: 1, 1/2, 1/3, … и b: 2/1, 3/2, 4/3, … сле- дующим образом: для всякого n между чле- ном с номером 2 n и следующим за ним членом последовательности а вставляется n-й член по- следовательности b. – Чем далее, тем все реже в последова- тельности с появляются члены последова- тельности b. И где-то очень далеко, там, где номера членов с не представимо огромны, чле- ны b появляются настолько редко, настолько исчезающе редко, что последовательность с почти не отличается от по следовательности а. Значит, она приближается к тому же чис- лу, что и а. То есть ее предел равен 0. – Хоть члены b появляются в с все реже, они появляются как угодно далеко. Какой бы огромный номер мы ни взяли, у последова- тельности с имеются члены с еще большими номерами, взятые из последовательности b. И чем далее, тем ближе такие члены к числу 1, а не к 0. Так что едва ли с имеет предел 0. – Может быть, предел с равен 1? – И на это не похоже. Ведь в этой после- довательности намного чаще появляются члены из а, которые становятся все ближе к 0, а не к 1. – А не являются ли и 0 и 1 ее пределами? – Но разве может последовательность одновременно приближаться к двум разным числам? – А разве наша последовательность не яв- ляется тому примером? – Может быть, кто-нибудь располагает убедительным доказательством истинности или ложности какого-нибудь из высказанных утверждений или предположений о сходимо- сти рассматриваемой последовательности? of encountering qualitatively new situations, the possibility of designing and exploring such situations. The semantic tool transforms the mechanisms of orientation and metaorientation, transforming the way we investigate. It transforms formal logic into a carrier of creativity, a tool for the larger development of students' mathematical abilities, and with them their general intellectual development. Keywords: teaching mathematics, empirical thinking, theoretical thinking, formal logic, logical se- mantics, semantic jumps, transfiguration of the method of thinking. For citation: Kogalovskii S. R. Formal logic as a mechanism of exaltation to the theoretical level of thinking. Nauchnyj poisk: lichnost', obrazovanie, kul'tura = Scientific search: personality, education, culture. 2021. no. 4. pp. 39–47. (In Russ). https://doi.org/10.54348/2021.4.6 41 Научный поиск: личность, образование, культура, №4(42) 2021 Никто? Чем же объясняется неумение ре- шить нашу задачу, не связанную с какими- либо техническими сложностями? Не тем ли, что наши представления о том, что такое предел последовательности, недостаточно четкие? Да и могут ли они стать достаточно четкими на базе рассмотрения лишь тривиальных ситуа- ций? Разве возможно приведение учащихся к осознанию необходимости строгости на базе столь скудного их опыта? (Здесь уместно вспомнить тезис Гераклита «Скот гонит к кор- му бич необходимости»). Не разумней ли либо с самого начала приоб- щить учащихся к строгому понятию предела последовательности, а затем наращивать опыт его использования, либо начинать с наращива- ния опыта использования первичных представ- лений о пределе последовательности, привлекая к рассмотрению нетривиальные ситуации? Первый из этих вариантов настолько же ши- роко распространен, насколько и непродукти- вен уже потому, что определение (строгого) понятия предела последовательности имеет вы- сокий уровень логической сложности. Слож- ность его освоения снимается процессом восхо- ждения к нему от начальных представлений о пределе последовательности. Такие процессы являются продуктивным и «природосообраз- ным» методом освоения ведущих математиче- ских понятий. Попытки же снятия названной сложности пояснениями на тривиальных при- мерах приводят лишь к формированию у уча- щихся начальных, наивных представлений о пределе последовательности, но не ведут к осознанию необходимости их уточнения и по- тому обращение к определению понятия преде- ла воспринимается ими как мертвый ритуал. Второй вариант приводит к существенному усложнению формирования начальных пред- ставлений учащихся о пределе последователь- ности. Он приводит к усложнению процесса восхождения к понятию предела последова- тельности от начальных представлений о преде- ле последовательности и не способствует по- стижению учащимися логики этого процесса. Задача 2. Пусть а и b – те же последователь- ности, что и в задаче 1. Найти предел последо- вательности d, строящейся так: в последова- тельности а между ее членами с номерами 2 1 и 2 1 +1 вставляется 10 первых членов последова- тельности b, между членами с номерами 2 2 и 2 2 +1 вставляется 10 2 следующих членов после- довательности b, между членами с номерами 2 3 и 2 3 +1 вставляется 10 3 следующих членов из b, и т.д. – Вставляемые в а блоки членов из b появля- ются все реже (так же, как члены геометриче- ской прогрессии 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 ,... все реже появ- ляются в последовательности 1,2,3,,...). Следова- тельно, чем дальше, тем все больше последова- тельность d становится похожей на последова- тельность a. Значит, у этих последовательно- стей предел один и тот же. – Но хоть блоки членов из b появляются в d все реже, они появляются бесконечно много раз, они появляются как угодно далеко. И чем далее, тем ближе члены из таких блоков к 1, а не к 0. Так что не похоже, что d имеет пре- дел 0. – К тому же хоть блоки из b появляются в d все реже, но они все длиннее. Каждый блок из b содержит большее число членов, чем число всех предшествующих ему членов из а. Так что чем дальше, тем последовательность d стано- вится все более похожей на b. А значит, ее пре- дел равен 1. – А может быть, и 0 и 1 являются ее пре- делами? – Но разве может последовательность одновременно приближаться к двум разным числам? – А разве наша последовательность не яв- ляется тому примером? – Все эти аргументы не позволяют ни до- казать, ни опровергнуть никакое из высказан- ных утверждений о последовательности d. Они ничем не лучше аргументов, высказанных при обсуждении задачи 1. А рассматриваемая задача тоньше. Не говорит ли это, и еще бо- лее явственно, о том, что наши представления о сходимости последовательности недоста- точно четкие, что необходимо их уточнение, их прояснение? Переходу к следующей стадии процесса (подобной эйдетической редукции по Гуссер- лю) предпошлем фрагмент статьи [Когаловский, 2021]: «Что такое касательная к линии в данной точке?», «Что такое вероят- ность события?», «Что такое предел последо- вательности?» – подобная постановка вопроса рождает смысловой скачок, несущий опредме- чивание деятельного, инструментального нача- ла и посредством этого погружение в про- странство более первичных, «корневых» зна- чений и смыслов. Это начало восхождения от обыденных представлений на уровень теорети- ческого мышления, становящееся и началом восхождения к работе формально-логических средств. Это начало восхождения к работе формально-логических средств, становящееся началом восхождения от обыденных пред- ставлений на уровень теоретического мышле- ния. Это начало овнешнения, начало опредме- 42 Научный поиск: личность, образование, культура, №4(42) 2021 чивания работы скрытых механизмов мышле- ния, прячущихся за эмпирической формой мышления. Это начало восхождения к строго- му понятию». – Попытаемся уточнить наши представле- ния о пределе последовательности. Что зна- чит, что последовательность f: f 1 , f 2 , f 3 , … имеет предел А? – То, что с возрастанием n ее члены, f n , становятся все ближе к А. – Как точнее выразить это условие, не ис- пользуя слово «становится», имеющее не впол- не четкий смысл? – Очень просто: чем больше номер п, тем ближе f n к А. – При таком понимании предела последова- тельности всякое число А, большее 1, является пределом последовательности 0,9, 0,99, 0,999… Ведь чем больше n, тем ближе f n к А. Но есте- ственно ли такое понимание предела? – Я имею в виду такое приближение f n к А, что f п становятся как угодно близкими к А. – Что значит «становятся как угодно близ- кими к А»? – Это значит, что все члены f, начиная с како- го-то, отличаются от А меньше чем на 0,1, то есть входят в 0,1-окрестность точки А, что все члены, начиная с какого-то, возможно, более дале- кого, входят в 0,01-окрестность точки А, что все члены, начиная с некоторого, возможно, намного более далекого, входят в 0,001-окрестность точки А, и т. д. – Короче говоря, это значит, что для всяко- го числа ε>0, каким бы малым оно ни было, все члены f, начиная с какого-то, входят в ε-окрестность точки А. Таким образом, уточненное выражение твоего понимания того, что такое предел после- дователь ности, следует сформулировать так: число А есть предел последовательности f, если 1) чем больше n, тем ближе f n к А; 2) для всяко- го числа ε>0, каким бы малым оно ни было, все члены f, начиная с какого-то, входят в ε- окрестность точки А. Это выражение достаточно разумного по- нимания предела последовательности. Приме- нительно ко многим значимым ситуациям оно может использоваться как определение поня- тия предела последовательности. Но все же является ли оно достаточно общим? Так, по- следовательность 1, 100, 1/2, 1/3, 1/4 … имеет предел 0 в самом естественном смысле. Но это не так в твоем понимании. – Ситуацию можно исправить, заменив ус- ловие 1) следующим: начиная с некоторого чле- на, с возрастанием n члены последовательно- сти становятся все ближе к А. – В результате твое понимание предела последовательности действительно стало бо- лее общим. Но стало ли оно достаточно об- щим? Так, последовательность имеет предел 0 в самом естественном смысле, но это не так в твоем новом понимании. – Эврика! Надо отбросить условие 1. И тогда новое понимание будет намного более широким, оставаясь при этом естествен- ным, отвечающим существу дела. – С этим должно согласиться. Итак при- мем следующее определение: Число А называется пределом последова- тельности f: f 1 , f 2 , f 3 , …, если для всякого чис- ла ε>0, каким бы малым оно ни было, все чле- ны f, начиная с какого-то, будут входить в ε- окрестность точки А, то есть будет выпол- няться неравенство |f n -А|< ε. Иными словами, число А называется пре- делом последовательности если для всякой окрестности точки А существует номер N такой, что все члены с номерами, большими N, входят в эту окрестность. Вот мы и пришли к четкому пониманию того, что такое предел последовательности, и к четкому описанию такого понимания. Его естественно принять в качестве определения понятия предела последовательности. Здесь уместно воспроизвести следующий фрагмент статьи [Когаловский, 2021]: «Сформированное … понятие – это модель представлений, являющихся его прототипом (и включающих неявные знания). Оно предстает как продукт выделения подходящей стороны дела в этих представлениях … как в объекте эмпирического исследования, выявляемой как «существо дела». Это есть теоретическое нача- ло, но не как противопоставляемое эмпирическо- му, а как «выращенное» в его лоне и предстаю- щее в эмпирической форме, но преображенное смысловым скачком. Это пока еще скрытое теоретическое начало, пребывающее в «потенциальной» форме. Ему еще предстоит актуализироваться с помощью нового смысло- вого скачка и проявиться как «явно» теорети- ческому началу. «Твердость и определенность» сформиро- ванного понятия открывают широкие возмож- ности использования формально-логических средств, а тем самым возможность развивать и испытывать на надежность создаваемые на такой базе орудия поисково-исследователь- ской деятельности». Естественно начать с испытания сформи- рованного понятия на работоспособность, ко- торое будет одновременно первичным его ос- воением. В процессе реализации сформиро- 43 Научный поиск: личность, образование, культура, №4(42) 2021 ванного понятия учащиеся приводятся к ус- мотрению качественно новых возможностей, которые оно несет, и осознанию того, что пре- ображенное понятие является продуктивной моделью представлений, послуживших его истоком. Начнем с вопроса о том, может ли последо- вательность иметь более одного предела. Пусть f – какая-нибудь последовательность. Допустим, что она имеет не равные преде- лы А 1 и А 2 . Тогда существуют непересекаю- щиеся окрестность U 1 точки А 1 и окрест- ность U 2 точки А 2 . Так как А 1 – предел f, то существует номер N 1 , такой, что все члены последовательности, номера которых больше N 1 , принадлежат U 1 . Так как А 2 – предел f, то существует номер N 2 такой, что все члены, номера которых больше N 2 , принадлежат U 2 Но тогда все члены, номера которых больше N 1 и N 2 , принадлежат и U 1 , и U 2 , что невоз- можно. Важным компонентом испытания сформиро- ванного понятия на работоспособность являет- ся возвращение к задачам 1 и 2 и их решение. – Обращение к определению понятия преде- ла последовательности делает ясным как ре- шить задачу 1. Никакое число k<1 не является пределом последовательности с. Действитель- но, если бы такое число было пределом этой последовательности, то любая окрестность k содержала бы все ее члены, начиная с некото- рого. Но у всякого такого числа имеется окре- стность, лежащая слева от точки 1, и ни один член последовательности, больший 1 (а таких членов бесконечно много - это все члены последовательности b), не входит в такую ок- рестность. Никакое число m 1 не является пределом этой последовательности, так как у всякого та- кого числа имеется окрестность, лежащая справа от 1/2, и ни один член последовательно- сти, не превосходящий 1/2 (а таких членов бес- конечно много - это все, кроме первого, члены последовательности а), не входит в такую ок- рестность. Таким образом, последователь- ность c не имеет предела. Аналогично доказы- вается, что и последовательность d из задачи 2 не имеет предела. Последующему рассмотрению естественно предпослать следующий фрагмент статьи [Когаловский, 2021]: «Сформированное понятие как строгое понятие несет в себе новый смысло- вой скачок, осуществимый при его применени- ях как «погружение» ставших привычными представлений и отвечающих им способов дей- ствий в новый, необозримый, трансценденталь- но идеальный мир, мир трансцендирований, идеальный по отношению к ставшему привыч- ным для учащихся математическому миру. Для его освоения необходимы формально- логические средства. Использование сформиро- ванного понятия само по себе еще не обеспечи- вает ни такого скачка, ни строгости. Но «очищающий» способ мышления, «настраивае- мый», порождаемый формальной логикой, пре- вращает это понятие в понятие иной природы, в понятие «трансцендентального» характера по отношению к освоенному до этого миру значе- ний и смыслов. Именно в рамках нового мира посредством использования формально- логических средств (включающих и обыденные логико-семантические средства) происходит переосмысление и более глубокое постижение сформи рованного понятия как продукта преоб- ражения способа мышления и самого предмета рассмотрения. Это начинается с испытания сформированного понятия на работоспособ- ность, являющегося одновременно первичным его освоением. Уже оно приводит учащихся к усмотрению качественно новых возможностей, несомых этим понятием, и к пониманию того, что строгость превращает его в эффективный метод» 1 Задача 3. Доказать, что сходимость последо- вательности f: f 1 , f 2 , f 3 , … к числу A равносиль- на сходимости к A последовательности g: f 2 , f 3 , f 4 , … Утверждение из задачи 3 может быть выра- жено так: сходится последовательность или расходится и то, каков ее предел (если она схо- дится), не зависит ни от какого ее члена. Это совершенно новая для учащихся ситуация, за- ставляющая настраиваться на существенно иной способ мышления. Предполагается ее об- суждение, направленное на акцентирование ка- чественно нового ее характера, а тем самым на лучшее постижение понятия сходимости и по- средством этого на лучшее освоение процедур исследования последовательностей на сходи- мость. Эта новая для учащихся ситуация выступает как ситуация парадоксальная: выходит, что свойство последовательности быть сходящейся не связано с ее «плотью»! Это похоже на улыб- ку чеширского кота. Независимость свойства последовательности быть сходящейся ни от какого ее члена, ни от какого ее начального куска означает, что оно есть свойство ее «хвостов» а n+1 , а n+2 , а n+3 ,…, свойство, общее для них, что это есть свойство совокупности всех ее «хвостов» 2,3 . Такое истол- кование свойства последовательности быть схо- дящейся несет «возвращение» ему 44 Научный поиск: личность, образование, культура, №4(42) 2021 «материального тела» и тем снимает его пара- доксальность. Далее предполагается обращение к понятию подпоследовательности и к задачам, подобным следующей: доказать, что сходимость последо- вательности равносильна сходимости всех ее подпоследовательностей. Решая задачи на отыскание пределов после- довательностей, мы осуществляем явным обра- зом взаимодействие интуитивного и рациональ- ного планов. Это ведет к развитию представле- ний о предельном переходе, венчающемуся их превращением в образное представление поня- тия предела. С обсуждения следующей задачи начинается переход к следующей стадии процесса (подобной трансцендентальной редукции в смысле Гуссерля). Задача 4. Каков предел последовательности 1,1,1,...? – Он равен 1. – Но разве эта последовательность прибли- жается к какому-нибудь числу? Она постоянна. Она ни к чему не приближается. – Если бы число 1 было пределом последова- тельности, то во всякую окрестность этого числа входили бы все члены последовательно- сти, начиная с некоторого. Но это действи- тельно так! Более того, во всякую окрест- ность точки 1 входят все члены последова- тельности, потому что все они равны 1. А это значит, что 1 есть предел нашей последова- тельности. – Но это утверждение противоречит здра- вому смыслу! Ведь наша последовательность постоянна, она ни к чему не приближается. А то, что последовательность имеет предел А, означает, что ее члены приближаются к А, что они становятся как угодно близкими к А. – Опять это «становится»! Как его выра- зить в форме, позволяющей осуществлять на- дежную проверку того, действительно ли по- следовательность «становится» все ближе к А? Обсуждения задач 1 и 2 убеждают в том, насколько ненадежными бывают суждения, основанные на интуитивных представлениях, и в том, насколько необходимой и продуктивной бывает строгость. – Значит ли это, что при решении математиче- ских вопросов необходимо отказываться от пред- ставлений и использовать лишь строгие определе- ния? – А откуда берутся строгие определения, строгие понятия и чему в реальности они со- ответствуют? Где в реальной жизни Вы виде- ли точки, прямые, плоскости, бесконечные по- следовательности? Разве не представления являются истоками этих и подобных понятий – Но, как бы там ни было, последователь- ность 1, 1, 1,… ни к чему не стремится! – Иначе говоря, определение понятия преде- ла последовательности не вполне соответствует Вашему (и не только Вашему) представлению о том, что значит, что последовательность имеет такой-то предел. – То есть что оно неудачно? Значит, его надо отбросить и заняться формированием удовлетворительного определения. – Но возможно ли сформировать такое четкое определение, которое во всем соответ- ствовало бы нашим разным, нашим размытым представлениям о пределе? Да и нужно ли это? Разве географическая карта местности беспо- лезна, поскольку она не тождественна самой этой местности? Разве чертеж узла машины бесполезен, поскольку он не «адекватен», не тождественен самому этому узлу? Чертеж – модель этого узла. А модель изучаемого объек- та и должна быть не «адекватной» ему для того, чтобы она могла быть эффективным средством его изучения, для того, чтобы в ней выпячивались интересующие нас стороны это- го объекта и чтобы при этом другие, вторич- ные, менее значимые, стороны дела их не зате- няли. – Таким образом, сформированное нами строгое понятие предела последовательности – это модель наших представлений о стремле- нии к пределу? – Да. И оценивать его следует как модель. Если это понятие помогает решать многие интересующие нас вопросы, если оно продук- тивно, то оно удовлетворительно как модель. Важно принимать во внимание, что мы го- ворим о таких моделях, которые являются иде- альными орудиями идеальных способов исследо- вания идеальных объектов, принадлежащих идеальным мирам. И постольку они являются необозримо широко применимыми и надежны- ми средствами исследования реального мира. Но исследование возможностей таких орудий и результатов их применения требует исполь- зования формально-логических средств. – Но для одного и того же объекта можно построить много разных моделей. – Да, это так. Нередко возникают пробле- мы выбора модели, многосторонних испытаний выбранной модели на продуктивность и ее со- вершенствования, то есть формирования более работоспособной ее модификации. – Как с этой точки зрения следует оценить понятие предела последовательности? 45 Научный поиск: личность, образование, культура, №4(42) 2021 – Для последовательностей (а п ), таких, что последовательности (|а п |) монотонны, начиная с каких-то номеров, строгое понятие предела вполне соответствует нашим интуитивным представлениям о пределе последовательно- сти. Но намного более существенно то, что по- луторавековой опыт истории математики подтвердил работоспособность, более того, продуктивность этого понятия. Как видим, обращение к метапредметным планам, более того, к плану метатеоретическо- му явилось средством достижения понимания учащимися рассмотренной ситуации. Анализ процессов учения показывает, что восхождения к метапредметным и метатеоретическим пла- нам, часто происходящее неосознанно, являют- ся широко действующими механизмами пони- мания. Процессы восхождения от интуитивных представлений к строгим понятиям активизиру- ют работу этих механизмов и ведут не просто к развитию понимания, но к формированию и развитию культурного и творческого понима- ния в смысле [Зинченко, 2002, с. 280-285]. Задача 5. Каков предел последовательности, строящейся так: между первым и вторым члена- ми последовательности 1, 1/2, 1/3, … вставляет- ся 10 новых членов, значения которых заключе- ны между 1 и 1/2, между вторым и третьим – 100 новых членов, значения которых заключе- ны между 1/2 и 1/3, между третьим и четвертым 1000 новых членов, значения которых заключе- ны между 1/3 и 1/4, и т. д. – Члены этой последовательности изменя- ются все медленней. Члены с огромными номе- рами изменяются ползуче медленно, непредста- вимо медленно. Представим автомат, совер- шающий переход от какого-либо ее члена к по- следующему за одну микросекунду. За сколько же триллионов триллионов лет он доберется до ее члена, равного 1/1000! Ни со временем, ни чем-либо другим в объективной реальности не соотносимо не только число микросекунд, не только число тысячелетий, но и число перио- дов существования метагалактик, необходи- мое для этого. Похоже, эта последователь- ность сходится к какому-то не очень малень- кому положительному числу. – Из определения понятия предела последо- вательности легко выводится, что она имеет предел 0. Твое предположение говорит о том, что ты основываешься на нечетких начальных представлениях о пределе последовательно- сти, а не на сформированном понятии предела, которое не во всем отвечает этим представ- лениям. Это понятие как и само понятие (бесконечной) последовательности относится к идеальному миру. И потому здесь необходимо обращаться к этому, строгому, понятию и к идеальным, формально-логическим средствам анализа рассматриваемой ситуации. – Но не говорит ли все это о том, что поня- тие предела последовательности слишком об- щее? Не порождает ли это слишком большой его объем, а с ним и большие логические (и не только логические) трудности? – Обсуждению этих вопросов было бы есте- ственно предпослать исследование того, оп- равдано ли понимание натурального ряда как содержащего такие непредставимо огромные чис ла, а тем более как неограниченно продол- жимого. Но это надолго увело бы нас от пред- мета изучения. Возвратимся к поставленным вопросам (которые, впрочем, тоже требуют глубокого исследования). Прежде всего, заметим, что всякое общее понятие (об объеме которого имеет смысл говорить) имеет «неоправданно» большой объем. И его оправдание, прежде всего, в его содержании. Но не менее важно и то, что исследования тонких вопросов, связан- ных с моделями фундаментальных математи- ческих понятий, входящими в их «неоправданно» большие объемы, способст- вуют не просто, не только развитию матема- тического мышления, но открытию продук- тивных методов, обогащающих как «чистую», так и прикладную математику. Об этом свиде- тельствует история математики. Задача 6. Имеет ли предел последователь- ность, строящаяся так: ее первый член равен 1, десять следующих равны 2, сто следующих равны 3, тысяча следующих равны 4, и т. д.? Мне кажется, что сформированное по- нятие предела последовательности явля- ется не излишне общим, а недостаточно общим. Рассмотрим, например, последова- тельность, строящуюся из последова- тельности 1, 1/2, 1/3, 1/4 … так: после деся- того, сотого, тысячного и т. д. ее членов вставляется 1 (в качестве 11-го, 101-го, и т. д. членов). Эта последовательность не имеет предела в смысле принятого определения. Но ведь члены ее, равные 1, попадаются все реже и реже. Они становятся исчезающее редкими, и эта последовательность становится все более похожей на последовательность 1, 1/2, 1/3, 1/4…. Разве не естественно видеть в ней последовательность, имеющую пре- дел 0? Разве не естественней исходить из более общего понимания предела последова- тельности? – Вот как, например, можно строго опреде- лить близкое к этому четкое понимание пре- 46 Научный поиск: личность, образование, культура, №4(42) 2021 дела последовательности. Пусть f: f 1 , f 2 , f 3 , … – какая- нибудь последовательность, А – какое -нибудь число, ε – положительное число. f n (А, ε) будет обозначать долю тех членов f среди первых n ее членов, которые входят в ε-окрестность точки А. Будем говорить, что f р-сходится к А или что А является р-пределом f, если для всякого ε последова- тельность f 1 (А, ε), f 2 (А,ε), f 3 (А,ε), … имеет предел 1. (Нетрудно убедиться в том, что рассмотренная тобою последовательность имеет p-предел 0). Каждое укоренившееся математическое понятие является орудием поисково- исследовательской деятельности. И разные понятия предела последовательности пред- ставляют разные орудия разных форм и на- правлений математической деятельности, подобно тому, как для больших или меньших углублений в земле или в каменных породах используют в одних случаях лопаты, в других экскаваторы, в третьих – буры. Естествен- но ли, продуктивно ли всегда для таких целей использовать какое-то одно из этих орудий? Множество видов математической дея- тельности, в которых естественно и продук- тивно использовать различные виды, различ- ные подобия стремления к пределу, чрезвы- чайно широко. И потому естественна задача формирования общего понятия предела (функции). Существует много вариантов ре- шения этой задачи, имеющих разные степени общности. Применение какого-либо из них к какой-либо конкретной ситуации обычно требует приспособления формы представле- ния этого варианта к этой ситуации, то есть представления его в виде «лопаты», «экскаватора» или «бура». Результаты исследования. Описанный процесс освоения понятия предела широко использует разные последовательности, раз- ные характеры их сходимости и расходимо- сти. Тем самым он широко использует средст- ва логической семантики. В таком процессе «формальная логика функционирует как се- мантико-синтаксический инструмент, как не- разделимое единство синтаксического и се- мантического планов при ведущей роли семан- тического плана, а значит, при ведущей роли смыслового начала и тем самым при ведущей роли механизмов понимания» [Когаловский, 2021]. Идеальный мир, в который погружается рассмотрение «очищающими» средствами формальной логики, «становится идеальным полигоном для испытаний сформированного понятия на эффективность, для совершенст- вования его формы, для расширения возмож- ностей его применения, для наращивания его «дальнодействия», для наращивания «дально- видения» субъекта поисково-исследователь- ской деятельности. Погружение в такой «мир» несет возможность столкновений с качественно новыми ситуациями, возмож- ность конструировать и исследовать такие ситуации. Это несет развитие фантазии и во- ображения учащихся, развитие их способно- стей к креативности, к рефлексии. Это несет развитие их способностей к использованию и развитию самого осваиваемого понятия как орудия поисково-исследовательской деятель- ности и как «средства производства» таких орудий. Это ведет к общему математическо- му их развитию, а тем самым к общему ин- теллектуальному развитию» [Когаловский, 2021]. Выводы. Семантический инструмент преображает механизмы ориентировки и ме- таориентировки, преображает способ поиско- во-исследовательской деятельности. Он пре- вращает формальную логику в носитель креативности, в орудие более далеко идуще- го развития математических способностей учащихся, а с ним их общего интеллектуаль- ного развития. Примечания 1 Конечно, использование определения сформированного понятия может происходить как формальная, как «техническая» процедура, без участия механизмов понимания, без соотнесе- ния особенностей рассматриваемой ситуации со сложившимися представлениями. В результате учащийся остается в рамках прежних представлений. 2 Такое истолкование обсуждаемой ситуации подобно тому, как парадокс «Стрела» Зенона разре- шается истолкованием движения, относящегося к тому или иному моменту времени, как характери- стики, относящейся к совокупности всех (временных) окрестностей этого момента. 3 Заметим также, что такое истолкование свойства последовательности несет потенцию вос- хождения к понятию предела по фильтру, а тем самым восхождения на топологический уро- вень рассмотрения. 47 Научный поиск: личность, образование, культура, №4(42) 2021 Список источников Зинченко В. П. Психологические основы педагогики (психолого-педагогические основы построения систе- мы развивающего обучения Д. Б. Эльконина-В. В. Давыдова). Москва: Гардарики, 2002. Когаловский С. Р. Онтогенетический подход к обучению школьников математике. Иваново : Ивановский государственный ун-т, 2018. 316 с. Когаловский С. Р. Понятие модели и математика // Школьные технологии. 2013. № 4. С. 49-59. Когаловский С. Р. Формальная логика как носитель креативности // Вестник Ивановского государственного университета. Серия «Гуманитарные науки». 2021. № 3. С. 134–145. References Zinchenko V. P. Psychological foundations of pedagogy (psychological and pedagogical foundations of building a system of developing education by D. B. Elkonin-V. V. Davydova). Moscow: Gardariki, 2002. (In Russ). Kogalovsky S. R. Ontogenetic approach to teaching mathematics to schoolchildren. Ivanovo: Ivanovo State Uni- versity, 2018. 316 p. (In Russ). Kogalovsky S. R. Concept of model and mathematics. Shkol'nye tekhnologii = School technologies. 2013. no. 4. pp. 49-59. (In Russ). Kogalovsky S. R. Formal logic as a carrier of creativity. Vestnik Ivanovskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya “Gumanitarnye nauki” = Bulletin of the Ivanovo State University. Series “Humanities”. 2021. no. 3. pp. 134-145. (In Russ). Статья поступила в редакцию 24.11.2021; одобрена после рецензирования 24.12.2021; принята к публикации 27.12.2021. The article was submitted 24.11.2021; approved after reviewing 24.12.2021; accepted for publication 27.12.2021. |