1. История развития понятия числа. Действительные числа Число

• Название: 1. История развития понятия числа. Действительные числа Число
• Дата: 19.12.2021
• Размер: 30.11 Kb.
• Имя файла: matemati4kashluha.docx
• Тип: Документы; #308974

1. История развития понятия числа. Действительные числа

Число – это основное понятие математики, используемое для качественной характеристики, сравнения, нумерации и т.д. Натуральные числа – это числа, начиная с единицы, получаемые при счете предметов – Множества (N) натуральных чисел – N э {1; 2; 3...} Целые числа – это все натуральные числа, а также все числа противоположные им по знаку и число «0» - Множества целых чисел (Z) – Z э {0; +-1; +-2; ...} Рациональные числа – это числа которые можно представить в виде дроби m/n, где m э Z и n э N Рациональные числа – это множества бесконечных, периодических, десятичных дробей. Множества рациональных чисел – Q э {m/n, где m э Z и n э N} Иррациональные числа – 1) это числа, не представимые в виде обыкновенной дроби 2) это множества бесконечных десятичных непериодических дробей Множества ир. Чисел – У Действительные числа – 1) это любые рациональные и иррац числа 2) это все бесконечные (периодич и непериодич) десятичные дроби R=Q U У

2. Десятичные приближения действительных чисел

Числа – точные и приближенные (x-точное значение a- его приближенное значение) Модуль разности между числом «х» и его приближ значением «а» назывется абсолютной погрешностью приближ значения числа «x» и обозначается через «альфа» альфа= |x-a| Число «а» называется приближенным значением точного числа «х» с точностью до «дельта а», если абсолютная погрешность приближенного значения «а» не превышает «дельта а» |x-a|<=дельта а Число «дельта а» называется границей абсолютной погрешности приближенного числа «а» Доверительный интервал: x=a+-дельта а a-дельта а<= x <= a+ дельта а Цифра «m» приближенного числа «а» называется верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа «а» не превосходит единицы того разряда, в котором записывается цифра «m» Цифра «m» приближенного числа «а», называется верной в строгом смысле, если граница абс погрешности числа «а» не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра «m» Цифры в записи приближенного числа о которых неизвестно, являются ли они верными, называются сомнительными Значащими цифрами приближенного числа называются все его верные цифры, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева-направо) отличной от нуля При округлении числа «а» его заменяют числом «а₁» , с меньшим кол-вом значащих цифр Абсолютная величина разности |a-a₁|, называется погрешностью округления Относительной погрешностью дельта приближенного значения «а» числа «х» называется отношением абсолютной погрешности альфа этого приближения к числу «а» дельта=альфа/|a| Границей абсолютной погрешности эбселент (E)приближенного значения «а» называется отношение границы абсолютной погрешности «дельта а» к модулю числа «а» E_a=дельта а/ |a| или E_a=дельта а/|a| *100%

3. Корни натуральной степени из числа и их свойства
мб свойства степеней

4. Степень с рациональным и действительными показателями, их свойства

Мб свойства степеней

5. Логарифмы и их свойства. Основное логарифмическое тождество

Логарифмом положительного числа «b» по основанию «а», где а>0 & a!=1, называется показатель степени, в которую надо возвести число «а», чтобы получить «b» log_ab=c -> a^c=b Десятичный логарифм lgb=log₁₀b натуральный логарифм lnb=log_eb, где e=2,7... log_a1 Cвойства: 1)log_a1=0 2)log_aa=1 3)log_c(ab)=log_ca+log_cb 4)log_c(a/b)=log_ca-log_cb 5)log_a^kb=1/k log_ab 6)log_ab^m=m*log_ab 7)log_a^kb^m=m/k log_ab 8)log_ab=1/log_ba 9)log_ab=log_cb/log_ca 10)a^log_c^b=b^log_c^a Основное логарифмическое тождество: a^log_a^b=b

6. Логарифмирование и потенцирование выражений

Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме, или разности логарифмов переменных Потенцирование – это нахождение числа по известному логарифму

7. Формула перехода от одного основания логарифма к другому

log_ab=log_cb/log_ca & log_ab=1/log_ba

8. Числовая функция. График функции

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению х отвечает одно и только одно значение у Переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у-зависимой переменной Значение у, которое отвечает данному значению х, называют значением функции f в точке х и обозначают символом f(x)  Гр функции к примеру y=x (начертить)

9. Простейшие преобразования графиков функции

y=-f(x) -> отобразить график функции y=f(x) симметрично оси абсцисс y=f(-x) -> отобразить график ф y=f(x) симметрично относит оси ординат y=f(x)+a, a>0 -> параллельно перенести график функции y=f(x) вдоль оси ординат на «а» единиц вверх y=f(x)-a, a>0 -> параллельно перенести гр ф вдоль оси ординат на «а» ед вниз y=f(x+a), a>0 -> параллельно перенести гр ф вдоль оси абсцисс на «а» единиц влево (y=f(x-a) a>0 –вправо) y=|f(x)| -> объеденить гр ф для y>=0 и отобразить функцию у=f(x) для y<0 симметрично оси абсцисс y=f(|x|) (пусть f(x)=ax²+bx+c, a>0, D>0) -> объеденить гр ф для х>=0 и отобразить его симметрично оси ординат |y|=f(x) (пусть f(x)=ax²+bx+c, a>0, D>0) -> объеденить гр ф для у>=0 и отобразить его симм оси абсцисс y=af(x), a>0 -> растянуть гр ф от оси абсцисс в «а» раз (а>1) или сжать к оси абсцисс в «а» раз(0y=f(ax), a>0 -> сжать гр ф к оси ординат в «а» раз(a>1) или растянуть от оси ординат в «а» раз (0
10.Свойства функции: монотонность, ограниченность, чётность и нечётность, периодичность

Монотонность – функция y=f(x) называется возрастающей на множестве х, если для любых х₁ и х₂ из х при х₁<х₂ выполняется неравенство f(x₁)2)  функция называется убывающей ... f(x₁)>f(x₂)

Ограниченность – функцию y=f(x) определенную на множестве Х, называют ограниченной на множестве Х, если существует число М>0, такое, что |f(x)| <= M для любого х э Х

Четность и нечетность – ф-ия четная, если область определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство f(-x)=f(x) <=> нечетной- f(-x)=-f(x)

Периодичность – ф-ия называется периодической с периодом T!=0, если для любого х в области определения ф-ии y=f(x) выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x)

11.Обратные функции. График обратной функции

Функция y=f(x), xэX является обратной, если любое своё значение она имеет только в одной точке множества X (когда разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции) Теорема 1: Если функция y=f(x), хэХ монотонна на множестве Х, то она обратима Теорема 2: если функция y=f(x) возрастает на множестве Х и область значений функции есть множество У то обратная функция x=f^-1(y), y=У, возрастает на множестве У, или если функция y=f(x) убывает на множестве Х и область значений функции есть множество У, то обратная функция х=f^-1(y), y=У убывает на множестве У Теорема 3: Точки М(а,b) функции y=f(x) и P(b,a) функции х=f^-1(y) симметричны относительно прямой y=x Пример функции (начертить): y=x² x>=0 -> чертите y=x² и y=x^0.5(корень из х),а также элементарную функцию y=x

12.Степенная функция, её графики и свойства

y=x^k, где k=R  1. k=2n – четное натуральное число ->график-> свойства: 1) D(y)=R 2)E(y)=[0;+ ∞] 3)Функция четная – а)D(y)- симметричное множество б) y(-x)=y(x) четная функция 4) ф-я убывает при х э (-∞; 0) ф-я возрастает при х э [0; +∞) 5) ф-я непрерывная 6) ф-я непериодическая 2. k=2n-1 –нечетное натуральное число -> график -> свойства: 1) D(y)=R 2) E(y)=R 3)ф-я нечетная а)D(y) – симметричное множество б) y(-x)=-y(x) – нечетная функция 4) ф-я возрастает на D(y) 5) ф-я непрерывная для у=х³ 6) ф-я непериодическая 3. k=-2n, где n – натуральное число -> график -> свойства: 1)D(y)=R 2)E(y)=(0;+ ∞) 3)ф-я четная а)D(y) – симметричное множество б) y(-x)=1/(-x)²ⁿ=1/x²ⁿ=y(x) 4) ф-я возрастает при х э (-∞;0) ф-я убывает при х э (0;+ ∞) 5)ф-я непрерывная 6)ф-я непериодическая 4. k=-(2n-1), где n э N -> график ->свойства: 1) D(y)=(- ∞; 0) 2)E(y)=(- ∞;0) U (0; +∞) 3) ф-я нечетная а) D(y) –симм мн б) y(-x)=1/(-x)^2n-1=1/x^2n-1=-y(x) y(-x)=-y(x) – нечетная ф-я 4)ф-я убывает при х э (-∞; 0) U (0; +∞) 5) ф-я непрерывная 6)непериодическая ф-я 5. k-положительное действительное нецелое число -> график-> свойства: 1)D(y)=[0;+ ∞] 2)E(y)=[0;+ ∞) 3)ф-я не явл четной и не явл нечетной ->ф-я общего вида Мн-во D(y) не симметрично 4) ф-я возрастает при х э [0; +∞) 5)ф-я непрерывная на D(y) 6)непериодич ф-я 6. k- отрицательное действительное нецелое число ->график->свойства: 1)D(y)=(0;+ ∞) 2)E(y)=(0;+ ∞) 3)ф-я убывающая при х э (0;+ ∞) 4)ф-я общего вида D(y) не симм множ-во 5)ф-я непрерывная на D(y) 6)ф-я непериодическая

13.Показательная функция, её графики и свойства

Ф-я вида y=a^x, где основанием служит заданное число a>0, a!=0, называется показательной ф-ей 1.y=2^x ->график-> свойства: 1)D(y)=R 2)E(y)=(0;+ ∞) 3)ф-я возрастает при х э R если а>1 4)ф-я общего вида а) D(y)-симм мн-во б) y(-x)=2^-x=1/2^x y(-x)!=y(x) – не явл четной y(-x)!=-y(x) – не явл нечетной 5)y>0 при х э R 6)точки пересечения с ОУ: (0;1) с ОХ не пересекается 7)ф-я непрерывная 8)ф-я непериодическая 2. y=a^x, где 0 y=(1/2)^x -> гр -> св-ва: 1)D(y)=R 2)E(y)=(0;+ ∞) 3)ф-я убывает при х э R, если 0ф-я общего вида а)D(y)-симм мн-во б)y(-x)=(1/2)^-x=1/(1/2)^x=2^x 5)y>0 при x э R 6) точки пересечения с ОУ: (0;1) с ОХ не пересек 7)ф-я непрерывная 8)ф-я непериодич

14.Показательные уравнения

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным -> a^f(x)=a^g(x), где а>0, a!=1 -> f(x)=g(x) -> Способы решения: 1) Уравнивание оснований 2)Логарифмирование обеих частей ур-ния 3) преобразование к квадратному ур-нию 4)способ группировки

15.Показательные неравенства

Неравенства вида а^x>c ; a^xu₁^(x)>f(x)^u₂^(x), где а>0, a!=1, c>0, называются простейшими показательными неравенствами -> преобразования: 1) a^x>c <-> {a>c; x>log_ca} {0ac} 2)a^x {a>1; xac} {0log_ac} 3) f(x)^u₁^(x)>f(x)^u₂^(x) <-> {f(x)>1; u₁(x)>u₂(x)} {01(x)2(x)}

16.Логарифмическая функция, её графики и свойства

Логарифмической называется функция вида: y=log_ax, где a>0, a!=1 1.y=log₂x->гр->св-ва: 1)D(y)=(0;+ ∞) 2)E(y)=R 3)ф-я возрастает при х э (0; +∞), если а>1 4)ф-я общего вида D(y)- несимм мн-во 5)y>0 при x э (1; +∞) y<0 при x э (0;1) 6)точки пересечения с ОХ (1;0) с ОУ не пересек 7) ф-я непрерывна на D(y) 8)ф-я непериодическая 2. y=log_1/2x ->гр -> св-ва: 1)D(y)=(0;+ ∞) 2)E(y)=R 3)ф-я убывает при 00 при x э (0;1) y<0 при х э (1; +∞) 6)точки пересечения с ОХ: (1;0) с ОУ не пересек 7)ф-я непрерывна на D(y) 8)ф-я непериодич

17.Логарифмические уравнения

Уравнением содержащее переменную под знаком логарифма или в основании логарифма – называется логарифмическим (log_ab=c -> a^c=b; a>0; a!=1; b>0)

18.Логарифмические неравенства

Неравенства вида log_ax>c; log_ax0 & a!=1, называются простейшими логарифмическими неравенствами -> преобразования: log_ax>c <-> {a>1; x>a^c} {0c} log_ax {a>1; 0c} {0a^c} log_f(x)u₁(x)>log_f(x)u₂(x) <-> [u₁(x)>0; u₂(x)>0] {f(x)>1; u₁(x)>u₂(x)} {01(x)2(x)}

19.Радианная мера угла

“рисуете круг” l=R – отношение длины дуги окружности l к длине ее радиуса R наз-ся радианной мерой «а» этой дуги: а=l/R При радианном измерении дуг за единицу измерения принимается дуга, длина которой равна радиусу этой дуги. Углом в 1 радиан наз-ся центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окр-ти.

20.Синус, косинус, тангенс и котангенса числа

Абсцисса Х точки М₂ числовой единичной окр-ти наз-ся косинусом числа «альфа»: x=cos a

Ордината У точки М₂ числовой единичной окр-ти на-ся синусом числа «альфа»: y=sin a

Отношение синуса числа «альфа» к его косинусу наз-ся тангенсом числа «альфа»: tga=sin a/cos a= y/x

Отношения косинуса числа «альфа» к его синусу наз-ся котангенсом числа «альфа»: ctga= cos a/sin a = x/y

21.Знаки и числовые значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа

Ф-ии cos a & sin a ограничены -1<=E(cosa)<=1; -1<=E(sina)<=1

Ф-ии tga & ctga не ограничены, т.к каждая из них может принимать любое действ значение

Четность нечетность: cosa- четная ф-я, остальные нечетные
Знаки тр.ф-й -> sina=y (1 и 2 четв +; 3 и 4 -); cosa=x (1 и 4 четв +; 2 и 3 -); tga & ctga (1 и 3 четв +; 2 и 4 -)

22.Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

1)sin²a+cos²a=1 2)1+tg²a=1/cos²a 3)1+ctg²a=1/sin²a 4)tga=sina/cosa 5)ctga=cosa/sina 6)tga*ctga=1

23.Тригонометрическая функция y=sinx. График и свойства

Свойства: 1)D(y)=R 2)E(y)=[-1;1] 3)Нечетная 4)Наименьший положит период-2П 5)пересечения с осью а)ОХ (Пn; 0) б)OУ (0;0) 6)промежутки а)положит знач (2Пn;П+2Пn) б)отриц знач (-П+2Пn; 2Пn) 7)Промежутки а)возрастания [-П/2+2Пn; П/2+2Пn] б)убывания: [П/2+2Пn; 3П/2+2Пn] 8)точки минимума: –П/2+2Пn 9)минимумы ф-ии: -1 10)точки максимума: П/2+2Пn 11)максимумы ф-ии: 1 n э Z

24.Тригонометрическая функция y=cosx. График и свойства

Свойства: 1)D(y)=R 2)E(y)=[-1;1] 3)четная 4)Наименьший положит период-2П 5)пересечения с осью а)ОХ (П/2+Пn; 0) б)OУ (0;1) 6)промежутки а)положит знач (-П/2+2Пn;П/2+2Пn) б)отриц знач (П/2+2Пn;3П/2+2Пn) 7)Промежутки а)возрастания [-П+2Пn;2Пn] б)убывания: [2Пn;П+2Пn] 8)точки минимума: П+2Пn 9)минимумы ф-ии: -1 10)точки максимума: 2Пn 11)максимумы ф-ии: 1 n э Z

25.Тригонометрическая функция y=tgx. График и свойства

Свойства: 1)D(y)=объединение интервалов (-П/2+Пn;П/2+Пn) 2)E(y)=R 3)нечетная 4)Наименьший положит период-П 5)пересечения с осью а)ОХ (Пn; 0) б)OУ (0;0) 6)промежутки а)положит знач (Пn;П/2+Пn) б)отриц знач (-П/2+Пn;Пn) 7)экстремумы: нет 8)промежутки монотонности: ф-я возрастает на каждом интервале D(y) 9)асимптоты: x=П/2+Пn n э Z

26.Тригонометрическая функция y=ctgx. График и свойства

Свойства: 1)D(y)=объединение интервалов(Пn;П+Пn) 2)E(y)=R 3)нечетная 4)Наименьший положит период-П 5)пересечения с осью а)ОХ (П/2+Пn; 0) б)OУ - 6)промежутки а)положит знач (Пn;П/2+Пn) б)отриц знач (-П/2+Пn;Пn) 7)экстремумы: нет 8)промежутки монотонности: ф-я убывает на каждом интервале D(y) 9)асимптоты: x=Пn n э Z

27.Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа

arcsinx э [-П/2;П/2] arccosx э [0; П] arctgx э (-П/2;П/2) arcctgx э (0;П) p.s: Арксинус числа аэ[-1;1]-это угол -П/2<=a<=П/2 синус которого равен а (так же для др)

28.Простейшие тригонометрические уравнения

-называются уравнения вида sinx=m,cosx=m,tgx=m,ctgx=m,где m- заданное число
1.sinx=m -> x=(-1)ⁿarcsinm+Пn, n э Z 2.cosx=m -> x=+-arccosm+2Пn, n э Z 3.tgx=m -> x=arctgm+Пn, n э Z 4. arcctgx=m -> x=arcctgm+Пn, n э Z

29.Простейшие тригонометрические неравенства

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства sinx>m,sinxm,cosxm,tgxm,ctgx Решить простейшее тригонометрическое неравенство-значит найти множества всех значений аргумента (дуг или углов), которые обращают данные неравенства в верное числовое неравенство -> пример

30.Формулы приведения

Формулы приведения позволяют выразить триг. ф-ии углов П/2+-а; П+-а; 3П/2+-а; 2П+-а через триг. ф-ии угла а (табл. VI) -> Правила: 1) Если «а» откладывается от оси ОХ, то наименование приводимой ф-ии, т.е. ф-ия аргумента 0+-а, П+-а, 2П+-а, не изменяется. Если же «а» откладывается от оси ОУ,то наименование приводимой ф-ии, т.е. ф-ии аргумента –П/2+-а,3П/2+-а, заменяется на сходное (синус-на косинус; тангсенс-на котангенс, и наоборот) 2) Знак, с которым нужно брать триг. ф-ию в правой части, находится по знаку левой части в предположении, что 0