РГЗ по мтаематике. РГЗ по математике. Рассмотрим уравнение кривой
![]()
|
![]() Решение 1) Рассмотрим уравнение кривой ![]() Матрица квадратичной части многочлена второй степени имеет вид ![]() Найдем собственные числа данной матрицы, приравняв определитель матрицы ![]() ![]() ![]() Находим определитель ![]() ![]() ![]() Приравниваем его к нулю и находим собственные числа ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Собственные числа найдены. Находим собственные вектора. Собственный вектор для собственного числа ![]() ![]() ![]() ![]() Решим однородную систему уравнений ![]() Вычислим ранг матрицы коэффициентов ![]() ![]() Значит, ранг матрицы коэффициентов равен одному. Выберем в качестве базисного минор элемента первой строки и второго столбца ![]() ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() ![]() Из общего решения системы находим фундаментальную систему решений ![]() Соответствующий ортонормированный собственный вектор ![]() Собственный вектор для собственного числа ![]() ![]() ![]() ![]() Решим однородную систему уравнений ![]() Так как строки матрицы коэффициентов ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, общее решение системы ![]() Из общего решения системы находим фундаментальную систему решений ![]() Соответствующий ортонормированный собственный вектор ![]() Таким образом мы нашли ортонормированные собственные вектора ![]() ![]() Выберем орты ![]() ![]() ![]() ![]() Матрица перехода к новому базису имеет вид ![]() Выполняя преобразование ![]() ![]() получим ![]() ![]() ![]() Выделим полные квадраты по переменным ![]() ![]() ![]() Выполним параллельный перенос системы координат согласно формулам ![]() Здесь ![]() ![]() Уравнение кривой принимает вид ![]() ![]() ![]() Данное уравнение представляет собой каноническое уравнение гиперболы с полуосями ![]() ![]() Итоговое преобразование координат ![]() ![]() Таким образом, формула преобразования координат ![]() Уравнение Оси ![]() ![]() ![]() Уравнение оси ![]() ![]() ![]() Найдем координаты начала канонической системы координат ![]() ![]() ![]() Таким образом, начало канонической системы координат ![]() ![]() Выполним построение ![]() 2. Преобразуем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При параллельном переносе координат ![]() получим кривую ![]() Это каноническое уравнение окружности с центром в начале новой системы координат и радиусом 2. Центр новой (канонической) системы координат в старой системе имеет координаты ![]() А оси канонической системы координат сонаправлены с осями исходной системы координат. Выполним построение ![]() 3. Преобразуем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Выполним параллельный перенос системы координат ![]() Тогда в новой системе координат кривая примет вид ![]() Это каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале новой (канонической) системы координат. Полуоси гиперболы равны: действительная полуось ![]() мнимая полуось ![]() Осью симметрии гиперболы является прямая ![]() Центр канонической системы координат совпадает с центром симметрии гиперболы и в исходной системе имеет координаты ![]() Оси новой системы координат сонаправлены с осями исходной системы. Выполним построение ![]() 4. Преобразуем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Выполним параллельный перенос по формулам ![]() Кривая примет вид ![]() В новой системе координат это каноническое уравнение параболы с осью симметрии осью ![]() ![]() Вершина параболы лежит в начале канонической системы координат, в исходной системе имеет координаты ![]() Оси новой (канонической) системы координат сонаправлены с осями исходной. Выполним построение ![]() ![]() Решение Выполним построение в полярных координатах. Заполним таблицу
Построим график ![]() Преобразуем кривую ![]() с помощью формул ![]() имеем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При параллельном переносе координат ![]() в новой системе координат кривая примет вид ![]() Это каноническое уравнение параболы с осью симметрии осью ![]() ![]() Ось ![]() ![]() Заметим, что условие ![]() дает ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это условие соответствует тому факту, что при ![]() парабола никогда не пересечет ось ![]() |