ТОЭ. Рабочая программа курса Теоретические основы электротехники. Рабочая программа курса Теоретические основы электротехники

• Название: Рабочая программа курса Теоретические основы электротехники
• Дата: 06.04.2022
• Размер: 6.63 Mb.
• Имя файла: Рабочая программа курса Теоретические основы электротехники.doc
• Тип: Рабочая программа; #447229
• страница: 5 из 7

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ

ОСОБЕННОСТЯХ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Классический метод расчета переходных процессов сводится к следующему:

1. На схеме цепи после коммутации указывают положительные направления токов в ветвях. Затем на основании законов Кирхгофа составляют систему уравнений для мгновенных значений токов и напряжений переходного режима. Так как падение напряжения на сопротивлении u_R=iR, на индуктивности u_L= Ldi/dt и на емкости u_C=1/Cidt , то по законам Кирхгофа будет составлена система интегрально – дифференциальных уравнений заданной цепи.

2. Полученную систему уравнений решают относительно искомой функции (тока или напряжения). В результате получают неоднородные линейные дифференциальные уравнения, порядок которых равен числу независимых реактивных элементов в схеме. В случае двух реактивных элементов в последовательной цепи получают дифференциальное уравнение a + b + ci = f(u) ,

где a,b,c - коэффициенты, зависящие от параметров цепи; f(u) - неоднородный член уравнения, зависящий от величины и формы приложенного к цепи напряжения.

3. Решают неоднородные дифференциальные уравнения, в результате чего находят искомый ток или напряжение переходного процесса.

Решение дифференциального уравнения складывается изобщего решения однородной части этого уравнения (правая часть равна нулю) и частного решения неоднородного уравнения, определяемого видом функции f(u).

Частное решение выражает принужденныйрежим, задаваемый источниками электрической энергии, а общеерешение – свободный режим. Таким образом ток переходного процесса i = i_пр + i_св , а напряжение u = u_пр + u_{св .}

Принужденныесоставляющие токов и напряжений совпадают с установившимися значениями этих величин после окончания переходных процессов.

Характер переходного процесса зависит от параметров цепи и определяется корнями характеристического уравнения ap² + bp + c = 0.

Если корни вещественные, отрицательные и разные (р₁0; р₂0), то режим будет апериодическим, а свободная составляющая тока запишется в виде .

Если корни комплексные и сопряженные (р₁= – + j₁; p₂= ‑ ‑ j₁), то в цепи будет колебательный режим, а свободная составляющая тока будет i_св = Ae^-t sin(₁t + ).

При наличии равных отрицательных корней (p₁= p₂=p 0) возникает критический режим, при котором свободный ток запишется в виде i_св = (A₁+ A₂t)e^pt.

Для определения постоянных интегрирования А; А₁; А₂;  необходимо определить ток и его производную в момент коммутации (t=0). Для этого сначала определяют начальные значения тока в индуктивном элементе и напряжения на емкостных элементах путем расчета цепи до коммутации и использования законов коммутации. Подставляя эти значения в исходные дифференциальные уравнения и полагая t=0, определяют начальные значения свободных составляющих токов.

Производная от тока в индуктивности находится непосредственно из уравнения, написанного для контура, в который входит ветвь с индуктивностью.

Производные от токов в других ветвях схемы определяются из уравнения, в котором нет ветви с индуктивностью, после его дифференцирования и перехода к t=0, причем напряжение на конденсаторе нужно писать в форме интеграла u_c = ,

что дает .

В некоторых случаях нужно использовать и первый закон Кирхгофа для производных от токов .

Корни характеристического уравнения находятся из входного сопротивления в операторной форме Z(p)=0.
Операторный метод расчета переходных процессов заключается в том, что функция f(t) (обычно ток i(t) или напряжения u(t) вещественного переменного t (времени), называемая оригиналом, заменяется соответствующей функцией F(р) комплексного переменного р, называемой изображением.

Указанные функции связаны соотношением , которое называется прямым преобразованием Лапласа. Сокращенно это записывается как _{ }.

При переходе к изображению дифференциальные и интегральные уравнения преобразуются в алгебраические.

Постоянное напряжение U будет записываться в операторной форме как U(p)=U/p.

Операторные сопротивления цепей записываются так же, как и сопротивления для тех же цепей в комплексной форме, в которых j заменено на р.

Так, для цепи, состоящей из последовательно включенных элементов R, L и С, операторное сопротивление имеет вид

Z(p ) = R + pL + .

Напряжения на сопротивлении U_R(p), индуктивности U_L(p) и емкости U_C(p) в операторной форме

U_R (p ) = R I (p ); U_L = p L I (p) – L i(0); U_C (p) = ,

где i (0) и U_C (0) – начальные значения тока в индуктивности и напряжения на емкости.

Уравнения для изображений тока и напряжения любой цепи могут быть получены по законам Ома и Кирхгофа, написанных для операторных схем замещения.

Полученную систему уравнений в операторной форме решают относительно изображения искомого тока или напряжения. В общем случае выражение для токов любой ветви в операторной форме имеет вид

I (p ) = ,

где F₁(p) и F₂(p) – алгебраические многочлены, степени которых соответственно m и n , причем m<n.

Переход от изображения к оригиналу осуществляется при помощи теоремы разложения: _{ },

где р_к – корни уравнения F₂( p ) = 0; n – число корней; F₁( p_k ) – значение функции при р = р_к ; F₂( p_k ) – значение производной функции F₂(p_k) при р = р_к.

3. Примеры выполнения заданий

контрольных работ




Рис. 5.1



Пример 1
Для электрической цепи (рис. 5.1):

1) составить систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, необходимую для определения токов во всех ветвях цепи;

2) найти токи во всех ветвях цепи, пользуясь методом контурных токов;

3) определить показание вольтметра и составить баланс мощностей для заданной схемы;

4) определить ток в резисторе R₆ методом эквивалентного генератора;

5) в схеме с эквивалентным генератором заменить резистор R₆ нелинейным элементом, сопротивление которого задано выражением _{ }, где I – ток через элемент (А), T – температура элемента (ºС);

6) для полученной цепи, используя ранее определенные параметры эквивалентного генератора, рассчитать и изобразить на одном координатном поле вольт-амперную характеристику нелинейного элемента и нагрузочную характеристику эквивалентного генератора, по которым определить ток через нелинейный элемент и напряжение на нем.
Исходные данные: Е₁=5 В; Е₂=16 В; Е₃=30 В; R₀₁=0,4 Ом; R₀₃=0,7 Ом;

R₁=6 Ом; R₂=4 Ом; R₃=3 Ом; R₄=2 Ом; R₅=5 Ом; R₆=3 Ом; T=25 ºС.
Решение
1. В рассматриваемой цепи 6 ветвей с неизвестными токами, поэтому для определения всех неизвестных токов в ветвях по законам Кирхгофа необходимо составить систему из 6-ти уравнений. Поскольку в цепи 4 узла, то по 1-му закону Кирхгофа необходимо составить уравнения для трех любых из этих узлов, предварительно произвольно выбрав положительные направления токов во всех ветвях. В рассматриваемом примере выбраны узлы а; в; с. По второму закону Кирхгофа составляются еще 3 уравнения для произвольно выбранных таким образом контуров, чтобы они охватывали все ветви схемы. В рассматриваемом примере выбраны 3 внутренних контура с направлением положительного обхода по часовой стрелке. В соответствии с принятыми условиями система уравнений по законам Кирхгофа записывается как:

_{ }.

2. Для определения токов во всех ветвях схемы по методу контурных токов необходимо составить систему с числом уравнений, равным количеству уравнений, составляемых по 2-му закону Кирхгофа. Для этого следует выбрать соответствующее число контуров обхода так, чтобы они охватывали все ветви и положительные направления контурных токов (произвольно). В рассматриваемом примере выбраны 3 внутренних контура с положительными направлениями контурных токов (I₁₁; I₂₂; I₃₃;) по часовой стрелке (рис. 5.1). В соответствии с принятыми условиями система уравнений по методу контурных токов записывается как:



В матричной форме записи: _{ },

где _{ }; _{ };



Решение системы находится в виде:

_{ }.

Подставив численные значения коэффициентов и используя для вычислений MathCAD, можно определить значения контурных токов:

I₁₁=-4,969 A; I₂₂=-4,479 A; I₃₃=-3,233 A.

Фактические токи в ветвях:

I₁ = I₂₂ - I₁₁= 0,491 A; I₂ = - I₂₂ = 4,479 A; I₃ = - I₁₁= 4,969 A;

I₄ = I₃₃ - I₁₁= 1,736 A; I₅ = I₃₃ - I₂₂= 1,245 A; I₆ = - I₃₃= 3,233 A.

3. Показание вольтметра определяется по второму закону Кирхгофа, составленному для любого контура, замкнутого через вольтметр. Так, для контура, образованного резисторами R₁ R₄ и вольтметром, можно записать: _{ }.

Баланс мощностей:

– мощность, отдаваемая источниками ЭДС:

P_E= - E₁ I₁ + E₂ I₂+ E₃ I₃=218,282 Вт;

– мощность, рассеиваемая на резистивных элементах:

P_R= I₁²(R₁+R₀₁)+I₂²R₂+I₃²(R₃+R₀₃)+I₄²R₄+I₅²R₅+I₆²R₆=218,282 Вт.

Поскольку P_E=P_R, баланс мощности соблюдается и токи найдены верно.

4 . Для определения тока в резисторе R₆ методом эквивалентного генератора необходимо сначала определить параметры эквивалентного генератора. ЭДС эквивалентного генератора определяется как напряжение между точками подключения резистора R₆ при его отсутствии (рис. 5.2). Для нахождении токов холостого хода I_2XX; I_3XX целесообразно воспользоваться методом двух узлов, чтобы определить напряжение между узлами U_db:



Подстановка численных значений дает

U_db=9,636 В.

Токи в ветвях





Рис. 5.2
Откуда U_CA=E_ЭГ=I_2XXR₅+I_3XX R₄=21,387 В.

С опротивление эквивалентного генератора определяется как входное сопротивление схемы со стороны точек СА при отсутствии источников ЭДС. Данный расчет можно выполнить, используя методы преобразования электрических цепей. Также сопротивление эквивалентного генератора можно найти через ток его короткого замыкания. Для определения тока короткого замыкания эквивалентного генератора можно воспользоваться системой уравнений для расчета всех токов по методу контурных (п. 2) токов, приняв R₆=0. В результате расчета с применением MathCAD получается I_6k=5,916 А. При этом сопротивление эквивалентного генератора определяется как

R_ЭГ=E_ЭГ/I_6k=21,387/5,916=3,615 Ом.


Рис. 5.3
Для нахождения тока в резисторе R₆ по методу эквивалентного генератора с найденными параметрами используется схема, приведенная на рис. 5.3. При этом ток резистора R₆ определяется как

Так как значения I₆, найденные по методу контурных токов и методу эквивалентного генератора, совпадают, то расчет выполнен верно.

5. В результате замены резистора R₆ нелинейным элементом схема с эквивалентным генератором преобразуется к виду, представленному на рис. 5.4.

6 . Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента может быть построена с помощью MathCAD по выражению _{ }. Подстановка значения температуры дает:

_{ }

Нагрузочная характеристика эквивалентного генератора строится по выражению _{ }.


Рис. 5.4
Построенные с использованием MathCAD характеристики приведены на рис. 5.5. Точка пересечения этих характеристик дает решение задачи. Таким образом, в результате графического решения задачи искомое напряжение на нелинейном элементе составляет U_НЭ≈18 В, а ток через нелинейный элемент I_НЭ≈1,02 А.



Рис. 5.5


Для проверки правильности графического решения, можно продублировать его, используя возможности численного решения систем уравнений программным комплексом MathCAD. Для этого необходимо задать начальные приближения искомых величин, найденные графически и решить, используя функцию Find, следующую систему уравнений относительно величин U_НЭ; I_НЭ:

e^10,5Iнэ–2500Uнэ=0;

Uнэ–IнэRэг=Еэг.

Проведенное решение дает следующие результаты:

U_НЭ=17,7 В; I_НЭ≈1,019 А.

Полученные численным методом значения искомых величин незначительно отличаются от значений, полученных графически, что свидетельствует о правильности расчета.

Пример 2
Д ля электромеханического устройства (рис. 6.1) определить:

– напряжение и число витков обмотки, выполненной из медного провода заданного диаметра, необходимые для гарантированного притягивания подвижной части магнитопровода к неподвижной;

– напряжение обмотки с определенными в п.1 параметрами, при котором произойдет отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной.
Исходные данные:

• 
  геометрические параметры магнитопровода: L₁=50 мм; L₂=20 мм; а₁=5 мм; а₂=3 мм; а₃=4 мм;δ=0,1 мм;
  
• 
  диаметр провода обмотки d=0,8 мм;
  
• 
  сила тяги пружины F=12Н;
  
• 
  кривая намагничивания подвижной части магнитопровода задана табл. 2.1.1;
  
• 
  кривая намагничивания неподвижной части магнитопровода задана рис. 2.4.
  

Решение
1. Определим недостающие геометрические параметры магнитопровода:

Средняя длина подвижной части магнитопровода:

L₃=L₁+ а₃=50+4=54 мм.

Площади поперечных сечений магнитопровода:

S₁= a₁a₃=54=20 мм²;

S₂= a₂a₃=34=12 мм²;

S₃= aa₃=44=16 мм²;

S_δ= S₂=12 мм².

Гарантированное притягивание подвижной части магнитопровода к неподвижной произойдет при силе тяги электромагнита, превышающей силу тяги пружины.

Сила тяги электромагнита: _{ },

где _{ } – индукция в воздушном зазоре площадью S_δ .

Таким образом, требуемая минимальная индукция воздушного зазора:

_{ }.

Магнитный поток воздушного зазора:

_{ }.

При пренебрежении магнитными потоками рассеяния выполняется условие постоянства магнитного потока во всех элементах мангитопровода, который равен магнитному потоку в воздушном зазоре.

Исходя из условия Ф=const, величины магнитных индукций в ферромагнитных элементах магнитопровода определим как:

В₁=Ф_δ/S₁=1910^-6/2010^-6=0,95 Тл;

В₂=Ф_δ/S₂=1910^-6/1210^-6=1,585 Тл;

В₃=Ф_δ/S₃=1910^-6/1610^-6=1,1875 Тл.

П
о кривой намагничивания неподвижного магнитопровода определяем величины напряженности магнитного поля, соответствующие найденным индукциям на участках магнитной цепи (рис. 6.2).


Рис. 6.2



Таким образом, Н₁=7700 А/м; Н₂=15500 А/м.

Напряженность магнитного поля в подвижной части магнитопровода определяем по табл. 2.1.1. При этом зависимость напряженности от индукции магнитного поля между двумя соседними столбцами таблицы можно считать линейной:

Н=с₁+с₂В.

Коэффициенты с₁ и с₂ определим, решив систему:

_{ },

где Н1=400 А/м; Н₂=1200 А/м; В₁=1,15 Тл; В₂=1,4 Тл.

Тогда:

_{ };

_{ }.

Напряженность магнитного поля в подвижной части магнитопровода определим как

_{ }.

Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре

_{ }.

Запишем закон полного тока для рассматриваемой магнитной цепи, образованной магнитопроводами с обмоткой, разделенными воздушным зазором:

IW=2H_δδ+H₁L₁+2H₂L₂+H₃L_3.

Таким образом, требуемая МДС:

IW=(212613030,1+770050+21550020+52054)10^-3=1285 A.

Поперечное сечение провода обмотки диаметром 0,8 мм:

_{ }.

Номинальный ток обмотки:

_{ }.

Требуемое число витков обмотки:

_{ }.

Принимаем большее целое значение числа витков W=1030.

Длина провода обмотки определяется как произведение длины одного витка на количество витков с учетом 20% технологического запаса



Сопротивление обмотки: _{ }.

Минимальное требуемое напряжение на обмотке определяем по закону Ома:

U=IR=1,250,9=1,125 В.

Таким образом, гарантированное притягивание подвижной части магнитопровода к неподвижной будет происходить, если на магнитопроводе выполнить обмотку из 1030 витков медного провода диаметром 0,8 мм и подключить ее к источнику ЭДС величиной 1,2В.

2. Гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной произойдет при силе тяги пружины, превышающей силу тяги электромагнита.

Поскольку сила тяги пружины не зависит от ее длины, а сила тяги электромагнита не зависит от величины воздушного зазора, то критические значения индукций и напряженностей магнитного поля в различных элементах рассматриваемой магнитной цепи равняются определенным в п.1 значениям.

Запишем закон полного тока для рассматриваемой магнитной цепи, образованной магнитопроводами с обмоткой, при отсутствии воздушного зазора:

IW=H₁L₁+2H₂L₂+H₃L_3.

Минимальная МДС, при которой сохраняется притяжение подвижной части магнитопровода к неподвижной:

IW=(770050+21550020+52054)10^-3=1033 A.

Минимальный ток обмотки

_{ }.

Напряжение на обмотке, соответствующее минимальному току, определяем по закону Ома:

U=I_minR=1,0030,9=0,903 В.

Таким образом гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной будет происходить при снижении напряжения, питающего обмотки ниже величины 0,9 В.

Пример 3



Рис. 7.1
Приемник (рис. 7.1), соединенный в “звезду” без нулевого провода, питается от сети с линейным напряжением 208 В.

Сопротивления фаз обмоток приемника:

Z_A = (8 + j6) Ом; Z_B = (8 – j6) Ом;

Z_C = 25 Ом.

Необходимо:

- определить фазные и линейные токи, активную, реактивную и полную мощности источников и приемника, а также коэффициент мощности приемника;

- рассчитать параметры цепи при обрыве фазы С и при коротком замыкании фазы а;

- построить для всех режимов топографические диаграммы напряжений и векторные диаграммы токов.
Нормальный режим работы
Фазное напряжение источника

Комплексы напряжений фаз источника

В;

В.

Комплексы проводимостей фаз генератора

Y_А См;

Y_B См;

Y_C Cм.

Комплекс напряжения смещения нейтрали



Комплексы фазных напряжений приемника.

=120-(43,2 – j74,8) =(76,8 + j74,8) = 107,2e^j4415 B;

=-60-j104-43,2+j74,8 = –103,2–j29,2=107,2e^{–j16345} =

=107,2e^{-j16345} B;

=(–60 + j104) – (43,2 – j74,8) = (–103,2 + j178,8) =

= 206,5e^j120 B.

Комплексы токов приемника

107,2e^j4415 0,1e^{–j3650} = 10,72e^j725 = (10,63 +j1,38) A;

107,2e^j196150,1e^j3650 = 10,72e^j2335 = (–6,5 –j8,53) A;

206,5e^j1200,04 = 8,26e^j120 = (–4,13 + j7,15) A.

Комплексы полной мощности фаз источника

107,2e^j441510,72e^{–j725} = 1149,18e^j3650=(919 +j690) BA;

107,2e^j1961510,72e^{–j2335}=1149,18e^{–j3650}=(919–j690)BA;

206,5e^j1208,26e^–j120 = 1705,7 BA.

Активные мощности фаз приемника

_{ }919 Вт.

_{ }919 Вт.

_{ } Вт.

Рективные мощности фаз приемника

_{ } ВАР.

_{ } ВАР.

_{ } ВАР.

Поскольку , то баланс мощности для каждой фазы соблюдается.

Мощности приемника:

• 
  активная P=P_a+P_b+P_c=919+919+1795,7=3543,7 Вт;
  
• 
  реактивная Q=Q_a+Q_b+Q_c=690-690+0=0 ВАР;
  
• 
  полная S = BA.
  

Рис. 7.2

Коэффициент мощности

приемника К_Р=Р/S=1.

Векторная диаграмма токов

и топографическая диаграмма

напряжений показаны на рис. 7.2.

Обрыв фазы С приемника




Рис. 7.3
При обрыве провода С (рис. 7.3)

Y_C = 0; I_C = 0.