Книга. Речевых сигналов
 Скачать 1.72 Mb.
|
|
Глава 2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА РЕЧЕВЫХ СИГНАЛОВ 2.1. Преобразование Фурье 2.1.1. Ряд Фурье Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигна- лы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Для того чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле [43]: – не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконеч- ность ветвями функции); – число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным; – число экстремумов должно быть конечным. В зависимости от конкретной формы базисных функций различают следующие представления ряда Фурье. Синусно-косинусная форма Функция ( ) x t – периодическая с периодом T . Классическая синусно- косинусная форма представления этой функции в виде ряда Фурье имеет вид 0 1 1 ( ) cos( ) sin( ) 2 1 a x t a k t b k t k k k ∞ ⎡ ⎤ = + + ∑ ⎣ ⎦ = ω ω , (2.1) 2 2 ( ) cos( ) 1 2 T a x t k t dt k T T ω = ∫ − , 2 2 ( ) sin( ) 1 2 T b x t k t dt k T T ω = ∫ − , где 1 2 T π ω = – «основная» частота ряда частот 1 k ω гармоник, на которые раскладывается сигнал ( ) x t (рис. 2.1). 33 Достоинство такого представления – вещественность величин k a и k b . Недостаток – необходимость использования двух функций одной час- тоты 1 sin( ) k t ω и 1 cos( ) k t ω ( ) x t k a k b 2 T − 0 2 T t 0 1 2 3 k 0 1 2 3 k Рис. 2.1. Графическое представление ряда Фурье Амплитудно-фазовая форма Запишем (2.1) в виде 0 1 ( ) cos( ) 2 1 k a x t A k t k k ω ϕ ∞ = + + ∑ = (2.2) или 0 1 1 ( ) cos cos ( ) sin sin ( ) 2 1 a x t A k t A k t k k k k k ϕ ω ϕ ω ∞ ⎡ ⎤ = + − ∑ ⎣ ⎦ = Сравнивая с (2.1), видим, что cos ; a A k k k = ϕ sin b A k k k = − ϕ от- куда 2 2 ; arctg arctg k k b b k k A a b k k a a k k ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + = − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ϕ Комплексная форма В комплексной форме cos 2 jx jx e e x − + = Получаем 1 0 1 1 ( ) 2 2 1 ; k k k k t k a A k t k t x t e e k C e k ∞ + − + ⎡ ⎤ = + + = ∑ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ∞ = ∑ = −∞ ω ω ϕ ω ϕ (2.3а) 34 2 2 2 A j a b k k k k C e j k ϕ = = − = 1 1 1 2 2 1 1 ( ) cos( ) ( ) sin ( ) 2 2 2 1 ( ) 2 T T x t k t dt j x t k t T T T T T j k t x t e dt T T = − = ∫ ∫ − − − = ∫ − ω ω ω (2.3б) 2.1.2. Преобразование Фурье непериодических сигналов Преобразование Фурье (Fourier transform) – инструмент спектрально- го анализа непериодических сигналов [43]. При спектральном анализе не- периодических сигналов формула для расчета коэффициентов комплексно- го ряда Фурье (2.3б) модифицируется следующим образом: – частота перестает быть дискретно меняющейся и становится не- прерывным параметром преобразования ( 1 k ω заменяется на ω ); – удаляется множитель 1 T ; – результатом вычислений вместо нумерованных коэффициентов ря- да Ck является функция частоты ( ) X ω – спектральная функция сигнала ( ) x t . Иногда ее называют спектральной плотностью. В результате перечисленных модификаций формула (2.3б) превра- щается в формулу прямого преобразования Фурье (ППФ) ( ) ( ) j t X x t e dt ω ω ∞ − = ∫ −∞ . (2.4) В формуле самого ряда Фурье суммирование, естественно, заменяет- ся интегрированием (и, кроме того, перед интегралом появляется деление на 2 π ). Получающееся выражение называется обратным преобразованием Фурье (ОПФ) 1 ( ) ( ) 2 j t x t X e d ω ω ω π ∞ = ∫ − ∞ . (2.5) Формулы ППФ (2.4) и ОПФ (2.5) называют парой непрерывных пре- образований Фурье. Чтобы преобразование Фурье было применимо, должны выполнять- ся условия Дирихле, а сигнал быть абсолютно интегрируемым. Это озна- чает, что интеграл его модуля должен быть конечной величиной: 35 ( ) x t dt ∞ < ∞ ∫ −∞ Модуль спектральной функции называют амплитудным спектром, а ее аргумент – фазовым спектром. Итак, преобразование Фурье (2.4) ставит в соответствие сигналу, за- данному во времени, его спектральную функцию. При этом осуществляет- ся переход из временной области в частотную. Преобразование Фурье вза- имнооднозначно, поэтому представление сигнала в частотной области (спектральная функция) содержит ровно столько же информации, сколько и исходный сигнал, заданный во временной области. 2.1.3. Связь между коэффициентами Фурье и спектром Перепишем соотношения (2.3а) и (2.3б) в виде [38] ( ) 1 1 2 jk t x t TC e k k ω ω π ∞ = ∑ = −∞ , ( ) 1 1 2 2 2 T jk t TC x t e dt k T ω ω π − = ∫ − При 0 1 ω → эти соотношения превращаются в пару непрерывных преобразований Фурье, поэтому ( ) TC X k k ω = (2.6) или 1 1 1 2 ( ) ( ) k C X k X k T T T π ω = = Можно рассуждать и по-иному. Сравним соотношения 1 2 1 ( ) 2 T jk t C x t e dt k T T ω − = ∫ − ; 1 ( ) ( ) j k t X x t e d t k ω ω ∞ − = ∫ − ∞ Если функция [ ] ( ) 2, 2 x t T T ∈ − , тогда, периодизируя ее, можно за- писать ( ) TC X k k ω = , что совпадает с полученным ранее соотношени- ем (2.6). Таким образом, с учетом соотношений (2.3а), (2.3б) и (2.6) можно за- писать 36 2 ( ) ( ) 2 T j k t X k x t e d t p T ω ω − Δ Δ = ∫ − ; (2.7а) ( ) ( ) 2 j k t x t X k e p k ω ω ω π ∞ Δ Δ = Δ ∑ = − ∞ , (2.7б) где 1 ω ω Δ = Сравнивая пары соотношений (2.4), (2.5) и (2.7а), (2.7б), видим, что последнюю можно формально и абсолютно точно получить, заменяя в (2.4) бесконечные пределы интегрирования на конечные, а в (2.5) – интеграл суммой. Причина точности произведенной замены – периодическое про- должение функции времени, приводящее к дискретизации спектра. Чтобы подчеркнуть периодический характер функции времени, мы применили обозначение ( ) x t p 2.1.4. Дискретное преобразование Фурье Используя дуальность времени t и частоты f , а также полученный выше результат о возможности формального перехода от пары непрерыв- ных преобразований Фурье к паре дискретно-непрерывных преобразова- ний Фурье, запишем [38] 1 ( ) ( ) 2 t j n t x n t X e d p t π ω ω ω π π Δ Δ Δ = ∫ − Δ ; (2.8а) ( ) ( ) j n t X t x n t e p n ω ω ∞ − Δ = Δ Δ ∑ = − ∞ . (2.8б) Продолжая развивать идею «дискретизации-периодизации», прихо- дим к паре дискретных соотношений 2 1 ( ) ( ) 0 j k n N N X k f t x n t e p p n π − − Δ = Δ Δ ∑ = ; 2 1 ( ) ( ) 0 j k n N N x n t f X k f e p p n π − Δ = Δ Δ ∑ = , где 1 f T d N t f t f = = = Δ Δ Δ Δ (рис. 2.2). 37 Обозначая ( ) X X k f t d p = Δ Δ , получим «классическую» пару дис- кретных преобразований Фурье (ДПФ): 2 1 ( ) ( ) 0 j k n N N X k x n e d p n π − − = ∑ = ; (2.9а) 2 1 1 ( ) ( ) 0 j k n N N x n X k e p d N n π − = ∑ = . (2.9б) Со свойствами преобразования Фурье можно ознакомиться в лите- ратуре по ЦОС, например [43]. Рис. 2.2. Графическое представление дискретизации-периодизации 2.1.5. ДПФ гармонического сигнала Последовательность отсчетов гармонического сигнала ( ) cos 2 0 x t A f t π = , взятых в дискретные моменты времени t n t = Δ , имеет вид 0 ( ) c o s (2 ) x x n t A f n t n π = Δ = Δ . (2.10) ДПФ гармонического сигнала нулевой частоты (постоянной состав- ляющей) имеет вид 1 , 0, 2 ( ) e x p ( ) 0, д л я д р у г и х . 0 N N A r X r A j r n d r N n π ω − = ⎧ Δ = − = ∑ ⎨ ⎩ = (2.11) Графики сигнала и его ДПФ для случая 8 N = приведены на рис. 2.3 [38]. ( ) x t t Δ 0 t T N t = Δ f Δ ( ) X ω - B f B f f f N f d = Δ 38 Рассмотрим ДПФ гармонического сигнала на интервале наблюдения целого и дробного числа периодов. Целое число периодов Для гармонического сигнала ненулевой частоты [ ] 0 0 0 c o s (2 ) e x p ( 2 ) e x p ( 2 ) . 2 x f n t n A j f n t j f n t = Δ = = Δ + − Δ π π π (2.12) Рис. 2.3. Графики сигнала и его ДПФ для случая 8 N = ДПФ сигнала (2.12) имеет вид 0 0 1 2 e x p ( ) 0 1 2 2 e x p ( ) 0 N j n r f N t N A n X r N j n r f N t N n π π − ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ − − Δ + ∑ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎬ − ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ + − + Δ ∑ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎣ ⎦ = ⎩ ⎭ . (2.13) Для целых значений 0 0 r f N t T T ′ = Δ = из (2.13) получим , , , 2 0, д л я д р у г и х 0 1 . A N r r r N r X r r r N ⎧ ′ ′ = = − ⎪ = ⎨ ⎪ < ≤ − ⎩ (2.14) Однако при дробных значениях r ′ соотношение (2.14) не выполняется. Дробное число периодов При целом значении параметра 0 0 r f N t T T ′ = Δ = все значения ДПФ, кроме двух (соответствующих положительной и отрицательным частотам гармоники), равны нулю. сигнал 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 номера отсчетов ам плитуд а ДПФ сигнала 0 5 10 0 1 2 3 4 5 6 7 номера отсчетов уровень а) б) 39 Однако если параметр 0 0 r f N t T T ′ = Δ = принимает дробные значе- ния, когда на интервале наблюдения T не укладывается целое значение периодов 0 0 1 T f = , тогда картина усложняется – теперь практически все отсчеты ДПФ оказываются отличными от нуля. Чтобы объяснить это явле- ние, вспомним о тесной связи между ДПФ [38] 1 2 ( ) ( ) e x p ( ) 0 N X r x n t j r n d N n π ω − Δ = Δ − ∑ = (2.15) и дискретно-непрерывным ПФ 1 ( ) ( ) e x p ( ) 0 N X x n t j n t d n ω ω − = Δ − Δ ∑ = . (2.16) Подставляя (2.12 ) в (2.16), получим ( ) 0 0 1 exp[ ( ) ] 0 ( ) 1 2 1 2 2 exp[ ( ) ] 0 N j n t A A n Xd N j n t n ω ω ω ω ω − ⎧ ⎫ − − Δ + ∑ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = = = Σ + Σ ⎨ ⎬ − ⎪ ⎪ + − + Δ ∑ ⎪ ⎪ = ⎩ ⎭ . (2.17) Здесь выражение 1 0 0 0 1 e x p [ ( ) ] e x p [ ( )2 ] . . . e x p [ ( ) ( 1) ] j t j t j N t Σ = + − − Δ + − − Δ + + − − − Δ ω ω ω ω ω ω (2.18) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии 0 , 0,1, , i a a g i i = = … где 0 a – начальный член, g – знаменатель про- грессии, вычисляемую по известной формуле 0 1 0 m m m a a g s ai g i − = = ∑ − = . (2.19) Подставляя в (2.19) 0 0 0 1; 1; e x p [ ( ) ] ; e x p [ ( ) ( 1) ] , m a m N g j t a j N t ω ω ω ω = = − = − − Δ = − − − Δ , получим 0 1 0 1 e x p [ ( ) ] 1 e x p [ ( ) ] j N t j t ω ω ω ω − − − Δ Σ = = − − − Δ 0 0 0 s i n [ ( ) ] ( 1) 2 e x p [ ( ) ] 2 s i n [ ( ) ] 2 N t N j t t ω ω ω ω ω ω − Δ − = − − Δ ⋅ Δ − (2.20) 40 Аналогично 0 2 0 0 sin[( ) ] ( 1) 2 exp[ ( ) ] 2 sin[( ) ] 2 N t N j t t ω ω ω ω ω ω + Δ − Σ = − + Δ ⋅ Δ + . (2.21) Из (2.17) с учетом (2.20) – (2.21) получим выражение для модуля ПФ дискретизированного гармонического сигнала: 0 0 0 0 0 sin[( ) ] 2 sin[( ) ] 2 | ( ) | 2 si n[( ) ] 2 exp[ ( 1) ] sin[( ) ] 2 d N t t A X N t j N t t ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − Δ + Δ − = + Δ + − − Δ ⋅ Δ + . (2.22) Вводя безразмерные переменные 0 0 0 0 ; r f f f T f N t r f f f T f N t = Δ = = Δ = Δ = = Δ , (2.23) получаем удобное для построения графиков выражение 0 0 0 0 s i n [ ( ) ] ( ) s i n | ( ) | 2 s i n [ ( ) ] 1 e x p 2 1 ( ) s i n r r r r N A X r d r r j r r r N N π π π π π − + − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + − − ⋅ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ + ⎡ ⎤ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . (2.24) Приведем примеры графиков функции ( ) X r при 1; 8 A N = = и 0 0, 1, 1, 5 r = (рис. 2.4). Рисунки 2.4, а, б носят более общий характер: наличие на этих ри- сунках координатной сетки, вертикальные линии которой соответствуют целочисленным значениям r f f = Δ , позволяет легко объяснить ситуацию на рис. 2. 4, в с дробным значением относительной частоты 0 0 r f f = Δ гармонического сигнала. Спектральный пик в последнем случае располо- жен в промежутке между узлами сетки частот, образованной целочислен- ными значениями r f f = Δ . Это значит, что ДПФ гармонического сигнала с дробным значением относительной частоты 0 0 r f f = Δ состоит из множества отсчетов. Максимальные отсчеты при этом, как и следовало ожидать, соответствуют ближайшим (слева и справа) целым значениям r f f = Δ |