Рабочая тетрадь ТИ. РанхиГС
 Скачать 0.89 Mb.
|
|
1 ФАКУЛЬТЕТ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА РАНХиГС ____________________________________________________ «ТЕОРИЯ ИГР» (Рабочая тетрадь) Квалификация (степень) Бакалавр экономики К.ф.-м.н., доцент Чернова Мария Владимировна Москва 2014 2 ФАКУЛЬТЕТ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА РАНХиГС ____________________________________________________ «ТЕОРИЯ ИГР» (Рабочая тетрадь) Квалификация (степень) Бакалавр экономики К.ф.-м.н., доцент Чернова Мария Владимировна 3 Москва 2014 Составитель : к ф .- м н ., доцент Чернова М В Теория игр : рабочая тетрадь . - М .: Издательство « Дело » АНХ , 2014. Рабочая тетрадь содержит основы теоретического материала по теории игр , примеры решения типовых задач , задания для решения в аудитории и задания для самостоятельной подготовки Использование рабочей тетради ставит целью организовать работу студента над теоретическим материалом , систематизировать его работу в аудитории и при самостоятельной подготовке к занятиям путем системного обеспечения и организации тренингов для приобретения навыков решения задач по основным разделам курса 4 1. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В экономике часто приходится сталкиваться с ситуациями , в которых взаимодействуют несколько участников , преследующих различные цели , иногда противоположные , и эффективность действия каждого участника зависит от действий других Такие ситуации называют конфликтными ситуациями Теория игр представляет собой математический аппарат , используемый для анализа конфликтных ситуаций и принятия оптимальных решений Игра – математическая модель конфликтной ситуации Игроки – стороны , участвующие в ситуации , влияющие на действия и результаты других участников , имеющие интересы , не совпадающие с интересами других участников Ход – это выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление Стратегия – набор правил , определяющих выбор варианта действий при каждом ходе игрока , в зависимости от ситуации , сложившейся в результате проведения игры Оптимальной стратегией называется стратегия игрока , которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш Конечная игра – игра , в которой каждый игрок имеет конечное число возможных стратегий Игра с нулевой суммой – игра , в которой сумма выигрышей всех игроков в каждой ее партии равна нулю Антагонистической называется игра двух игроков с нулевой суммой ( интересы противоположны ). Матричная игра – это конечная антагонистическая игра , представленная в виде матрицы 1.2. МАТРИЧНАЯ ИГРА . ДОМИНИРУЮЩИЕ СТРАТЕГИИ В общем виде матричная игра двух игроков А и В может быть записана в виде платежной матрицы : 1 B 2 B … n B 1 A 11 a 12 a … n a 1 2 A 21 a 22 a … n a 2 .… … m A 1 m a 2 m a … mn a 5 В платежной матрице строки соответствуют стратегиям i A первого игрока , столбцы стратегиям j B второго игрока , а на пересечении строк и столбцов матрицы находятся элементы ij a , означающие выигрыши первого игрока и одновременно проигрыши второго Каждая стратегия i A или j B называется чистой стратегией соответствующего игрока Обычно считается , что у первого игрока m стратегий ( ) m i ,..., 2 , 1 = , а у второго игрока n стратегий ( ) n j ,..., 2 , 1 = В этом случае платежная матрица имеет размер n m × Для формализации реальной конфликтной ситуации в виде матричной игры надо выделить и перенумеровать чистые стратегии каждого игрока и составить платежную матрицу Иногда платежную матрицу , перед тем как искать решение игры , удается уменьшить путем отбрасывания заранее невыгодных стратегий Если в платежной матрице все элементы строки ( ) ln 2 1 ,..., , a a a A l l l = не меньше соответствующих элементов строки ( ) kn k k k a a a A ,..., , 2 1 = , по крайней мере , один строго больше , то строка l A называется доминирующей , а строка k A доминируемой Аналогично отношение доминирования определяется для столбцов Первому игроку невыгодно применять стратегии , которым соответствуют доминируемые строки , второму игроку невыгодно применять стратегии , которым соответствуют доминирующие столбцы Таким образом , перед решением игры из платежной матрицы можно удалить доминируемые строки и доминирующие столбцы Порядок удаления строк и столбцов значения не имеет Пример 1. Упростить платежную матрицу игры 4 1 8 2 3 10 3 2 4 1 2 0 10 1 6 6 3 9 5 4 Решение : Третий столбец доминирует по отношению к первому , а пятый и второй по отношению к четвертому Отбросим доминирующие столбцы : 1 3 3 1 0 6 3 4 В полученной матрице третья и четвертая строки доминируемые по отношению к первой строке Отбросим доминируемые строки : 0 6 3 4 Теперь первый столбец доминирует по отношению ко второму : 0 3 Отбрасываем доминируемую строку : ( ) 3 Задания для решения в аудитории Упростить платежные матрицы игр , вычеркнув заранее невыгодные стратегии 6 1. 5 2 3 6 6 4 2 8 9 8 6 7 7 3 4 8 . 2. 9 5 6 2 7 4 3 2 3 4 6 4 3 4 5 7 7 4 6 8 . 3. − − − − − 5 3 5 8 4 2 3 5 6 9 7 3 0 5 3 2 1.3. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХ Решение матричных игр базируется на пессимистическом критерии оптимальности , основанном на том , что игроки будут стремиться максимально уменьшить платежи друг друга Этот критерий оптимальности реализуется в поиске равновесия в осторожных стратегиях . Стратегия игрока является оптимальной , если применение этой стратегии обеспечивает ему наилучший гарантированный результат при всевозможных стратегиях другого игрока Прежде всего , равновесной является ситуация , когда при вычеркивании доминируемых строк и доминирующих столбцов остается один элемент В приведенном выше примере в результате такого вычеркивания остался один элемент , поэтому игроку A следует применять стратегию 1 A , а игроку B стратегию 4 B В этом случае говорят , что игра имеет решение в чистых стратегиях . Другой случай наличия решения в чистых стратегиях связан с наличием седловой точки Нижней ценой игры называется число ij j i a min max = α ( максимальный из минимальных элементов каждой строки платежной матрицы ). Нижняя цена игры показывает , какой минимальный выигрыш может гарантировать себе первый игрок , применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях второго игрока Верхней ценой игры называется число ij i j a max min = β ( минимальный из максимальных элементов каждого столбца платежной матрицы ). Верхняя цена игры показывает , каким числом второй игрок может ограничить выигрыш первого игрока применением своих стратегий Седловая точка – это пара чистых стратегий ( ) j i B A ; при которых достигается равенство : β α = Ценой игры называется общее значение верхней и нижней цен игры : β α = = v Поиск седловой точки и определение цены игры можно представить в виде следующей схемы : - 1 B 2 B … n B ij j a min α = ij j i a min max 1 A 11 a 12 a … n a 1 j a 1 min 2 A 21 a 22 a … n a 2 j a 2 min .… … … … … … m A 1 m a 2 m a … mn a mj a min ij i a max 1 max i a 2 max i a … in a max - - β = ij i j a max min - v = = β α 7 Решением игры в чистых стратегиях является седловая точка и соответствующая цена игры Если один из игроков придерживается стратегии , соответствующей седловой точке , то для другого игрока не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии В платежной матрице может быть несколько седловых точек , но все они имеют одинаковое значение Пример 2. Дана платежная матрица , которая определяет выигрыши игрока А Вычислить нижнюю и верхнюю цены игры : − − − 3 5 14 16 6 9 7 6 10 Решение : 1 B 2 B 3 B ij j a min α = ij j i a min max 1 A 10 6 7 6 6 = α 2 A -9 -6 16 -9 3 A 14 5 -3 -3 ij i a max 14 6 16 - - β = ij i j a max min 6 = β - 6 = v Таким образом ) , ( 2 1 B A - седловая точка , 6 = v - цена игры При выборе игроком A стратегии 1 A значение 6 = v - минимальный гарантированный выигрыш при любых стратегиях игрока B ( меньше не будет ). Аналогично , при выборе игроком B стратегии 2 B значение 6 = v - максимальный гарантированный проигрыш при любых стратегиях игрока A ( больше не будет ). Пример 3. Две телевизионные компании A и B планируют к размещению в эфире по две передачи : новостную и спортивную Новости компании A более популярны , чем новости компании B , но компания B готовит лучшие спортивные передачи Опросы показали , что если A и B одновременно размещают новостную программу , то доля аудитории составит 55% и 45% соответственно , если обе компании демонстрируют спортивную программу , то доля аудитории составит 44% и 56%. Если A показывает спорт в то время , как B - новости , доля аудитории каждой компании 50%. Если A показывает новости , B - спортивные репортажи , доля аудитории составит 52% и 48%. Решить игру Решение : Составим платежную матрицу , элементами которой являются выигрыши компании A Так как вся аудитория составляет 100%, то в качестве выигрышей компании A можно взять долю от всей аудитории , в зависимости от возможных решений компании B - - Компания B - - - - Новости Спорт ij j a min α = ij j i a min max Компания A Новости 0,55 0,52 0,52 Спорт 0,50 0,44 0,44 8 - ij i a max 0,55 0,52 - 52 , 0 = α - β = ij i j a max min 52 , 0 = β 52 , 0 = v Седловая точка - ) , ( 2 1 B A , 52 , 0 = v - цена игры Придерживаясь стратегий , соответствующих седловой точке , компания A привлечет гарантировано не менее 52% аудитории , а компания B гарантированно потеряет не поле 52% аудитории При выборе других стратегий возможен худший результат Пример 4. Два предприятия производят продукцию и поставляют её на рынок региона Они являются единственными поставщиками продукции в регион , поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из трёх различных технологий В зависимости от качества продукции , произведённой по каждой технологии , предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне 12, 8 и 4 денежных единиц соответственно При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции Затраты на единицу продукции , произведенной на предприятиях региона ( д . е .). Технология Цена реализации единицы продукции , ден ед Полная себестоимость единицы продукции , ден ед Предприятие A Предприятие B 1 12 8 10 2 8 5 4 3 4 2 1 В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию : X Y ⋅ − = 6 , 0 10 , где Y – количество продукции , которое приобретёт население региона ( тыс ден ед .), а Y – средняя цена продукции предприятий , ден ед Значения долей продукции предприятия A , приобретенной населением , зависят от соотношения цен на продукцию предприятия A и предприятия B В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены Доля продукции предприятия А , приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию Цена реализации 1 ед продукции , ден ед Доля продукции предприятия A , купленной населением Предприятие A Предприятие B 12 12 0,31 12 8 0,33 12 4 0,18 8 12 0,7 8 8 0,3 8 4 0,2 4 12 0,92 4 8 0,85 4 4 0,72 В задаче необходимо определить : 9 1. Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе технологий производства продукции обоими предприятиями ? 2. Существуют ли технологии , которые предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности ? 3. Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия ? Какое предприятие окажется в выигрышном положении ? Решение : Одной из главных задач каждого предприятия является максимизация прибыли от реализации продукции Но в данном случае более важной проблемой является конкурентная борьба В конкурентном конфликте выигрыш будет определяться не размером прибыли каждого предприятия , а разностью их прибылей При таком подходе конфликт можно рассматривать как матричную игру двух игроков с нулевой суммой , так как выигрыш одного предприятия равен проигрышу другого Формализуем конфликтную ситуацию – составим платежную матрицу Для этого определим стратегии каждого игрока : 1 A – предприятие A выбирает технологию 1 2 A – предприятие A выбирает технологию 2 3 A – предприятие A выбирает технологию 3 1 B – предприятие B выбирает технологию 1 2 B – предприятие B выбирает технологию 2 3 B – предприятие B выбирает технологию 3 Элементами платежной матрицы будет разность прибыли предприятия A и предприятия B Найдем 11 a ( выбраны стратегии 1 A и 1 B – оба предприятия реализуют продукцию по 12 ден ед .) Доход и затраты зависят от количества купленной населением продукции , которое определяется функцией спроса X Y ⋅ − = 6 , 0 10 Средняя цена на продукцию равна : ( ) 12 2 12 12 = + = X Значит , 8 , 2 12 6 , 0 10 = ⋅ − = Y ( тыс ед .) Из второй таблицы видно , что у предприятия A купят 31% от всей купленной населением продукции : 868 31 , 0 2800 = ⋅ ед Тогда у предприятия B купят 69% от всей купленной населением продукции : 1932 69 , 0 2800 = ⋅ ед Прибыль : ( ) 3472 868 8 12 = ⋅ − = A , ( ) 3864 1932 10 12 = ⋅ − = B в ден ед Тогда 392 3864 3472 11 − = − = a ден ед 392 , 0 − = тыс ден ед Аналогично находим все элементы платежной матрицы ( в тыс ден ед .): 1 B 2 B 3 B 1 A -0,392 -5,44 -9,048 2 A 6 -9,88 -11,52 3 A 8,736 7,04 4,56 1. Проверим наличие ситуации равновесия – седловой точки Для это найдем нижнюю и верхнюю цены игры 1 B 2 B 3 B ij j a min α = ij j i a min max 1 A -0,392 -5,44 -9,048 -9,048 10 2 A 6 -9,88 -11,52 -11,52 56 , 4 = α 3 A 8,736 7,04 4,56 4,56 ij i a max 8,736 7,04 4,56 - - β = ij i j a max min 56 , 4 = β - 56 , 4 = v В игре есть ситуация равновесия , ) , ( 3 3 B A - седловая точка , 56 , 4 = v - цена игры Это означает , что предприятиям необходимо использовать свои третьи технологии и минимальные цены реализации 2. Определим наличие заведомо невыгодных стратегий у предприятий Так как элементы третьей строки больше соответствующих элементов первой строки и второй строки , то стратегии 1 A и 2 A – заведомо невыгодные , так как предприятие A стремится максимизировать разницу прибылей Эти стратегии можно исключить : 1 B 2 B 3 B 1 A -0,392 -5,44 -9,048 2 A 6 -9,88 -11,52 3 A 8,736 7,04 4,56 Аналогично для предприятия B Все элементы третьего столбца меньше соответствующих элементов первого и второго столбцов , значит стратегии 1 B и 2 B – заведомо невыгодные ( доминируемые ). Их тоже тожно исключить : 1 B 2 B 3 B 1 A -0,392 -5,44 -9,048 2 A 6 -9,88 -11,52 3 A 8,736 7,04 4,56 3. В ситуации равновесия будет реализовано 7600 единиц продукции ( ( ) 6 , 7 2 / 4 4 6 , 0 10 = + ⋅ − = Y ). У первого предприятия купят 5472 ед продукции , а у второго 2128 ед продукции В выигрышном положении будет предприятие А |