Расчет статически неопределимых систем

• Название: Расчет статически неопределимых систем
• Дата: 29.03.2023
• Размер: 0.82 Mb.
• Имя файла: RGZ_Raschet_staticheski_neopredelimykh_sterzhnevykh.doc
• Тип: Документы; #1024435

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Расчетно-графическое задание

По дисциплине: Сопротивление материалов

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Тема: Расчет статически неопределимых систем.

Выполнил: студент гр. -02 ______________ /./

^{(подпись) (Ф.И.О.)}


ОЦЕНКА: _____________
Дата: __________________

ПРОВЕРИЛ:

Руководитель: П. ____________ /./

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

2004 год.
Цель задания: расчет статически неопределимой системы в условиях работы составляющих ее элементов в режиме растяжения-сжатия (одноосное напряженное состояние).

Система называется статически неопределимой, если для определения усилий в ее элементах недостаточно уравнений равновесия статики, т.е. число неизвестных внутренних усилий (реакций) больше, чем число уравнений равновесия статики. Степень статической неопределимости системы: К=R-Y, где К - степень статической неопределимости системы; R - число неизвестных внутренних усилий (реакций); Y - число уравнений равновесия статики.

Исходные данные (вариант №3):

Схема стержневой системы:


Рис.1

Материалы стержней: 1 - сталь, 2 - сталь; упругие модули на растяжение (сжатие): Е₁=Е₂= МПа; внешняя сила Р₁=4 Н; Р₂=0Н; коэффициенты линейного расширения материалов стержней , . Неточность изготовления элемента системы: стержень 1 изготовлен на величину . Изменение температуры системы , нагревается стержень1. Допустимые напряжения для материалов каждого из стержней: [ ]_{1 0}= 160МПа,[ ]₂ = 160 МПа. Конструктивное соотношение площадей стержней F₂/F₁=1. Геометрические размеры: a=1,5 м, b=1,5 м, c =1 м, d=1м, h=1м, , .

1) Определение усилий от внешней силы Р ( ).

Вычертим расчетную схему балки с указанием всех размеров. Для расчета усилий используем метод сечений. Сечения проведем через оба стержня. Рассмотрим равновесие нижней части системы, заменяя действие отбрасываемой верхней части стержней внутренними усилиями реакций R₁,R₂.



Рис.2

Составим уравнения статики:

(2)

или

. (3)

Остальные уравнения статики можно не составлять, так как они необходимы лишь при определении реакций в шарнире X_A,Y_A, чего не требуется по условию задачи. Таким образом, степень статической неопределимости системы К=1, так как мы имеем два неизвестных усилия R₁,R₂ и одно уравнение равновесия статики.

Для составления одного уравнения совместности деформаций необходимо рассмотреть схему перемещений системы. Под действием внешней силы Р₁ первый стержень удлинится на величину , а второй – на величину , при этом жесткая балка AD повернется в положение AD₁. Ввиду малости упругих деформаций горизонтальными смещениями точек B и C, лежащих на оси балки, пренебрежем, будем считать, что точки В и С в ходе деформирования системы переместятся строго вертикально и займут положение В₁ и С₁. Положение этих точек определяется пересечением линий AD и перпендикуляров, проведенных к первоначальному направлению осевой линии балки AD в точки В и С.

Удлинения и находим также графически, для чего из точек В и С опустим перпендикуляры на линии О₁В₁ и О₂С₁, соответствующие новым положениям стержней 1 и 2 после приложения нагрузки Р. Отрезки В₁В₂ и С₁С₂ определяют удлинения соответственно и .

Уравнения совместимости деформаций в данном случае проще всего составить, воспользовавшись подобием треугольников АВВ₂ и АСС₁:

. (4)

Из треугольника ВВ₁В₂ определим

(5)

Подставив равенства (5) в формулу (4), получим уравнение совместности деформаций заданной стержневой системы

(6)

или ,

где - безразмерный коэффициент, учитывающий особенности геометрической конфигурации системы. Используя закон Гука для каждого из стержней:

,

из уравнения (6) получим:

.

Учитывая, что ; (рис.1), последнее соотношение можно переписать следующим образом:

(7)

Далее решаем совместно систему уравнений (3) и (7):

; (8)

Из выражений (8) при известном отношении F₁/F₂ находим численные значения усилии:

R₁= H (растяжение)

R₂= H (растяжение)

Проверка правильности найденных численных значений производится путем подстановки R₁= H и R₂= H в уравнение равновесия (3):





2) Определение напряжений, вызванных неточностью изготовления (Р=0, .

Первый стержень изготовлен с неточностью . Тогда при сборке в обоих стержнях появятся внутренние напряжения. Первый стержень будет сжиматься, а второй растягиваться.


Рис.3

Уравнение равновесия для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид:

(9)

Для перемещений получим

; . (10)

Соотношение между находим аналогично п.1 (смотреть уравнение (6)):

(11)

Подставив выражения (10) в равенство (11), получим уравнение совместности деформаций: . (12)

Выразив согласно закону Гука удлинения и через усилия R₁, R₂, преобразуем уравнение (12):

(13)

Перейдем в уравнении (13) к новым переменным, в качестве которых выберем напряжения ; .

Тогда, выразив и через h, уравнению (13) можно придать следующий вид:

. (14)

Перепишем уравнение (9) в напряжениях:



или

. (15)

Решим систему уравнений (14) и (15) относительно неизвестных напряжений:

= =-13,8МПа

=39МПа (16)

При заданных величинах , из уравнений (16) получим

МПа (растяжение);

- МПа (сжатие).
3) Расчет температурных напряжений (Р=0, .





Первый стержень системы нагрет до температуры , где - комнатная температура. Тогда его длина получит приращение

(17)

Уравнение равновесия имеет следующий вид:

(9)

Для перемещений получим

; (18)

Соотношение между находим аналогично п.1 (смотреть уравнение (6)):

(19)

Подставив выражения (18) в равенство (19), получим уравнение совместности деформаций:

. (20)

Выразив согласно закону Гука удлинения и через усилия R₁, R₂, преобразуем уравнение (20):

(21)

Перейдем в уравнении (21) к новым переменным, в качестве которых выберем напряжения ; .

Тогда, выразив и через h, уравнению (21) можно придать следующий вид:

. (22)

Перепишем уравнение (9) в напряжениях:



или

. (23)
Решим систему уравнений (22) и (23) относительно неизвестных напряжений:

;

(24)

При и заданных геометрических и физических параметрах системы из уравнений (24) получим

-19,49 МПа (сжатие);

55,1275 МПа (растяжение).

4) Подбор сечений элементов системы.

При расчете сечений учитывается одновременное действие всех нагружающих факторов: внешней нагрузки, внутренних монтажных и температурных напряжений. Полученные в пп.1,2,3 данные представлю в виде таблицы:

Внутренние усилия от силы Р, МН	Напряжения, МПа			F1/F2
	От , Па	От	допустимые
R1=0,01225 R2=0,049	39 -13,8	55,1275 -19,49		1/1

Условия прочности для каждого из стержней записывается в виде неравенств

; . (25)

Отсюда , (26)
Подставив значения из таблицы в формулы (26), получу

,

Из выбранных численных значений для получим

, . (27)

Учитывая заданное отношение находим площадь первого стержня:


Выбираем: и . При этом напряжения в первом и втором стержнях будут меньше допустимых, т.е. и .