Расчет статически неопределимых систем
![]()
|
![]() Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова (технический университет) ![]() Расчетно-графическое заданиеПо дисциплине: Сопротивление материалов(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану) Тема: Расчет статически неопределимых систем.Выполнил: студент гр. -02 ______________ /./ (подпись) (Ф.И.О.) ОЦЕНКА: _____________ Дата: __________________ ПРОВЕРИЛ:Руководитель: П. ____________ /./(должность) (подпись) (Ф.И.О.) Санкт-Петербург 2004 год. Цель задания: расчет статически неопределимой системы в условиях работы составляющих ее элементов в режиме растяжения-сжатия (одноосное напряженное состояние). Система называется статически неопределимой, если для определения усилий в ее элементах недостаточно уравнений равновесия статики, т.е. число неизвестных внутренних усилий (реакций) больше, чем число уравнений равновесия статики. Степень статической неопределимости системы: К=R-Y, где К - степень статической неопределимости системы; R - число неизвестных внутренних усилий (реакций); Y - число уравнений равновесия статики. Исходные данные (вариант №3): Схема стержневой системы: ![]() Рис.1 Материалы стержней: 1 - сталь, 2 - сталь; упругие модули на растяжение (сжатие): Е1=Е2= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1) Определение усилий от внешней силы Р ( ![]() Вычертим расчетную схему балки с указанием всех размеров. Для расчета усилий используем метод сечений. Сечения проведем через оба стержня. Рассмотрим равновесие нижней части системы, заменяя действие отбрасываемой верхней части стержней внутренними усилиями реакций R1,R2. ![]() Рис.2 Составим уравнения статики: ![]() или ![]() Остальные уравнения статики можно не составлять, так как они необходимы лишь при определении реакций в шарнире XA,YA, чего не требуется по условию задачи. Таким образом, степень статической неопределимости системы К=1, так как мы имеем два неизвестных усилия R1,R2 и одно уравнение равновесия статики. Для составления одного уравнения совместности деформаций необходимо рассмотреть схему перемещений системы. Под действием внешней силы Р1 первый стержень удлинится на величину ![]() ![]() Удлинения ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнения совместимости деформаций в данном случае проще всего составить, воспользовавшись подобием треугольников АВВ2 и АСС1: ![]() Из треугольника ВВ1В2 определим ![]() Подставив равенства (5) в формулу (4), получим уравнение совместности деформаций заданной стержневой системы ![]() или ![]() где ![]() ![]() ![]() из уравнения (6) получим: ![]() Учитывая, что ![]() ![]() ![]() Далее решаем совместно систему уравнений (3) и (7): ![]() ![]() Из выражений (8) при известном отношении F1/F2 находим численные значения усилии: R1= ![]() R2= ![]() Проверка правильности найденных численных значений производится путем подстановки R1= ![]() ![]() ![]() ![]() 2) Определение напряжений, вызванных неточностью изготовления (Р=0, ![]() Первый стержень изготовлен с неточностью ![]() ![]() Рис.3 Уравнение равновесия для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид: ![]() Для перемещений получим ![]() ![]() Соотношение между ![]() ![]() Подставив выражения (10) в равенство (11), получим уравнение совместности деформаций: ![]() Выразив согласно закону Гука удлинения ![]() ![]() ![]() Перейдем в уравнении (13) к новым переменным, в качестве которых выберем напряжения ![]() ![]() Тогда, выразив ![]() ![]() ![]() Перепишем уравнение (9) в напряжениях: ![]() или ![]() Решим систему уравнений (14) и (15) относительно неизвестных напряжений: ![]() ![]() ![]() ![]() При заданных величинах ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Расчет температурных напряжений (Р=0, ![]() ![]() Первый стержень системы нагрет до температуры ![]() ![]() ![]() Уравнение равновесия имеет следующий вид: ![]() Для перемещений получим ![]() ![]() Соотношение между ![]() ![]() Подставив выражения (18) в равенство (19), получим уравнение совместности деформаций: ![]() Выразив согласно закону Гука удлинения ![]() ![]() ![]() Перейдем в уравнении (21) к новым переменным, в качестве которых выберем напряжения ![]() ![]() Тогда, выразив ![]() ![]() ![]() Перепишем уравнение (9) в напряжениях: ![]() или ![]() Решим систему уравнений (22) и (23) относительно неизвестных напряжений: ![]() ![]() При ![]() ![]() ![]() 4) Подбор сечений элементов системы. При расчете сечений учитывается одновременное действие всех нагружающих факторов: внешней нагрузки, внутренних монтажных и температурных напряжений. Полученные в пп.1,2,3 данные представлю в виде таблицы:
Условия прочности для каждого из стержней записывается в виде неравенств ![]() ![]() Отсюда ![]() ![]() Подставив значения из таблицы в формулы (26), получу ![]() ![]() Из выбранных численных значений для ![]() ![]() ![]() Учитывая заданное отношение ![]() ![]() Выбираем: ![]() ![]() ![]() ![]() |