проект. проект Пяты постулат. Пятый постулат Евклида
 Скачать 6.02 Mb.
|
|
Творчески проект по геометрии на тему: Пятый постулат Евклида Выполнила ученица 8 а класса: Беломестнова Екатерина Руководитель: Елистратова Людмила Юрьевна Введение Знания основ геометрии стали необходимы человечеству по мере развития хозяйственных отношений, сопровождавшихся разделением земельных угодий и строительством различных сооружений. Зародившаяся как чисто прикладная наука, геометрия постепенно приняла характер системы знаний, опирающейся на логические доказательства, а потому отлично подходившей для тренировки ума. Именно по этой причине древнегреческие мыслители считали обязательным этапом овладения философской мудростью постижение геометрического доказательного метода. Актуальность данной темы: Использование материалов проекта полезно для самообразования. Работа над проектом вызывает интерес к геометрии, её истории, а также создает условия для расширения и углубления знаний. Цель проекта: Расширение знаний, изучение исторического материала, связанного с проблемой параллельности. Задачи проекта:
Формирование навыков оформления проектов с использованием мультимедийных технологий. Объект исследования: Пятый постулат Евклида. Проблема: Узнать что такое пятый постулат и рассмотреть попытки доказательства . Геометрия повсюду Только глазом проведёшь И примеров сразу уйму Ты вокруг себя найдёшь. Столик, стулья и кровати, Одеяла и матрас. И все эти атрибуты – геометрия как раз. Где и что расставить в доме Новосёлу выбирать! Геометрия поможет Всё понять и разобрать Евклид Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математики. В трудах Евклида дано систематическое изложение т. н. евклидовой геометрии, система аксиом которой опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: "точка лежит на прямой, на плоскости", "точка лежит между двумя другими". Первым систематическим изложением геометрии, дошедшим до нашего времени, являются “Начала”. В “Началах” был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы). «Начала» Евклида В течение многих веков «Начала» Евклида были единственной книгой, по которой изучалась геометрия. С 1482 года она выдержала более 500 печатных изданий на всех языках мира.«Начала» состоят из тринадцати книг. Каждая книга начинается определением всех терминов, которые появляются впервые. В первой книге сформулированы 35 определений, а также аксиомы и постулаты. Определения:
Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. Аксиомы у Евклида – это общие достояния ума, истины, которые признаются всяким человеком, которыми человек руководствуется в любом рассуждении: 1. Равные одному и тому же равны между собой. 2. И если равным прибавить равные, то получаются равные. 3. И если от равных отнять равные, то получаются равные. 4. И совмещающиеся друг с другом равны. Пятый постулат Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, более простых и очевидных. Поэтому в течение двух тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида». Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Равносильные формулировки постулата о параллельных прямых В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, равносильная 5 постулату и принадлежащая Проклу - античный философ-неоплатоник, руководитель Платоновской Академии, при котором неоплатонизм достиг своего последнего расцвета. Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных, он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи. Постулат Прокла Вообще у 5 постулата имеется огромное количество равносильных формулировок, многие из которых сами по себе кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них:
Равносильность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять 5 постулат, и наоборот, заменив 5 постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный 5 постулат как теорему. Если вместо 5 постулата допустить, что для пары точка — прямая 5 постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского. Понятно, что в геометрии Лобачевского все равносильные утверждения неверны.
Эквиваленты пятому постлату Абсолютная геометрия Если из списка аксиом исключить 5 постулат, то полученная система аксиом будет описывать так называемую абсолютную геометрию. В частности, первые 28 теорем «Начал» Евклида доказываются без использования 5 постулата и поэтому относятся к абсолютной геометрии. Попытки доказательства Математики с давних времён пытались «улучшить Евклида» — либо исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы, либо заменить его другим, столь же очевидным, как другие постулаты. Надежду на достижимость этого результата поддерживало то, что 4 постулат Евклида (все прямые углы равны) действительно оказался лишним — он был строго доказан как теорема и исключён из перечня аксиом. За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата. Попытки доказательства Прокл в «Комментарии к I книге Начал Евклида» сообщает, что такое доказательство предложил Клавдий Птолемей, критикует его доказательство и предлагает своё собственное. В несколько упрощённом виде его можно описать так: пусть прямая b проходит через заданную точку A параллельно прямой a; докажем, что любая другая прямая c, проведенная через ту же точку, пересекается с прямой a. Как упоминалось выше, расстояние между прямыми от точки их пересечения возрастает неограниченно (ещё раз подчеркнём, что доказательство этой теоремы не опирается на 5 постулат). Но тогда в конце концов расстояние между c и b превысит расстояние между параллельными прямыми, то есть прямые c и a пересекутся. Попытки доказательства Приведенное доказательство опирается на допущение, что расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно (или, по крайней мере, ограничено). Впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно 5 постулату. Посидоний предложил определить параллельные как прямые, на всём протяжении равноудалённые друг от друга. Из такого определения легко выводится пятый постулат. Однако определение Посидония некорректно: ниоткуда не следует, что линия, равноудалённая от данной прямой, есть прямая. После упадка античной культуры 5 постулатом занялись математики стран ислама. Доказательство ал-Джаухари, ученика ал-Хорезми, неявно подразумевало: если при пересечении двух прямых какой-либо третьей накрест-лежащие углы равны, то то же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой. И это допущение равносильно 5 постулату. Попытки доказательства Ошибку сделал ибн ал-Хайсам, но он впервые рассмотрел фигуру, позже получившую название «четырёхугольник Ламберта» — четырёхугольник, у которого три внутренних угла — прямые. Он сформулировал три возможных варианта для четвёртого угла: острый, прямой, тупой. Обсуждение этих трёх гипотез, в разных вариантах, многократно возникало в позднейших исследованиях. В целом можно сказать, что все перечисленные попытки принесли немалую пользу: была установлена связь между 5 постулатом и другими утверждениями, были отчётливо сформулированы две альтернативы 5 постулату — гипотезы острого и тупого угла. Заключение В данном проекте был рассмотрен вопрос о пятом постулате Евклида. В проекте было представлены равносильные формулировки , абсолютная геометрия и попытки доказательства пятого постулата Значение геометрии огромно. Во-первых, все, что нас окружает, имеет геометрическую форму: микроволновая печь, глобус, шкатулка и многое другое. Во-вторых, люди, умеющие рассуждать и доказывать, могут самостоятельно находить выход из коварных жизненных ситуаций. Их трудно обмануть. А если на минуту представить, что геометрии не существует и ни один человек не подозревает о наличие геометрии, то неужели люди до сих пор жили бы в пещерах, ходили на охоту и одевались в шкуры животных? Из сказанного можно сделать вывод, что если бы люди не начали изучать геометрию, то прогресс и множество современных изобретений дались бы человечеству с большим трудом и возможно гораздо позже. Идут две параллели Откуда и куда? Быть может, что у цели Не быть им никогда. Но рядом плыть до гроба, Куда судьба ведёт, Решили друга оба И твёрдо шли вперед, И вот года проходят, Ряд долгих лет и зим. Два странника все бродят, Им вечно быть двоим Близки и неразлучны, И стали уставать Быть рядом неотлучно, Видать, да не достать. Придут ли в бесконечность И будет ли дано, Хоть погрузившись в вечность Двум слиться им в одно? |