RGR_2Кукушкин. Расчётнографическая работа 2 Случайные величины

• Название: Расчётнографическая работа 2 Случайные величины
• Дата: 18.12.2018
• Размер: 43.24 Kb.
• Имя файла: RGR_2Кукушкин .docx
• Тип: Задача; #60756

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего образования

«Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова»

Расчётно-графическая работа №2

Случайные величины

Вариант 11


Выполнил студент

группы МС-11-16

Кукушкин Н.Ю.
Проверила:

Селивёрстова Л.В

Чебоксары 2018
Задача 2.1. В каждом из 11 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,41. Вычислить все вероятности рk , k = 0, 1, 2, ..., 11, где k - частота события А. Построить график вероятностей рk. Вычислить наивероятнейшую частоту.



Задано: n = 11, p = 0,41, q = 1 - p = 0,59.

Найти: , , , ..., и k.

Значение вычисляем по формуле Бернулли

(k)=

(k=0)==1*1*0,000607=0,003016

(k=1)==11*0,41*0,005111=0,023051

(k=2)==55*0,1681*0,008663=0,080094

(k=3)==165*0,0689*0,0147=0,167117

(k=4)==330*0,0282*0,0249=0,231719

(k=5)==462*0,0116*0,0422=0,226158

(k=6)==462*0,0047*0,0715=0,155255

(k=7)==330*0,0019*0,1212=0,075992

(k=8)==165*0,0008*0,2054=0,027113

(k=9)==55*0,0003*0,3481=0,005744

(k=10)==11*0,0001*0,59=0,000649

(k=11)==1*0,000055*1=0,000055

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям: np - q  k  np + p

11*0,41-0,59k11*0,41+0,41

3,92k4,92

K=4

k	(n-k+1)/k
0	-	0,003016
1	11/1	0,023051
2	10/2	0,080094
3	9/3	0,167117
4	8/4	0,231719
5	7/5	0,226158
6	6/6	0,155255
7	5/7	0,075992
8	4/8	0,027113
9	3\9	0,005744
10	2\10	0,000649
11	1\11	0,000055
∑	-	≈1

Задача 2.2. В каждом из 755 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,57. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 325 раз;

б) меньше чем 325 и больше чем 274 раз;

в) больше чем 325 раз

Решение:

a)Задано: п = 755, р = 0,57, k = 325

Найти: (325)

Используем локальную теорему Лапласа . Находим:

==13,1

X==-8

(-8) = 0

(325)=0

б) Задано: п = 755, р = 0,57,а=274, k = 325

Найти: (274
Используем интегральную формулу Лапласа



==-11.9

==-8

Значения функции Ф(х) найдем из таблицы:

(274
в) Задано: n = 755, р = 0,57, а = 325, b = 755.

Найти: (325
Имеем =-8 ==24,8

(325
Задача 2.3. В каждом из 588независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,51. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 308 раз;

б) точно 278 раз;

в) меньше чем 339 и больше чем 279 раз;

г) меньше чем 323 раз.

При решении этой задачи используем теоремы Лапласа: локальную в случаях а) и б) и интегральную для случаев в) и г).

а)X== (1,33) =0,1647

==0,027

б) X== (3,59) =0,0006

==0,000098

==

==

(279(Ф(3,42) - Ф(6,41)) = 0,5(Ф(3,42) - Ф(6,41)) = 0,5*(0,49966-0,5)=-0,00017

в) ==

==9

(0(Ф(3,79) - Ф(-49,18)) = Ф(3,42) + Ф(49,18) = 0,5*(0,49966+0,5)=0,49983

Задача 2.4. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью . Найти вероятность того, что среди 1300 соединений имеет место:

а) точно 3 неправильных соединений;

б) меньше чем 3 неправильных соединений;

в) больше чем 2 неправильных соединений.

Решение

а) Задано: n = 1300, p = 1/1300, k = 3.

Найти: (3).

Получаем:  = 3900*1/1300 = 3. Из таблиц определяем Р200(1) = 0,3679.

(k=3)====0,075

б) (k<3)=(k=0)+(k=1)+(k=2)==0,05+0,15+0,225=0,425

в) Эту задачу можно решить проще- найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

(k>2)=1- (k≤2)=1-(k<3)=1-0,425=0,575

Задача 2.5. В каждом из 490 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,74. Найти вероятность того, что относительная частота k/ 490 этого события отличается по абсолютной величине от вероятности 0,74 не больше чем на 0,0033 (на 0,0088)

Задано: n = 490, р = 0,74, 1=0,0044, 2 = 0,0088.

Найти: (k/ 490 - 0,74< 0,0044) и

(k/ 490 - 0,74< 0,0088).

Решение

(k/ 490 - 0,74< 0,0044)= 2Ф(0,0044) =2Ф(0,22) =2*0,0871=0,1742

(k/ 490 - 0,74< 0,0088)= 2Ф(0,0088) =2Ф(0,44) =2*0,17=0,34

Задача 2.6. Случайная величина Х задана рядом распределения.

X	14 19 24 34
P	0,09 0,13 0,45 0,33

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX и моду Мо.

Решение

Функцию распределения находим по формулам (1.20) и (1.21) для дискретных случайных величин:



Построим график функции распределения F(x). Среднее значение ЕХ вычисляем по формуле :

ЕХ = 14 * 0,09 + 19 * 0,13 + 24 * 0,45 + 34 * 0,33 = 25,75.

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулами :

Е( ) = * 0,09 + * 0,13 + * 0,45 + * 0,33 = 705,25,

DX = 705,25- 25,75 = 679,5

Модой Мо(Х) дискретной случайной величины называют ее наиболее вероятное значение: Мо(Х) = 24

Задача 2.7. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности



Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить график функции f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX, моду Мо и медиану Ме.

Решение

Функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины найдем по формуле:

F(x)=dt==, 0
Поэтому



Построить графики функций f(x) и F(x). Среднее значение Х вычисляем по формуле

EX====17,3

Для нахождения дисперсии Х воспользуемся формулами:

E====338

DX = 338 - = 338-299 = 39

Из графика видно, что f(x) достигает максимума в точке х = 26 и, значит

Мо =26.

Для нахождения медианы Ме нужно решить уравнение = 338.

Имеем х = 13 . Случайная величина определена только на интервале [0, 26], значит, Ме = 13 = 18,385.

Задача 2.8. Случайная величина Х задана функцией распределения



Найти функцию плотности вероятности f(x) случайной величины Х. Построить график функции f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX, моду Мо и медиану Ме.

Решение

Функциюплотности f(х) непрерывной случайной величины найдем по производной:

f(x)=F’(x)=)’=

Поэтому



Построить графики функций f(x) и F(x). Среднее значение Х вычисляем по формуле

EX====7

Для нахождения дисперсии Х воспользуемся формулами:

E====65,3

DX = 65,3 - = 65,3-49 = 16,3

Из графика видно, что f(x) достигает максимума в точке х принадлежит и, значит

Мо – любое число на отрезке

0,5=Р(0=→ Me=7.

Задача 2.9. Задана случайная величина ХN (3, 11). Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение :

а) в интервале [8, 17];

б) меньшее 8;

в) большее 17;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 3.

Решение

В первых трех случаях можно воспользоваться формулой

Р(a ≤X≤ b )=Ф)-Ф(),

а в четвёртом формулой

Р(≤ε)=2Ф()

а) Р(8 Х  17)=Ф()-Ф(=Ф(2)+Ф(1)=0,4772+0,3413=0,8185

б) Р(Х  8)= Р( Х  8)=Ф(Ф(=Ф(-1)+0,5= -0,3413+0,5=0,1587

в) Р(Х  17)=Р(17Х+)=Ф(+-Ф()=0,5-Ф(2)=0,5-0,4772=0,0228

г) Р(≤3)=2Ф()=2Ф(1)=2*0,3413=0,6826

Задача 2.10. Задана случайная величина   1,5 . и точки х1 , х2, х3, х4, х5 на числовой оси, разделяющие ее на на шесть интервалов. Найти вероятность того, что случайная величина Х принимает значения в этих интервалах

Решение

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х приняла значение из интервала , определяется по следующей формуле: 

Р(a ≤X≤ b )=Ф)-Ф()

Р(Х  -9)= Ф(Ф(=Ф(-2)+0,5= -0,4772+0,5=0,0228

Р(-9 Х  -6)=Ф()-Ф(=Ф(-1,4)-Ф(-2)=-0,4192+0,4772=0,0580

Р(-6 Х  1)=Ф()-Ф(=Ф(0)-Ф(-1,4)=0 +0,4192=0,4192

Р(1 Х  6)=Ф()-Ф(=Ф(1)-Ф(0)=0,3413-0=0,3413

Р(6 Х  16)=Ф()-Ф(=Ф(3)-Ф(1)=0,49865-0,3413=0,15735

Р(Х  16)=Ф(+-()=0,5-Ф(3)=0,5-0,49865=0,00135

Проверка:

 Р(  Х  + 1)=1

0,0228+0,0580+0,4192+0,3413+0,15735+0,00135=1