Рабочая тетрадь ТИ. РанхиГС
 Скачать 0.89 Mb.
|
|
Задания для решения в аудитории 1. Рассматриваются две конкурирующие финансовые компании - A и B Компания B ведет переговоры с инициаторами трех инвестиционных проектов 1 B , 2 B , 3 B на предмет инвестирования , причем инвестиционный договор она может заключить только с одним из инициаторов проектов Задача компании B - положительный результат переговоров с каким - либо из инициаторов проектов Компания A ставит своей задачей свести переговоры компании B к отрицательному результату , с тем , чтобы занять место компании B в инвестировании Компания A для достижения своей цели может применить одно из двух средств : 1 A - предложить инициаторам проектов более выгодные условия по сравнению с компанией B ; 2 A - предоставить материалы , компрометирующие компанию B Действие 1 A компании A приводит к отрицательному результату переговоров компании B с инициаторами проектов 1 B , 2 B , 3 B соответственно с вероятностями 7 , 0 , 5 , 0 , 3 , 0 , а действие 2 A - с вероятностями 6 , 0 , 9 , 0 , 4 , 0 11 Смоделировать данную ситуацию , применяя в качестве модели антагонистическую игру и найти ее решение в чистых стратегиях 2. Для отопления коттеджа в зимний период используется уголь , цена на который зависит от времени года и характера зимы Летом тонна угля стоит 7,5 ден ед ., в мягкую зиму – 8,5 ден ед ., в обычную – 9 ден ед ., а в холодную – 9,5 ден ед Расход угля в отопительный сезон полностью определяется характером зимы : в мягкую зиму достаточно 6 т ., в обычную – 7 т ., холодную – 8 т Затраты домовладельца зависят от количества угля , запасенного им летом При необходимости недостающее количество угля можно приобрести и зимой , однако продать невостребованный уголь возможности не будет Представить ситуацию в виде игры и предложить оптимальное решение по закупке угля для домовладельца с точки зрения минимизации затрат на приобретение угля на год 3. Фермер решает засеять участок земли кукурузой Опыт других фермеров показывает , что при благоприятных условиях с 1 тонны кукурузных зерен в период сбора урожая собирается 20 тонн , при удовлетворительных – 10 тонн , а при плохих климатических условиях можно получить тоже количество кукурузы , которое было посажено Перед фермером стоит задача определить , сколько надо купить и посадить тонн кукурузы – две , четыре или шесть , чтобы иметь гарантированный доход 12 Задания для самостоятельной подготовки 1. Предположим , что Вы хотите вложить на фондовой бирже 10 тыс руб в акции компаний A и B Вероятность повышения ( понижения котировок ) не прогнозируется Прибыль от инвестиции за один год приведена в таблице При повышении котировок При понижении котировок Акции компании A -0,392 -5,44 Акции компании B 6 -9,88 Как бы Вы вложили деньги ? 2. В зависимости от характера зимы потребление мазута на теплоэлектростанции составляет 7, 8 и 9 тонн Отпускная цена мазута осенью – 4 ден ед за 1 тонну Если заготовленного мазута окажется недостаточно , то придется закупить недостающее количество мазута по отпускной цене Если запас превысит потребность , то дополнительные затраты на содержание и хранение остатка составят 2 ден ед за 1 тонну мазута Представьте ситуацию в виде игры и предложите оптимальное решение по закупке мазута 3. Капитан рыболовного судна выбирает район лова Районы A и B стабильно обеспечивают 30% и 40% плана соответственно Район C - район рискованного промысла , где улов может составлять 100% или 10%. Формализуйте ситуацию в виде матричной игры и решите ее 4. Две компании , занимающиеся производством антивирусного программного обеспечения , практически полностью делят рынок некоторого региона Разрабатывая новую версию программного продукта для мобильных телефонов , каждая из компаний может использовать один из четырех вариантов продвижения нового программного продукта на рынок , который влияет на конечную стоимость продукции В зависимости от сделанного выбора компании могут установить цену реализации единицы продукции на уровне 25, 22, 19 и 16 условных единиц соответственно Соотношение цен реализации и себестоимость представлены в таблице : Вариант продвижения нового продукта Цена реализации единицы продукции , ден ед Полная себестоимость единицы продукции , ден ед Компания A Компания B 1 25 17 20,8 2 22 15 10,2 3 19 10,2 10 4 16 5,2 5 В результате маркетингового исследования рынка была определена функция спроса на программные продукты : X Y ⋅ − = 5 , 0 20 , 13 где Y – количество продукции , которое будет реализовано в регионе ( тыс ед .), а X – средняя цена продукции компаний , ден ед Значения долей продукции , реализованной компанией A , зависят от соотношения цен на продукцию компании A и компании B Маркетинговое исследование позволило установить эту зависимость : Цена реализации 1 ед продукции , ден ед Доля реализованной продукции компании A Компания A Компания B 25 25 0,31 25 22 0,33 25 19 0,25 25 16 0,2 22 25 0,4 22 22 0,35 22 19 0,32 22 16 0,28 19 25 0,52 19 22 0,48 19 19 0,4 19 16 0,35 16 25 0,6 16 22 0,58 16 19 0,55 16 16 0,5 1. Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе варианта продвижения продукта на рынок обоими компаниями ? 2. Существуют ли варианты , которые компании заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности ? 3. Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия ? Какая компания получит больше прибыль в ситуации равновесия ? Какая компания будет иметь большую долю рынка в ситуации равновесия ? Дайте краткую экономическую интерпретацию результатов решения задачи 1.4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ 2 х 2 Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях , то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры , которые указывают , что игрок А не должен надеяться на выигрыш больший , чем верхняя цена игры , и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии Этот результат достигается путем применения чистых стратегий случайно , с определенной вероятностью Смешанной стратегией игрока называется вектор ( ) m p p p X ,..., , 2 1 = , координатами которого являются вероятности ( относительные частоты ) использования игроком своих чистых стратегий Так как события , заключающиеся в выборе игроком своих чистых стратегий , образуют полную группу , то сумма их вероятностей равна 1, то есть : 1 2 1 = + + + m p p p 14 Рассмотрим матричную игру 2 х 2, которая задана платежной матрицей : = 22 21 12 11 a a a a P Если эта игра не имеет седловой точки , то ее решение составляет пара оптимальных стратегий ( ) 2 1 , p p X ∗ и ( ) 2 1 , q q Y ∗ Причем использование игроком A своей оптимальной стратегии гарантирует ему получение среднего выигрыша не меньшего , чем цена игры v При этом , если игрок B использует свою оптимальную стратегию , то средний выигрыш игрока будет равен v , если игрок B не использует свою оптимальную стратегию , то средний выигрыш игрока A будет больше v Таким образом , средний выигрыш будет тем ближе к v , чем больше партий сыграют игроки : средний выигрыш стремится к v по вероятности Средний выигрыш будет не точно равен v , а примерно равен и чем больше партий , тем меньше отклонение Кроме того , определение смешанной стратегии требует выбирать чистые стратегии игроками случайно в соответствии с вероятностями ( относительными частотами ) их использования ( условие секретности выбора чистой стратегии ). Для решения матричных игр 2 х 2 можно использовать аналитический и геометрический методы Чтобы найти оптимальную смешанную стратегию игрока A : ( ) 2 1 , p p X ∗ и соответствующую цену игры v , необходимо решить систему уравнений : = + = + = + v p a p a v p a p a p p 2 22 1 12 2 21 1 11 2 1 1 Первое уравнение – свойство компонентов смешанной стратегии игрока Второе уравнение определяет математическое ожидание выигрыша игрока A при использовании им стратегии ( ) 2 1 , p p X ∗ против стратегии 1 B Третье уравнение определяет математическое ожидание выигрыша игрока A при использовании им стратегии ( ) 2 1 , p p X ∗ против стратегии 2 B Чтобы найти оптимальную смешанную стратегию игрока B : ( ) 2 1 , q q Y ∗ и соответствующую цену игры v , необходимо решить систему уравнений : = + = + = + v q a q a v q a q a q q 2 22 1 21 2 12 1 11 2 1 1 Цена игры v общая для обоих игроков , поэтому при решении систем уравнений должно получиться одинаковое значение v Пример 4. Для игроков A и B решить игру заданную платежной матрицей 11 8 7 10 Решение : 1. Найдем для игрока A его оптимальную стратегию ( ) 2 1 , p p X ∗ и соответствующую цену игры v 15 Составим систему уравнений : = + = + = + v p p v p p p p 2 1 2 1 2 1 11 7 8 10 1 Вычтем из второго уравнения третье : 0 3 3 2 1 = − p p или 2 1 p p = Отсюда : ⇒ = + = = + v p p p p p p 2 1 2 1 2 1 11 7 1 = ⋅ + ⋅ = = = 9 2 / 1 11 2 / 1 7 2 / 1 2 / 1 2 1 v p p или = ∗ 2 1 ; 2 1 X - оптимальная смешанная стратегия игрока A , 9 = v - цена игры ( меньше не выиграет ). 2. Найдем для игрока B его оптимальную стратегию ( ) 2 1 ; q q Y = ∗ и соответствующую цену игры v Составим систему уравнений : = + = + = + v q q v q q q q 2 1 2 1 2 1 11 8 7 10 1 Выразим из первого уравнения 1 q : 2 1 1 q q − = Подставим выражение 1 q во второе и третье уравнения : ( ) ( ) = + − ⋅ = + − ⋅ v q q v q q 2 2 2 2 11 1 8 7 1 10 Раскроем скобки и приведем подобные : = + = − v q v q 2 2 3 8 3 10 Так как правые части равны ν , то можно приравнять левые части : 2 2 3 8 3 10 q q + = − , 2 6 2 − = − q , 3 1 2 = q Подставим найденное значение в выражение для 1 q : 3 2 3 1 1 1 = − = q Найдем цену игры : 9 3 1 3 10 = ⋅ − = ν Тогда ∗ 3 1 , 3 2 Y - оптимальная смешанная стратегия игрока B , 9 = ν - цена игры ( больше не проиграет ). Задания_для_решения_в_аудитории_1.'>Задания для решения в аудитории 1. Частный предприниматель с целью получения прибыли решил свободные средства вложить в ценные бумаги двух видов : 1 A и 2 A На рынке ценных бумаг может сложиться две ситуации : 1 C и 2 C Прогноз доходности ценных бумаг в зависимости от рыночных ситуаций , который дают экономисты , представлен в таблице : Стратегия предпринимателя Стратегии рынка 1 C 2 C Вложения в 1 A 7 4 Вложения в 2 A 2 3 16 Найти оптимальную стратегию предпринимателя , которая обеспечила бы ему наибольшую прибыль 2. Швейная фабрика выпускает брюки и шорты , сбыт которых зависит от состояния погоды Затраты фабрики на единицу продукции составили : брюки – 15 ден ед ., шорты – 10 ден ед Цена реализации : брюки – 21 ден ед ., шорты – 14 ден ед Фабрика может реализовать при теплой погоде 120 брюк и 300 шорт , а при прохладной погоде : 370 брюк и 100 шорт Представьте ситуацию в виде игры и определите оптимальный план производства , обеспечивающий гарантированную прибыль , не зависимо от погоды 3. К туристу A подходит незнакомец B и предлагает сыграть в игру « Орел – решка ». Если у A « орел », а у B « решка », A получит 30 ден ед .; если у A « решка », а у B « орел », то всего 10 ден ед Если выборы совпадут , то A заплатит ему 20 ден ед Честная ли игра ? Как будет влиять на решение количество партий в игре ? Если A принимает игру , какую стратегию ему выбрать ? Рассмотреть два варианта игры : выбор стратегий определяется игроками ; выбор стратегий определяется случайно ( по броску монеты ). 17 4. Вас пригласили на телевизионную игру « Колесо фортуны ». Колесо управляется двумя электронными кнопками При нажатии первой кнопки колесо вращается быстро , при нажатии второй – медленно Само колесо разделено на два равных сектора : белый и красный Выигрыши , которые Вы получаете за игру , зависят от того , какой сектор остановится напротив стрелки : Кнопка Сектор Белый Красный Первая 800 -200 Вторая -2000 4000 Вам предоставляется возможность сыграть семь раз Как Вы будете играть ? Формализуйте ситуацию в виде игры и решите ее Задания для самостоятельной подготовки 18 1. Молочный комбинат планирует выпуск двух видов новой продукции : питьевой биойогурт и сливочный пудинг Спрос на эти продукты не определен , но можно предположить , что он принимает одно из двух состояний : хороший и удовлетворительный В зависимости от этих состояний прибыль комбината различна и определяется матрицей K : 3 5 4 2 K = Найти оптимальное соотношение между объемами выпуска каждого из продуктов , при котором комбинату гарантирована средняя прибыль при любом состоянии спроса 2. Нападающий готовится пробить серию из 10 ударов по воротам , вратарь готовится к их защите Нападающий может ударить в правый или левый угол ворот ; вратарь пытаясь угадать направление удара , готовится к прыжку влево или вправо от себя Их мастерство отражает матрица : 6 9 10 7 Если нападающий бьет вправо , а вратарь готовится к прыжку влево , то в среднем в воротах будет 7 мячей из десяти ; если же вратарь готовился к прыжку вправо , то в воротах будут все десять мячей из десяти Для нападающего найдите стратегию , обеспечивающую максимальное гарантированное число забитых мячей независимо от тактики вратаря ; а для вратаря – минимальное гарантированное число пропущенных мячей независимо от тактики нападающего |