4 вопрос. 4 ВОПРОС. Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках
 Скачать 22.87 Kb.
|
|
Математика «Рассуждение о методе» Декарта В 1637 году вышел в свет главный математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»). В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе — правильная формулировка закона преломления света) и многое другое. Особо следует отметить переработанную им математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид (дробные и отрицательные утвердились благодаря Ньютону). Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся в канонической форме (в правой части — нуль). Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой», и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере». Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Этот перевод имел тот недостаток, что теперь надо было аккуратно определять подлинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). Однако достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам. В приложении «Геометрия» были даны методы решения алгебраических уравнений (в том числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых. Новый способ задания кривой — с помощью уравнения — был решающим шагом к понятию функции. Декарт формулирует точное «правило знаков» для определения числа положительных корней уравнения, хотя и не доказывает его. Декарт исследовал алгебраические функции (многочлены), а также ряд «механических» (спирали, циклоида). Для трансцендентных функций, по мнению Декарта, общего метода исследования не существует. Мнимые числа ещё не рассматривались Декартом на равных правах с положительными, однако он сформулировал (хотя и не доказал) основную теорему алгебры: общее число вещественных и комплексных корней уравнения равно его степени. Отрицательные корни Декарт по традиции именовал ложными, однако объединял их с положительными термином действительные числа, отделяя от воображаемых (комплексных). Этот термин вошёл в математику. Впрочем, Декарт проявил некоторую непоследовательность: коэффициенты a, b, c… у него считались положительными, а случай неизвестного знака специально отмечался многоточием слева. Все неотрицательные вещественные числа, не исключая иррациональные, рассматриваются Декартом как равноправные; они определяются как отношения длины некоторого отрезка к эталону длины. Позже аналогичное определение числа приняли Ньютон и Эйлер. Декарт пока ещё не отделяет алгебру от геометрии, хотя и меняет их приоритеты; решение уравнения он понимает как построение отрезка с длиной, равной корню уравнения. Этот анахронизм был вскоре отброшен его учениками, прежде всего — английскими, для которых геометрические построения — чисто вспомогательный приём. Книга «Метод» сразу сделала Декарта признанным авторитетом в математике и оптике. Примечательно, что издана она была на французском, а не на латинском языке. Приложение «Геометрия» было, однако, тут же переведено на латинский и неоднократно издавалось отдельно, разрастаясь от комментариев и став настольной книгой европейских учёных. Труды математиков второй половины XVII века отражают сильнейшее влияние Декарта. Пьер Ферма (1601-1665) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма). В одном из некрологов Пьеру Ферма говорилось - "Это был один из наиболее замечательных умов нашего века, такой универсальный гений и такой разносторонний, что если бы все ученые не воздали должное его необыкновенным заслугам, то трудно было бы поверить всем вещам, которые нужно о нем сказать, чтобы ничего не упустить в нашем похвальном слове". Одной из первых математических работ Пьера Ферма было восстановление двух утерянных книг Аполлония "О плоских местах". Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это, несколько ранее, было сделано Кеплером в отношении геометрии древних. Он совершил этот важный шаг в своих относящихся к 1629 году работах о наибольших и наименьших величинах, - работах, открывших собою тот ряд исследований Ферма, который является одним из самых крупных звеньев в истории развития не только высшего анализа вообще, но и анализа бесконечно малых в частности. В конце двадцатых годов Пьер Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной. В 1636 году законченное изложение метода было передано Мерсенну и с ним могли познакомиться все желающие. В 1637-1638 годах по поводу "Метода отыскания максимумов и минимумов" у Ферма возникла бурная полемика с Декартом. Последний не понял метода и подверг его резкой и несправедливой критике. В одном из писем Декарт утверждал даже, что метод Пьера Ферма "содержит в себе паралогизм". В июне 1638 года Ферма послал Мерсенну для пересылки Декарту новое, более подробное изложение своего метода. Письмо его сдержанно, но не без внутренней иронии. Он пишет: "Таким образом, обнаруживается, что либо я плохо объяснил, либо г. Декарт плохо понял мое латинское сочинение. Я все же пошлю ему то, что уже написал, и он, несомненно, найдет там вещи, которые помогут ему отказаться от мнения, будто я нашел этот метод случайно и его подлинные основания мне неизвестны". Пьер ни разу не изменяет своему спокойному тону. Он чувствует свое глубокое превосходство как математика, поэтому не входит в мелочную полемику, а терпеливо старается растолковать свой метод, как это сделал бы учитель ученику. До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми "параболами" и любыми "гиперболами". Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной. Пьер Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т.е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей. Таким образом, понятие "площади" у Ферма приобретало уже весьма абстрактный характер. К определению площадей сводились задачи на спрямление кривых, вычисление сложных площадей он сводил с помощью подстановок к вычислению более простых площадей. Оставался только шаг, чтобы перейти от площади к еще более абстрактному понятию "интеграл". Дальнейший успех методов определения "площадей", с одной стороны, и "методов касательных и экстремумов" - с другой, состоял в установлении взаимной связи этих методов. Есть указания на то, что Пьер Ферма уже видел эту связь, знал, что "задачи на площади" и "задачи на касательные" являются взаимно обратными. Но он нигде не развил свое открытие сколько-нибудь подробно. Поэтому честь его по праву приписывается Барроу, Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу, которым это открытие и позволило создать Дифференциальное и интегральное исчисления. Развив идею Декарта, Ферма применил аналитическую геометрию к пространству. В работе "Введение к теории плоских и пространственных мест", ставшей известной в 1636 году, Ферма показал, что прямым соответствуют уравнения 1-й степени, а коническим сечениям - уравнения 2-й степени. Ферма исследовал общие виды уравнений 1-й и 2-й степени. Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Пьера Ферма в области теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений - так называемого метода неопределенного или бесконечного спуска, о котором будет сказано ниже. Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел. У Пьера Ферма есть много других достижений. Он первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Но Ферма не ограничивался одной только математикой, он занимался и физикой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в средах. Пьер исходил из предположения, что свет пробегает путь от какой-либо точки в одной среде до некоторой точки в другой среде в наикратчайшее время. Применив свой метод максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности, закон преломления света. При этом Ферма высказал следующий общий принцип: "Природа всегда действует наиболее короткими путями". Одно из последних писем ученого к Каркави получило название "завещание Ферма". Вот его заключительные строки: "Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что древние не все знали, и это может проникнуть в сознание тех, которые придут после меня для передачи факела сыновьям, как говорит великий канцлер Англии, следуя чувствам которого, я добавлю: "Многие будут приходить и уходить, а наука обогащается". Пьер Ферма скончался 12 января 1665 года во время одной из деловых поездок. Собрание математических сочинений и писем Пьером Ферма было издано в первый раз его сыном Самюелем в 1679 г. Новое, более полное и совершенное собрание сочинений Пьера Ферма было издано в Париже в трех томах, под заглавием "Oeuvres de Fermat, publiees par les soins de P. Tannery et Ch. Henry" (1896). (В.В. Бобынин) Роберваль был одним из тех математиков, которые, как раз перед изобретением бесконечно малого исчисления, заняли их внимание с проблемами, которые только разрешимы, или могут быть наиболее легко решены некоторым методом, включающим пределы или infinitesimals, который был бы сегодня решен исчислением. Он работал над квадратурой поверхностей и cubature твердых частиц, которых он достиг, в некоторых более простых случаях, оригинальным методом, который он назвал «Методом Indivisibles»; но он потерял большую часть кредита открытия, когда он держал свой метод для его собственного использования, в то время как Бонавентура Кавальери издал подобный метод, который он независимо изобрел. Другое из открытий Роберваля было очень общим методом рисования тангенсов, рассматривая кривую, как описано движущимся пунктом, движение которого - результант нескольких более простых движений. Он также обнаружил метод получения одной кривой от другого, посредством которого конечные области могут быть получены равные областям между определенными кривыми и их асимптотами. К этим кривым, которые были также применены, чтобы произвести некоторую квадратуру, Евангелиста Торричелли дала имя «линии Robervallian». Между Робервалем и Рене Декартом там существовал чувство недоброжелательности, вследствие ревности, пробужденной в уме прежнего критикой, которую Декарт предложил некоторым методам, используемым им и Пьером де Ферма; и это принудило его критиковать и выступать против аналитических методов, которые Декарт ввел в геометрию в это время. Поскольку результаты трудов Роберваля за пределами чистой математики могут быть отмечены работа над системой вселенной, в которой он поддерживает коперниканскую heliocentric систему и приписывает взаимное притяжение всем частицам вопроса и также изобретения специального вида баланса, Баланса Роберваля. Евангелиста Торричелли (1608–1647) была итальянским физиком и математиком, известным прежде всего его изобретением барометра, но также известна его достижениями в оптике. Торричелли также известен открытием трубы Торричелли (также - возможно, чаще - известный как Рожок Габриэля), чья площадь поверхности бесконечна, но чей объем конечен. Это было замечено как «невероятный» парадокс многими в то время, включая самого Торричелли, и вызвало жестокое противоречие о природе бесконечности, также вовлекая философа Гоббса. Это, как предполагают некоторые, привело к идее «законченной бесконечности». Торричелли попробовал несколько альтернативных доказательств, пытаясь доказать, что его площадь поверхности была также конечна - весь из который подведенный. Торричелли был также пионером в области бесконечного ряда. В его De dimensione parabolae 1644, Торричелли рассмотрел уменьшающуюся последовательность положительных условий и показал, что соответствующий складывающийся ряд обязательно сходится к, где L - предел последовательности, и таким образом дает доказательство формулы для суммы геометрического ряда. |