Тригонометрические функции. Разработка урока Обратные тригонометрические функции и их вычисления
![]()
|
Основные тригонометрические тождества Тригонометрические функции связаны между собой следующими основными тождествами:
Из тождества I вытекают формулы ![]() ![]() С помощью основных тригонометрических тождеств решается задача отыскания значений всех тригонометрических функций по известному значению одной из них. Формулы сложения аргументов 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() 4. ![]() 5. ![]() 6. ![]() Формулы двойных и половинных углов Полагая ![]() 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() Из формулы 2 вытекают два часто употребляемых соотношения 4. ![]() ![]() 5. ![]() ![]() Из формул 4. и 5. можно получить формулы половинных углов: 6. ![]() ![]() где знак зависит от четверти, в которой оканчивается угол /2. Заменяя в равенствах 1.- 3. 2 на , а на /2, находим: 7. ![]() 8. ![]() 9. ![]() Кроме того, и выражаются через тангенс половинного угла по формулам 10. ![]() 11. ![]() Формулы приведения Значения тригонометрических функций острых углов вычисляют по таблицам. Значения функций любых углов можно вычислить с помощью формул приведения к острому углу. Сформулируем общее правило написания формул приведения: Знак тригонометрической функции определяют по первоначально заданному углу. Если аргумент можно представить как сумму или разность , 2 и острого угла, то название функции не изменяют. Если аргумент можно представить как сумму или разность /2, 3/2 и острого угла, то название функции изменяют на сходное (синус – на косинус, тангенс – на котангенс).
Формулы сложения одноименных функций Формулы сложения одноименных тригонометрических функций позволяют преобразовать сумму и разность функций в произведение этих функций. Они имеют следующий вид: 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() 4. ![]() Как их получаем? Сложим соответственно левые и правые части формул сложения аргументов 1. и 2., введем новые переменные: ![]() ![]() ![]() ![]() Т.е. ![]() Теперь заменим ![]() ![]() ![]() Аналогичные действия производим с формулами суммы и разности аргументов косинусов. Свойства и графики тригонометрических функций ![]() Область определения – множество всех действительных чисел. Область изменения (множество значений) – промежуток ![]() Функция ![]() ![]() Функция ![]() ![]() Нули функции: ![]() ![]() Промежутки знакопостоянства: ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() возрастает при ![]() и убывает при ![]() Функция ![]() минимальные значения, равные -1, при ![]() и максимальные значения, равные 1, при ![]() ![]() График функции ![]() ![]() Область определения – множество всех действительных чисел. Область изменения (множество значений) – промежуток ![]() Функция ![]() ![]() Функция ![]() ![]() Нули функции: ![]() ![]() Промежутки знакопостоянства: ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() возрастает при ![]() и убывает при ![]() Функция ![]() минимальные значения, равные -1, при ![]() и максимальные значения, равные 1, при ![]() ![]() График функции ![]() ![]() Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел ![]() Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел. Функция ![]() ![]() Функция ![]() ![]() Нули функции: ![]() ![]() Промежутки знакопостоянства: ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() График функции ![]() ![]() Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел ![]() Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел. Функция ![]() ![]() Функция ![]() ![]() Нули функции: ![]() ![]() Промежутки знакопостоянства: ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() Обратные тригонометрические функции Теорема о корне П ![]() ![]() ![]() у y=f(x) a 0 bx Доказательство: Докажем единственность корня уравнения ![]() Пусть существует с – еще один корень уравнения ![]() Т.е. ![]() ![]() ![]() Т.к. ![]() ![]() ![]() Следовательно, b - единственный корень. ![]() y=f(x) a 0 bcx Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Арксинусом числа a называется число из отрезка ![]() |