Расчет переходных процессов в линейных
 Скачать 1.92 Mb.
|
1 2 3.1. Классический метод расчетаПравила коммутации: iL(0–) = iL(0+) = 0 А, uC(0–) = uC(0+) = J R2 = 20 B. Составление характеристического уравнения цепи. 2.1. Совместное решение однородной системы дифференциальных уравнений. Составляем систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа:  Из уравнения (2.12) .Из уравнения (2.13) определим ток  (2.17)и подставим его в выражение для тока индуктивности  .Определим производную тока индуктивности  .Из уравнения (2.11) определим ток i4  и подставим в полученное уравнение (2.17)  .Все полученные выражения подставляем в уравнение (2.14)  .После приведения подобных слагаемых и группирования получаем дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка  Таким образом методом исключения из системы дифференциальных уравнений для любой электрической цепи можно получить дифференциальное неоднородное уравнение. Характеристическое уравнение получается из соответствующего однородного дифференциального уравнения в результате замены производных на соответствующие степени оператора p и имеет вид  2.2. Алгебраизация дифференциальных уравнений. Для получения характеристических уравнений записывается система уравнений по методу контурных токов, которая впоследствии переписывается в алгебраической форме с помощью вспомогательного символа p, заменяющего операцию дифференцирования, и 1/p, заменяющего операцию интегрирования:  Так как i33 = J , следовательно,  и, соответственно, для свободных составляющих токов:  Данная система алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нулевого только тогда, когда ее определитель равен нулю:  или  Таким образом, характеристическое уравнение в результате преобразования принимает вид  .2.3. Метод входного сопротивления. Удалим источники из цепи в соответствии с известным правилом: источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками, ветви с источниками тока размыкаются. В произвольной ветви, разорвав цепь, запишем входное сопротивление:  Заменив j на p, получим  Приравняв данное выражение нулю (Z(р) = 0) и произведя необходимые преобразования, получим характеристическое уравнение цепи  Подставим значения параметров цепи: p2 + 700p + 300000 = 0. Корни характеристического уравнения p1 = – 350 + j421,308, p2 = – 350 – j421,308 являются комплексными сопряженными, следовательно, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер. Определение принужденной составляющей. Рассматриваемая цепь в принужденном режиме имеет вид (рис. 2.4)   ,i1пр = 1/3 (A). 4. Определение свободной составляющей. Для цепей, характеристические числа которых имеют комплексные сопряженные значения, свободная составляющая определяется в виде i1св(t) = e–t(A1cos t + A2 sin t), где – декремент затухания, – частота свободных колебаний определяются через корни характеристического уравнения p1,2 = – + j. Таким образом, в выражении i1св необходимо определить постоянные интегрирования А1 и А2. Вычисление их ведется с помощью системы уравнений, составленных для момента t = 0+:  4.1. Определение значений  и  с использованием системы уравнений Кирхгофа. В данном случае cоставляется система уравнений Кирхгофа. Методом исключения выражается значение тока i1(0+) через известные значения uC(0+) и i2(0+): .Дифференцируя выражение для i1(t), получим  .Произведя необходимые преобразования и подстановки в системе уравнений Кирхгофа, получим  .Подставив соответствующие значения uC и iL в момент t = 0+, рассчитаем i  1(0+) = – 250 A/с.4.2. Определение i1(0+) и i1(0+) с использованием резистивных схем замещения в момент t = 0+. Схема замещения в 0+ для величин токов и напряжений изображена на рис. 2.5 ЕС = uС(0–) J = iL(0–) J По II закону Кирхгофа получим  Для построения схемы замещения в (0+) для производных токов и напряжений необходимо определить начальные значения:  Таким образом, следует определить iC(0+) и uL(0+) с помощью уже полученной схемы замещения: а) для определения uL(0+) составим уравнение по II закону Кирхгофа: uL(0+) – iR2(0+)R2 = – uC(0+) подставив значения, получим uL(0+) = 0, следовательно,  .б) iC(0+) = i1(0+) = 0,5 A , следовательно,  = 5000 B/с.При построении схемы замещения в 0+ для производных следует: источники заменить на аналогичные источники с ЭДС или задающим током, равным соответственно производной от данных в задании; номиналы резисторов остаются неизменными; емкости и индуктивности же замещаются в соответствии со следующим правилом – емкости с нулевыми начальными условиями (  ) заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями( ) – противодействующими источниками ЭДС с  ;ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия ( ) размыкаются, в случае ненулевых начальных условий ( ) индуктивности заменяют на содействующие источники тока с  .Таким образом, осуществляется операция дифференцирования, адекватная дифференцированию системы уравнений Кирхгофа. В нашем случае, когда в цепи действуют источники постоянных воздействий, источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками (т.к.  ), а ветви с источниками тока размыкаются (т.к.  ).Т  аким образом, схема замещения в t = 0+ для производных имеет вид (рис. 2.6). Определим  .4.3. Определение постоянных интегрирования:  Решив данную систему уравнений, получим А1 = 0,1667, А2 = – 0.455. 5. Определение полного решения. Полное решение следует искать в виде i1(t) = i1пр + i1св. С учетом произведенных расчетов получим  Для удобства построения графика преобразуем полученное выражение в синусоидальную форму:  ( + ) прибавляется к аргументу, так как угол имеет отрицательный знак  и положительный знак  , т.е. если рассматривать единичную окружность, данный угол находится во II четверти координатной плоскости. Угол определяется в радианах, так как свободная частота измеряется в рад/с. Таким образом, искомый ток i1(t) = 1/3 + e–350t0,485 sin(421,308t + 2,788). 6. Построение графика изменения тока i(t). Оценим соотношение между постоянной времени экспоненты и периодом синусоиды. Постоянная времени экспоненты exp = 1/ = 0,00286 с. Период синусоиды Tsin = 1/f = 2/ = 0,0149 с. В связи с тем, что ехр << Tsin, график строится по точкам. Результаты расчетов значений тока i1(t) записаны в табл. 2.2., а график изменения i1(t) изображен на рис. 2.7. Таблица 2.2
Рис 2.7.  б3.2. Операторный метод С учетом независимых начальных условий изображается операторная схема замещения (рис. 2.8). У  равнения Кирхгофа в операторной форме запишутся в виде  Решение получается проще при использовании метода контурных токов. Контурные токи выберем так, как показано на рис. 2.8. Ток  , тогда система уравнений имеет вид: Определим собственные и общие сопротивления, а также контурные ЭДС, полученные выражения подставим в систему уравнений:  После преобразований  Подставим значения  Решим систему уравнений при помощи метода определителей:  , .Изображение тока в первой ветви определится  .Определим оригинал искомого тока с помощью теоремы разложения. Многочлен второй степени знаменателя приравняем нулю и получим характеристическое уравнение цепи  , решением которого являются комплексные сопряженные корни ,которые совпадают с полученными при решении классическим методом. Оригинал тока определяем по формуле (2.4). Вычислим производную  и значение производной, а также значение многочлена  при корне  , подставим в (2.4): ,    Данное решение совпадает с решением, полученным классическим методом.1 2 |