Рабочая тетрадь 4,информатика. Рабочая тетрадь 4. Рабочая тетрадь 4

• Название: Рабочая тетрадь 4
• Анкор: Рабочая тетрадь 4,информатика
• Дата: 21.12.2021
• Размер: 104.57 Kb.
• Имя файла: Рабочая тетрадь 4.docx
• Тип: Документы; #311606
• страница: 1 из 3

Рабочая тетрадь № 4

Высказывание – это утверждение, которое может принимать два значения: истина, либо ложь. Если высказывание A ложно, то будем записывать A = 0, иначе A = 1. Математическая логика не касается вопросов ложности или истинности конкретных высказываний [1].Здесь высказывания X, Y, Z –переменные, которые могут быть ложными или истинными. Операции с переменными, принимающими такие значения, называются булевой алгеброй (алгеброй логики).

1. Теоретический материал

Пусть A и B – высказывания. С этими высказываниями можно выполнять следующие основные логические операции: отрицание «НЕ»: ¬A конъюнкция «И»: A&B дизъюнкция «ИЛИ»: A˅B импликация «следует»: A → B эквивалентность: A B. Элементарные логические операции 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 Приоритет выполнения операций: Сначала выполняются действия в скобках. Затем выполняется операция отрицания ( ), далее – конъюнкция ( ), дизъюнкция ( ), импликация ( ) и в последнюю очередь – эквивалентность ( ). Однотипные операции выполняются в порядке следования. Таблица истинности – это набор всевозможных комбинаций переменных с указанием значения логической формулы. Такая таблица, описывает логическую функцию.

2. Пример
Задача:
	Приведите таблицу истинности для следующего выражения B A B
Решение:
	A B B A ( B A) ( B A B 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
Задача:
	Для какого из представленных вариантов символьных строк следующее высказываниеявляется ложным: (Первая буква гласная) → ¬(Третья буква согласная)? 1) abedc; 2) babas; 3) becde; 4) abcab.
Решение:
	Логическое выражение является импликацией. Данная логическая функция ложна тольков том случае, когда из истинной левой части высказывания следует ложная правая часть. Левая часть будет истинной для вариантов один и четыре. Правая часть является отрицанием высказывания «третья буква согласная» (что эквивалентно высказыванию«третья буква гласная»). При этом правая часть ложна для вариантов два, три и четыре. Следовательно, правильный вариант расположен под номером 4.
Ответ:
	4
Задача:
	Какое из представленных выражений равносильно следующему: A ∨ ¬(¬B ∧ ¬C)? 1) ¬A∨¬B∨¬C; 2) A ∧ ¬(B ∧ C); 3) A∨¬B∨¬C; 4) A ∨ B ∨ C.
Решение:
	Задействуем законы де Моргана. Раскрыв скобки запишем: A∨ ¬(¬B∧ ¬C) = A∨ (¬¬B∨ ¬¬C). Теперь применим закон двойного отрицания: A∨ (¬¬B∨ ¬¬C) = A∨B∨C. Следовательно, правильный вариант четвертый.
Ответ:
	4
Задача:
	По заданному фрагменту таблицы истинности для выражения F определить, какое из перечисленных ниже логических выражений ему соответствует [5]. X Y Z F 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1) ¬X ∧ ¬Y ∧ Z; 2) X ∨ ¬Y ∨ ¬Z; 3) ¬X ∧ ¬Y ∧ Z; 4) ¬X ∨ ¬Y ∨ Z.
Решение:
	Подставим представленные значения X, Y и Z из таблицы во все варианты логических функций. Для первого выражения получим: ¬1 ∧ ¬0 ∧ 0 = 0 ∧ 1 ∧ 0 = 0; ¬0 ∧ ¬0 ∧ 1 = 1 ∧ 1 ∧ 1 = 1; ¬0 ∧ ¬1 ∧ 0 = 1 ∧ 0 ∧ 0 = 0. Для второго выражения получим: 1 ∧ 0 ∧ ¬0 = 1 ∧ 0 ∧ 1 = 0; 0 ∧ 0 ∧ ¬1 = 0 ∧ 0 ∧ 0 = 0; 0 ∧ 1 ∧ ¬0 = 0 ∧ 1 ∧ 0 = 0. Для третьего выражения получим: 1 ∨ ¬0 ∨ ¬0 = 1 ∨ 1 ∨ 1 = 1; 0 ∨ ¬0 ∨ ¬1 = 0 ∨ 1 ∨ 0 = 1; 0 ∨ ¬1 ∨ ¬0 = 0 ∨ 0 ∨ 1 = 1. Для четвертого выражения получим: ¬1 ∨ ¬0 ∨ 0 = 0 ∨ 1 ∨ 0 = 1; ¬0 ∨ ¬0 ∨ 1 = 1 ∨ 1 ∨ 1 = 1; ¬0 ∨ ¬1 ∨ 0 = 1 ∨ 0 ∨ 0 = 0. Таким образом, сопоставивприходим к выводу, что правильный вариант под номером один.
Ответ:
	1
Задача:
	Найдите наименьшее целое число x> 0, при котором логическое выражение (4 > –(4 + x) x) → (30 > x ⋅ x) является ложным?
Решение:
	Импликация ложна только в случае, если левая часть выражения истинна, а правая ложна. Рассмотрим левую часть. После преобразований можно записать квадратное неравенство x2 + 4x + 4 > 0 или (x + 2)2> 0. Поскольку x> 0, левая часть импликации истинна всегда. Выражение (30 >x⋅x) будет ложным для x > 5. (30 > 52, но 30 < 62). Следовательно наименьшее целое число x большее нуля, для которого высказывание ложно равно 6.
Ответ:
	6
Задача:
	Перед началом соревнованийтри зрителя высказали предположения по поводу победителей: Коля победит, Петя будет вторым; Петя– третий, Ваня– первый; Колябудет последним, а первым будет Женя. Когда турнир окончился, оказалось, что каждый из зрителей был прав только в одном прогнозе из двух. Какое место на соревнованиях заняли Женя, Ваня, Петя и Коля? В ответе перечислите места участников в указанном порядке имен.
Решение:
	Обозначим буквами предсказания каждого зрителя [5]. Первый: A — Коля победит; B — Петя второй. Второй: C — Петя третий; D — Ваня первый. Третий: E — Коля последний; F — Женя первый. Нетрудно заметить, что истинными одновременно не могут быть выражения B и C; A и E; A и D; A и F; D и F. Поскольку из условия известно, что в каждом из прогнозов одно высказывание ложно, а другое истинно, то получаем следующее: A¬B ∨ ¬AB = 1; C¬D ∨ ¬CD = 1; E¬F ∨ ¬EF = 1. Так как все условия должны быть истинными одновременно справедливо следующее выражение: (A¬B ∨ ¬AB)(C¬D ∨ ¬CD)(E¬F ∨ ¬EF) = 1. Раскроем скобки.Используя логические законы, рассмотренные ранее, получим: A¬BC¬DE¬F ∨ ¬ABC¬DE¬F ∨ A¬B¬CDE¬F ∨ ∨ ¬AB¬CDE¬F ∨ A¬BC¬D¬EF ∨ ¬ABC¬D¬EF ∨ ∨ A¬B¬CD¬EF ∨ ¬AB¬CD¬EF = 1. Учитывая, что BC = 0, AE = 0, AD = 0, AF = 0, DF = 0, получаем следующее: ¬AB¬CDE¬F = 1. Представленная конъюнкция равна единице, если все сомножители равны единице, следовательно: A = 0; B = 1; C = 0; D = 1; E = 1; F = 0. Вспоминая высказывания каждого из зрителей, получаем, что Петя — второй, Ваня — первый, Коля — последний, т. е. четвертый. Таким образом, Женя на третьем месте. Следовательно, правильный ответ — 3124.

Ответ:
	3124

3. Задания
1.	Задача:
		Составить таблицу истинности для выражений 1) AvB AB  2) v( ⊕B (⊕ – исключающее ИЛИ, сумма по модулю 2) 3) AvB C
	Решение:
		A B AvB AvB A AvB AB  0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 A B ( v( v( ⊕B 0 0 1 (1) 0 1 1 0 1 1 (0) 1 1 0 1 0 0 (0) 1 1 1 1 1 0 (1) 0 0 0 A B C AvB  AvB⇒C 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1