Главная страница
Навигация по странице:

  • «Начала» Евклида

  • Основные постулаты Евклида

  • Пятый постулат

  • Абсолютная геометрия

  • Попытки доказательства

  • проект. проект Пяты постулат. Пятый постулат Евклида


    Скачать 6.02 Mb.
    НазваниеПятый постулат Евклида
    Анкорпроект
    Дата12.06.2022
    Размер6.02 Mb.
    Формат файлаpptx
    Имя файлапроект Пяты постулат.pptx
    ТипДокументы
    #586044
    Творчески проект по геометрии на тему: Пятый постулат Евклида

    Выполнила ученица 8 а класса: Беломестнова Екатерина

    Руководитель: Елистратова Людмила Юрьевна
    Введение

    Знания основ геометрии стали необходимы человечеству по мере развития хозяйственных отношений, сопровождавшихся разделением земельных угодий и строительством различных сооружений. Зародившаяся как чисто прикладная наука, геометрия постепенно приняла характер системы знаний, опирающейся на логические доказательства, а потому отлично подходившей для тренировки ума. Именно по этой причине древнегреческие мыслители считали обязательным этапом овладения философской мудростью постижение геометрического доказательного метода.

    Актуальность данной темы: Использование материалов проекта полезно для самообразования. Работа над проектом вызывает интерес к геометрии, её истории, а также создает условия для расширения и углубления знаний.

    Цель проекта: Расширение знаний, изучение исторического материала, связанного с проблемой параллельности.

    Задачи проекта:
    • Собрать и проанализировать как можно больше литературы о пятом постулате Евклида в различных источниках.
    • Формирование навыка работы по проектной методике.

    • Формирование навыков оформления проектов с использованием мультимедийных технологий.



      Объект исследования: Пятый постулат Евклида.

      Проблема: Узнать что такое пятый постулат и рассмотреть попытки доказательства .

    Геометрия повсюду

    Только глазом проведёшь

    И примеров сразу уйму

    Ты вокруг себя найдёшь.

    Столик, стулья и кровати,

    Одеяла и матрас.

    И все эти атрибуты – геометрия как раз.

    Где и что расставить в доме

    Новосёлу выбирать!

    Геометрия поможет

    Всё понять и разобрать
    Евклид

    Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математики. В трудах Евклида дано систематическое изложение т. н. евклидовой геометрии, система аксиом которой опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: "точка лежит на прямой, на плоскости", "точка лежит между двумя другими".

    Первым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются “Начала”. В “Началах” был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы).
    «Начала» Евклида

    В течение многих веков «Начала» Евклида были единственной книгой, по которой изучалась геометрия. С 1482 года она выдержала более 500 печатных изданий на всех языках мира.«Начала» состоят из тринадцати книг. Каждая книга начинается определением всех терминов, которые появляются впервые. В первой книге сформулированы 35 определений, а также аксиомы и постулаты.

    Определения:
    • Точка есть то, что не имеет частей.
    • Линия есть длина без ширины.
    • Концы линии суть точки.
    • Прямая есть линия, которая одинаково расположена относительно лежащих на ней точек.




    Основные постулаты Евклида
    • Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую;
    • Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо;
    • Из любого центра можно описать окружность любого радиуса;
    • Все прямые углы равны;
    • И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороны, с которой эти углы составляют меньше двух прямых.
    Аксиомы

    Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. Аксиомы у Евклида – это общие достояния ума, истины, которые признаются всяким человеком, которыми человек руководствуется в любом рассуждении:

    1. Равные одному и тому же равны между собой.

    2. И если равным прибавить равные, то получаются равные.

    3. И если от равных отнять равные, то получаются равные.

    4. И совмещающиеся друг с другом равны.
    Пятый постулат

    Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, более простых и очевидных. Поэтому в течение двух тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида». Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.
    Равносильные формулировки постулата о параллельных прямых

    В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, равносильная 5 постулату и принадлежащая Проклу - античный философ-неоплатоник, руководитель Платоновской Академии, при котором неоплатонизм достиг своего последнего расцвета. Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных, он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи.

    Постулат Прокла

    Вообще у 5 постулата имеется огромное количество равносильных формулировок, многие из которых сами по себе кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них:
    • Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.
    • Существуют подобные, но не равные треугольники .
    • И здесь достаточно, чтобы существовала хотя бы одна пара таких треугольников.
    • Любую фигуру можно пропорционально увеличить. Если прямые параллельны, то при пересечении их третьей прямой соответственные углы равны.
    • Через точку, лежащую вне данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (предложение Прокла-Плейфера).
    • Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой пересекаются (предложение Туси-Лежандра).

    Равносильность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять 5 постулат, и наоборот, заменив 5 постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный 5 постулат как теорему.

    Если вместо 5 постулата допустить, что для пары точка — прямая 5 постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского. Понятно, что в геометрии Лобачевского все равносильные утверждения неверны.
    • сумма углов треугольника равна 180°,
    • во всех треугольниках сумма углов одна и та же,
    • через любую точку внутри угла можно провести секущую, пересекающую обе стороны угла,
    • существуют два подобных, но не равных треугольника,

    Эквиваленты пятому постлату
    Абсолютная геометрия

    Если из списка аксиом исключить 5 постулат, то полученная система аксиом будет описывать так называемую абсолютную геометрию. В частности, первые 28 теорем «Начал» Евклида доказываются без использования 5 постулата и поэтому относятся к абсолютной геометрии.
    Попытки доказательства

    Математики с давних времён пытались «улучшить Евклида» — либо исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы, либо заменить его другим, столь же очевидным, как другие постулаты. Надежду на достижимость этого результата поддерживало то, что 4 постулат Евклида (все прямые углы равны) действительно оказался лишним — он был строго доказан как теорема и исключён из перечня аксиом. За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата.
    Попытки доказательства

    Прокл в «Комментарии к I книге Начал Евклида» сообщает, что такое доказательство предложил Клавдий Птолемей, критикует его доказательство и предлагает своё собственное. В несколько упрощённом виде его можно описать так: пусть прямая b проходит через заданную точку A параллельно прямой a; докажем, что любая другая прямая c, проведенная через ту же точку, пересекается с прямой a. Как упоминалось выше, расстояние между прямыми от точки их пересечения возрастает неограниченно (ещё раз подчеркнём, что доказательство этой теоремы не опирается на 5 постулат). Но тогда в конце концов расстояние между c и b превысит расстояние между параллельными прямыми, то есть прямые c и a пересекутся.
    Попытки доказательства

    Приведенное доказательство опирается на допущение, что расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно (или, по крайней мере, ограничено). Впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно 5 постулату.

    Посидоний предложил определить параллельные как прямые, на всём протяжении равноудалённые друг от друга. Из такого определения легко выводится пятый постулат. Однако определение Посидония некорректно: ниоткуда не следует, что линия, равноудалённая от данной прямой, есть прямая.

    После упадка античной культуры 5 постулатом занялись математики стран ислама. Доказательство ал-Джаухари, ученика ал-Хорезми, неявно подразумевало: если при пересечении двух прямых какой-либо третьей накрест-лежащие углы равны, то то же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой. И это допущение равносильно 5 постулату.
    Попытки доказательства

    Ошибку сделал ибн ал-Хайсам, но он впервые рассмотрел фигуру, позже получившую название «четырёхугольник Ламберта» — четырёхугольник, у которого три внутренних угла — прямые. Он сформулировал три возможных варианта для четвёртого угла: острый, прямой, тупой. Обсуждение этих трёх гипотез, в разных вариантах, многократно возникало в позднейших исследованиях.

    В целом можно сказать, что все перечисленные попытки принесли немалую пользу: была установлена связь между 5 постулатом и другими утверждениями, были отчётливо сформулированы две альтернативы 5 постулату — гипотезы острого и тупого угла.
    Заключение

    В данном проекте был рассмотрен вопрос о пятом постулате Евклида. В проекте было представлены равносильные формулировки , абсолютная геометрия и попытки доказательства пятого постулата

    Значение геометрии огромно. Во-первых, все, что нас окружает, имеет геометрическую форму: микроволновая печь, глобус, шкатулка и многое другое. Во-вторых, люди, умеющие рассуждать и доказывать, могут самостоятельно находить выход из коварных жизненных ситуаций. Их трудно обмануть.

    А если на минуту представить, что геометрии не существует и ни один человек не подозревает о наличие геометрии, то неужели люди до сих пор жили бы в пещерах, ходили на охоту и одевались в шкуры животных?

    Из сказанного можно сделать вывод, что если бы люди не начали изучать геометрию, то прогресс и множество современных изобретений дались бы человечеству с большим трудом и возможно гораздо позже.

    Идут две параллели Откуда и куда? Быть может, что у цели Не быть им никогда. Но рядом плыть до гроба, Куда судьба ведёт, Решили друга оба И твёрдо шли вперед, И вот года проходят, Ряд долгих лет и зим. Два странника все бродят, Им вечно быть двоим Близки и неразлучны, И стали уставать Быть рядом неотлучно, Видать, да не достать. Придут ли в бесконечность И будет ли дано, Хоть погрузившись в вечность Двум слиться им в одно?


    написать администратору сайта