|
|
Расчёт статически неопределимой рамы методом сил и методом перем. Расчёт статически неопределимой рамы методом сил
Расчёт статически неопределимой рамы методом сил
Исходные данные:
1.Определим количество лишних связей:
2.Выберем основную систему. Основная система должна бать статически определимой, а так же не должна быть геометрически изменяемой. Для её получения заменим три усилия в заданной системе на основные неизвестные метода сил: две реакции слева от шарнира А и усилие в затяжке (рис.1):
рис.1
3. Запишем систему канонических уравнений в общем виде :
()
или в матричной форме:
где А – матрица коэффициентов при неизвестных, а  , соответственно, вектор неизвестных и вектор свободных членов системы (
).
4. Для того, чтобы вычислить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, строим в основной системе эпюры изгибающих моментов от единичного действия Х1, Х2, Х3 и заданной нагрузки .
Определим опорные реакции в состоянии на рис.2.
рис.2
Определим опорные реакции в состоянии на рис.3.
рис.3
Определим опорные реакции в состоянии на рис.4.
рис.4
Определим опорные реакции в состоянии на рис.5.
рис.5
Эпюры изгибающих моментов от Х1=1, Х2=1, Х3=1 и от заданной нагрузки показаны на рис.6.
5. Вычислим коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. Для определения коэффициентов и свободных членов, представляющих собой перемещения точек приложения неизвестных, перемножаем эпюры изгибающих моментов (используя способ Верещагина и формулу Симпсона) , построенные в основной системе (рис.6).
рис.6
 
6.Для проверки правильности вычисления коэффициентов и свободных членов системы (
) строим суммарную единичную эпюру изгибающих моментов  (рис.7).
рис.7
 Результат умножения суммарной единичной эпюры на саму себя должен быть равен алгебраической сумме коэффициентов при неизвестных всех уравнений, т.е. должно выполняться равенство:
 Результат перемножения суммарной единичной эпюры на эпюру моментов Мp от заданной нагрузки в основной системе должен дать алгебраическую сумму свободных членов системы (
), т.е. должно выполняться равенство:
Так как оба условия выполняются, то коэффициенты вычислены верно.
7. С учетом найденных коэффициентов система (
) примет вид:
  решая которую получим следующие значения неизвестных:
Умножив эпюры  на значения соответствующих неизвестных и просуммировав с эпюрой  , получим искомую эпюру моментов (рис.8).
8. Выполним кинематическую проверку построения эпюры М. Для этого перемножим эпюру М на суммарную эпюру S:
рис.8
Следовательно, эпюра М построена верно.
9. Найдем значения поперечных сил в стержнях рамы , используя эпюру изгибающих моментов .Связь между значениями поперечных сил изгибающими моментами выражается формулой :
 , где
 - значение поперечной силы в сечениях простой шарнирно-опертой балки;
 - значения соответственно изгибающих моментов в сечениях на концах стержня (или участка) и длина стержня (участка). Моменты  и  следует принимать с разными знаками, если они отложены на эпюре по разные стороны оси стержня.
Эпюра поперечных сил представлена на рис.9
10. Эпюра продольных сил строится с помощью эпюры поперечных сил с использованием условий равновесия последовательно вырезаемых узлов рамы, к которым прикладываются уже известные поперечные силы и отыскиваемые продольные силы. Вырезать узлы следует в такой последовательности, чтобы в каждом рассматриваемом узле было не более двух неизвестных продольных сил, и эти силы не были бы параллельны друг другу (рис.10):
рис.9
рис.10
Рассмотрим узел О:
 
Рассмотрим узел N:
Рассмотрим узел A:
Рассмотрим узел L:
Эпюра продольных сил представлена на рис.11.
11. Выполним статическую проверку всей рамы. Для этого отсечем ее от опор, а значения продольных и поперечных сил в полученных сечениях принимаем по эпюрам Q и N (рис.12).
 рис.11
рис.12
Рама рассчитана верно.
Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений.
Исходные данные:
1. Определим степень кинематической неопределимости рамы, которую можно определить по формуле:
n= nл + nуг ,
где nл и nуг соответственно количество неизвестных линейных и угловых перемещений узлов системы. Так как nуг суть количество жестких узлов рамы, то nу= 2. Для определения nл введем в каждый узел рамы шарнир (консоль отбрасывается) и подсчитаем степень свободы W полученной рамы (рис.1) по формуле:
W=3Д-2Ш-С0 ,
где Д, Ш, С0 – соответственно количество дисков (стержней), шарниров и опорных связей:
рис.1
W=3. 9 – 2 . 9 –7 = 2.
Следовательно, n= 2 + 2=4.
2. Так как степень кинематической неопределимости рамы W=4, то узлы рамы имеют 4 независимых перемещения . Для того, чтобы лишить перемещения узлов, введем по направлению линейных перемещений, соответственно, в узле B вертикальную и в узле R горизонтальную связи, а в узлах O и P защемляющие связи , необходимые для закрепления этих узлов от поворота (защемления не препятствуют линейным смещениям закрепляемых узлов) - основная система метода перемещений(рис.2).
рис.2
3. Запишем систему канонических уравнений метода перемещений в общем виде :
(*)
4. Найдем значения коэффициентов системы канонических уравнений. Будем последовательно смещать каждую из добавленных связей, оставляя остальные на месте, и приложим к основной системе заданную нагрузку. Получим так называемые единичные состояния основной системы и состояние загружения ее заданной нагрузкой. Рассмотрим эти состояния.
В состоянии на рис.3 задано единичное линейное смещение опоры О (для всех неизвестных на рисунках принято положительное направление). В результате узлы O и R смещаются по направлению смещения точки О на величину Z1=1. При этом стержни OL и RN изгибаются, но узлы L и N не поворачиваются благодаря наличию в них защемляющих связей. Стержень OR остался недеформированным. Учитывая, что сближением концов при изгибе мы так же пренебрегаем, расстояние по вертикали между узлами O и L , R и N не изменяется. Узлы L и N не имеют ни угловых, ни линейных деформаций, поэтому остальные стержни рамы не деформируются.
рис.3
В состоянии на рис.4 задано единичное линейное смещение Z2=1 опоры В в вертикальном направлении, в результате чего стержень BL изгибается. Узел L лишён возможности поворачиваться, следовательно, остальные стержни, к нему примыкающие, не деформируются.
На рис.5 показано состояние, в котором находится рама после единичного углового смещения Z3=1 узла L. Оно вызывает изгиб примыкающих к нему стержней BL, LD,OL,LA. Остальные стержни, в следствие отсутствия присутствия деформаций соответствующих узлов, остаются недеформированными.
В состоянии на рис.6 единичный поворот по часовой стрелке задан четвертой добавленной связи и, следовательно, закрепляемому ею узлу N. В результате изгибаются стержни AN, RN и ND. Консоль и остальные стержни деформаций не испытывают.
Заданная нагрузка также вызывает изгиб стержней. Так как узел L полностью неподвижен, то изгиб стержня LA суть следствие нагружения его равномерно распределенной нагрузки. Сосредоточенная сила в точке B полностью воспринимается второй дополнительной опорой, а на конце консоли такая же сила вызовет её изгиб. Деформация коснется только выше рассмотренных стержней. Воздействия на основную систему вызывают реакции в заданных и добавленных связях.
рис.4
рис.5
рис.6
рис.7
Однако следует помнить, что реакции при изгибе стержней возникают только в тех опорах, которые закрепляют узлы этих стержней от перемещений. Изгибающие моменты возникают лишь в изогнутых стержнях. Эпюры изгибающих моментов для каждого из состояний представлены ниже (рис.8;9;10;11;12), для построения которых была использована таблица реакций (таблица приведена в приложении ).
рис.8
рис.9
рис.10
рис.11
рис.12
Определим по формулам, имеющимся в таблице реакций, значения изгибающих моментов и реакций в связях (реакции в связях показаны на рис.13). Индексы обозначений усилий следует понимать следующим образом: 1-ый символ – точка рамы, в которой показывается усилие; 2-ой символ – точка рамы, которая вместе с 1-ой точкой образует соответствующий усилию изгибаемый стержень; 3-ий символ – состояние в котором рассматривается деформации стержней ( М1, М2, М3, М4, Мp).
рис.13
MLO1 = 3.(EI)OL/lOL2 = 3.0,42.105./4,42 =0,065.105;
MNR1 = 3.(EI)OL/lOL2 = 3.0,42.105./4,42 = 0,065.105;
MLB2 = 3.(EI)LB/lLB2 = 3.1,4.105./3,52 = 0,343.105;
MLO3 = 3.(EI)LO/lLO = 3.0.42.105./4.4 = 0,286.105;
MLB3 = 3.(EI)LB/lLB = 3.1.4.105./3.5 = 1,2.105;
MLA3 = 3.(EI)LA/lLA = 3.1.4.105./14.4 = 0,292.105;
MLD3 = 3.(EI)LD/lLD = 3.0.42.105./8.8 = 0,143.105;
MNA4 = 3.(EI)NA/lNA = 3.1.4.105./9.6 = 0,438.105;
MNR4 = 3.(EI)NR/lNR = 3.0.42.105./4.4 = 0,286.105;
MNP4 = 3.(EI)NP/lNP = 3.0.42.105./8.8 = 0,143.105;
MLAP = ql2/8 = 21.14,42/8 = 544,320(кН.м);
MNVP = 120.3,5 = 420 (Кн.м); HLO1 = HOL1 = 3.(EI)OL/lOL3 = 3.0.42.105./4.43 = 0,015.105; HRN1 = HNR1 = 3.(EI)NR/lNR3 = 3.0.42.105./4.43 = 0,015.105;
RLB2 = RBL2 = 3.(EI)LB/lLB3 = 3.1.4.105./3.53 =0,098.105;
RLB3 = RBL3 = 3.(EI)LB/lLB2 = 3.1.4.105./3.52 = 0,343.105;
HLO3 = HOL3 = 3.(EI)OL/lOL2 = 3.0.42.105./4.42 = 0,065.105; RLA3 = RAL3 = 3.(EI)LA/lLA2 = 3.1.4.105./14.42 = 0,020 .105;
HLD3 = HDL3 = 3.(EI)LD/lLD2 = 3.0.42.105./8.82 = 0,016.105;
RAN4 = RNA4 = 3.(EI)NA/lNA2 = 3.1.4.105./9.62 =0,046.105; HRN4 = HNR4 = 3.(EI)NR/lNR2 = 3.0.42.105./4.42 = 0,065.105
HNP4 = HPN4 = 3.(EI)NP/lNP2 = 3.0.42.105./8.82 = 0,016.105;
RALP = 5.q.l/8 = 5.21.14.4/8 = 189,000 (кН);
RLAP = 3.q.l/8 = 3.21.14.4/8 = 113,400 (кН);
Значения коэффициентов при неизвестных, который заключатся в определении коэффициентов перемножением эпюр, используя способ Верещагина и формулу Симпсона, как это делалось в методе сил. Эта возможность вытекает из теоремы о взаимности работ и реализуется в виде следующей формулы:
rik =  ;
Mi и Мk – единичные эпюры, построенные в основной системе метода перемещений.
r11 = 1/2. 4,4.0,065.105. 2/3. 0,065.105/(0.42.105) +1/2. 4,4.0,065.105. 2/3. 0,065.105/(0.42.105) = 0,03.105;
r12 = r21 = 0;
r13 = r31 = -1/2. 4,4.0,065.105. 2/3. 0,286.105/(0.42.105) = - 0,065.105;
r14 = r41 = -1/2. 4,4.0,065.105. 2/3. 0,286.105/(0.42.105) = - 0,065.105;
r22 = 1/2. 3,5.0,343.105. 2/3. 0,343.105/(1.4.105) = 0,098.105;
r23 = r32 = - 1/2. 3,5.0,343.105. 2/3. 1,2.105/(1.4.105) = - 0,343.105;
r42 = r24 = 0;
r33 = 1/2. 3,5.1,2.105. 2/3. 1,2.105/(1.4.105) + 1/2. 4,4.0,286.105. 2/3. 0,286.105/(0.42.105) +1/2. 14,4.0,292.105. 2/3. 0,292.105/(1.4.105) + 1/2. 8,8.0,143.105. 2/3. 0,143.105/(0.42.105) = 1,921.105;
r34 = r43 = 0;
r44 = 1/2. 9,6.0,438.105. 2/3.0,438.105/(1.4.105) + 1/2. 4,4.0,286.105. 2/3. 0,286.105/(0.42.105) + 1/2. 4,4.0,143.105. 2/3. 0,143.105/(0.42.105) =
= 0,867.105;
Значения свободных членов системы канонических уравнений найдём статическим способом (рис.14):
рис.14
Если сделать сечение 1-1, то из проекции всех сил, действующих на отсеченную часть, на ось Y найдём R2p :
 ; R2p – 120 =0; R2p =120 (кН);
Из проекции всех сил, действующих на вырезанный узел O, на ось Х найдем R1p:
 ; R1p =0;
Вырежем узел L :
 ; R3p + 544,320 =0; R3p = -544,320 (кН.м);
Вырежем узел N :
 ; R4p + 420 =0; R4p = -420 (кН.м);
Найденные коэффициенты подставим в систему (*), которая в матричной форме примет вид:
Решив систему линейных алгебраических уравнений, найдем значения неизвестных Z1 ,Z2 , Z3 , Z4 :
 ;
5. Окончательную эпюру изгибающих моментов (рис.15) построим согласно выражению :
 .
рис.15
6. Для проверки правильности построения эпюры М рассмотрим статическое равновесие жестких узлов рамы (рис.16):
рис.16
7. Вычислим значения эпюры поперечных сил (рис.17):
QOL = QLO = - 419,762/3,5 = -119,932 (кН);
QLD = QDL = - 54,268/8,8 = -6,167(кН);
QLR= QRL = 39,621/4,4 = 9,005(кН);
QNL = QLN = 39,647/4,4 = 9,011(кН);
QNP = QPN = -93,764/8,8 = -10,655(кН);
QNA = QAN = - 286,863/9,6 = -29,882(кН);
QNV = QVN = 420/3,5 = 120(кН);
Q LA= 21.14,4/2 + 434,245/14,4 = 181,356(кН);
Q AL= -21.14,4/2 + 434,245/14,4 = -121,044(кН);
6. Эпюру поперечных сил строим как и в методе сил по эпюре изгибающих моментов (рис.16), а эпюру продольных сил по эпюре поперечных сил (рис.18).
рис.17
Рассмотрим узел О:
Рассмотрим узел N:
Рассмотрим узел A:
Рассмотрим узел L:
Эпюра продольных сил представлена на рис.19.
рис.18
рис.19
7. Проверим выполнение условия равновесия всех сил, действующих на раму (рис.20):
р ис.20
Рама рассчитана верно.
|
|
|
Скачать 0.51 Mb.