Реферат " Теория телетрафика "
 Скачать 479.98 Kb.
|
1 2 Законы распределения случайных величин В теории телетрафика часто используется предположение о пуассонов- ском законе распределения случайных величин. Такое предположение, например, было подтверждено экспериментально для потока вызовов, посту- пающих от абонентов телефонной станции. Для математического ожидания (интенсивность потока вызовов) плотность вероятности – ) (x p определя- ется следующим образом: = ) (x p − e x x ! Переменную " x " можно рассматривать как число вызовов, поступаю- щих в течение интервала времени фиксированной длины. Функция распреде- ления этого потока вызовов – ) ( x F равна нулю для 0 x Для 0 x она опреде- ляется таким соотношением: 0 ( ) ! i k λ i λ F x e i − = = 16 Основные характеристики пуассоновского распределения приведены в таблице. Математиче- ское ожидание Диспер- сия Асиммет- рия Эксцесс 1 1 На рисунке показаны два примера функции ) ( x f . В левой части рисунка 1 = , а в правой – 3 = x x f 1 (x) f 2 (x) 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0,4 0,3 0,2 0,1 0,4 0,3 0,2 0,1 0,37 0,37 0,18 0,06 0,02 0,05 0,15 0,22 0,22 0,17 0,10 0,05 λ=1 λ=3 Два примера распределения Пуассона Второй интересный пример – дискретное равномерное распределение. Буквой " b " обозначена левая граница области изменения случайной величи- ны. Допустим, что рассматриваемая случайная величина принимает n значе- ний. 17 x f(x) 1/n b b+1 b+n-1 b+2 b+3 Дискретное равномерное распределение Основные характеристики дискретного равномерного распределения приведены в таблице. Матема- тическое ожидание Дис- персия Асим- метрия Эксцесс 2 1 − + n b 12 1 2 − n 0 1 4 , 2 2 , 1 2 − − − n Для обоих примеров ФР будет ступенчатой. Это утверждение справед- ливо для всех законов распределения дискретных случайных величин. В теории телетрафика часто используется экспоненциальное распреде- ление, для которого функции и ) (t F определяются такими формулами: = ) (t f t e − , t e t F − − =1 ) ( Основные характеристики экспоненциального распределения будут приведены после следующего примера. Рассмотрим распределение Эрланга k го − порядка. Функции и ) (t F для этого распределения вычисляются следующим образом: ) (t f ) (t f 18 = ) (t f )! 1 ( − k k t k e t − −1 , t e t F − − =1 ) ( − = 1 0 ! ) ( k i i i t Очевидно, что при 1 = k мы получаем экспоненциальное распределение. Несложно убедиться, что при → k эта формула определяет детерминирован- ное (вырожденное) распределение. Это свойство позволяет эффективно ис- пользовать распределение Эрланга го k − порядка для многих моделей теле- трафика. Численные характеристики последних распределений приведены в таблице. Название рас- пределения Матема- тическое ожида- ние Дис персия Асим- метрия Эк сцесс Экспоненци- альное 1 2 1 2 6 Эрланга порядка k 2 k k 2 k 6 На рисунке показано семейство распределения Эрланга го k − порядка. Приведены три кривые для различных значений k . Для всех трех кривых принято, что математическое ожидание равно единице. го k − ) (t f 19 1 1 0 2 3 k = 1 k = 2 k = 5 f(t) t Семейство распределений Эрланга порядка Последний пример связан с распределением случайной величины на ограниченном интервале. Речь идет о равномерном распределении на отрезке времени ] , [ b a . В этом интервале функции и ) (t F определяются следую- щим образом: = ) (t f a b − 1 , = ) (t F a b a t − − На рисунке показаны функции и ) (t F . Основные характеристики этого распределения представлены в таблице. t f(t) t F(t) 1 b a − a b a b 1 Равномерное распределение на интервале ] , [ b a го k − ) (t f ) (t f 20 Основные характеристики равномерного распределения приведены в таблице. Матема- тическое ожида- ние Дис- персия Асим- метрия Экс- цесс 2 b a + 12 ) ( 2 a b − 0 –1,2 Преобразование Лапласа-Стилтьеса Преобразование Лапласа устанавливает однозначную связь между функциями действительной – ) (t B и комплексной переменной – ) (s . Эти функции обычно называют оригиналом и изображением соответственно. Для оригиналов, существующих только в области неотрицательных значений ар- гумента (времени), целесообразно использовать одностороннее преобразова- ние Лапласа: = ) (s dt e t B st − 0 ) ( Функция ) (s комплексной переменной i s + = позволяет найти ори- гинал по такой формуле: = ) (t B ds e s i i i st + − ) ( 2 1 Это соотношение известно в математике как формула обращения Рима- на-Моллина. Его также называют обратным преобразованием Лапласа. В обеих формулах используются интегралы Римана. Во многих случаях приходится оперировать с дискретными функциями плотности вероятности. Тогда предпочтительнее становится интеграл Стилтьеса, позволяющий уни- 21 фицировать тип распределения случайной величины. Интеграл Стилтьеса определяется для двух функций – интегрируемой (x) и интегрирующей ) ( x F : ). ( ) ( x dF x Очевидно, что интеграл Римана представляет собой частный случай ин- теграла Стилтьеса, когда x x F = ) ( . Преобразование Лапласа-Стилтьеса для функции ) (t B будет определяться следующим образом: = ) (s ) ( 0 t dB e st − Если изображения и ) (s существуют, то они связаны между собой очевидным соотношением: ) ( ) ( s s s = Интерес к преобразованию Лапласа-Стилтьеса объясняется тем, что оно позволяет упростить исследование некоторых функций и вычисление пара- метров распределения. С точки зрения вопросов, рассматриваемых в курсе лекций, следует выделить ряд свойств, которые характерны для преобразова- ния Лапласа-Стилтьеса: 1. Преобразование Лапласа-Стилтьеса производной от функции ) (t B определяется по такой формуле: dt t dB ) ( → ) 0 ( ) ( + − sB s s 2. Дифференцируя изображение, можно получить ый r − начальный мо- мент ( r b ) распределения: ( ) 0 ( 1) ( ) r r r s b β s = = − 3. ФР двух независимых случайных величин – ) (s определятся произве- дением их преобразований Лапласа-Стилтьеса – ) ( 1 s и ) ( 2 s : ). ( ) ( ) ( 2 1 s s s = 4. Сдвиг аргумента у оригинала на величину – первая теорема смеще- ния – соответствует такому изменению изображения: ) (s 22 ) ( − t B → ) (s e s − Из всех свойств, присущих преобразованию Лапласа-Стилтьеса, следует выделить свертку оригиналов – третье свойство. Вычисление свертки функ- ций с помощью подобных преобразований можно рассматривать как одну из самых эффективных операций среди возможностей, присущих преобразова- нию Лапласа-Стилтьеса. Использование преобразования Лапласа-Стилтьеса в большинстве слу- чаев можно представить в виде алгоритма, показанного на рисунке. Этот ал- горитм универсален с точки зрения решаемых задач. 0 ( ) Составление функции F t по условиям решаемой задачи 0 * 0 ( ) ( ) Нахождение изображения функции F t F s * 0 * ( ) ( ) N Необходимые операции с функцией F s F s * ( ) ( ) N N Нахождение оригинала для функции F s F t Использование преобразования Лапласа-Стилтьеса Функция ) ( 0 t B представляет собой выражение, которое необходимо пре- образовать для искомого результата. Эту функцию можно считать своего ро- да условием задачи. Сначала находится изображение этой функции – ) ( 0 s Изображение может быть получено с помощью таблиц преобразования Лапласа-Стилтьеса. Именно для функции ) ( 0 s выполняются преобразования, позволяющие получить ответ в виде функции ) (s N . Для решения поставлен- ной задачи необходимо найти функцию ) (t B N . Эта процедура может быть вы- полнена с использованием таблиц или иным способом. Для вычисления оригинала по известному изображению часто применя- ют теорему разложения, предложенную Хевисайдом (разложение на элемен- тарные дроби). Такой способ приемлем, если изображение ) (s является раци- ональной дробью следующего вида: 23 ) ( ) ( ) ( 2 1 s s s = Числителем и знаменателем этого выражения служат полиномы ) ( 1 s и ) ( 2 s . Существенно то, что степень полинома ) ( 1 s меньше степени полинома ) ( 2 s .Если уравнение 0 ) ( 2 = s имеет n различных корней, то функция ) (s представима такой суммой: K n K K K s s s s s − = = 1 ) ( ) ( ) ( 1 2 1 Используя таблицы обратного преобразования Лапласа, можно найти оригинал в следующем виде: t s n K K K K e s s t B = =1 2 1 ) ( ) ( ) ( Информация в сетях электросвязи Информация – сведения о лицах, предметах, фактах, событиях, явлениях и процессах независимо от формы их представления. Информация снижает степень неопределенности, неполноту знаний о лицах, предметах, событиях и т.д. Количество информации – мера оценки информации, содержащейся в сообщении или мера, характеризующая уменьшение неопределенности, со- держащейся в одной случайной величине относительно другой. Данные – сведения, полученные путем измерения, наблюдения, логиче- ских или арифметических операций. Данные должны быть представленные в форме, пригодной для постоянного хранения, передачи и (автоматизирован- ной) обработки. Информатика – в широком смысле – отрасль знаний, изучающая общие свойства и структуру научной информации, а также закономерности и прин- ципы ее создания, преобразования, накопления, передачи и использования в различных областях человеческой деятельности. Информатика – в узком 24 смысле – отрасль знаний, изучающая законы и методы накопления, передачи и обработки информации с помощью компьютера. Искусственный интеллект – способность прикладного процесса обнару- живать свойства, ассоциируемые с разумным поведением человека. Искус- ственный интеллект – раздел информатики, занимающийся вопросами ими- тации мышления человека с помощью компьютера. Кибернетика – наука об управлении, связи и переработке информации. Основным объектом исследования кибернетики являются абстрактные ки- бернетические системы: от компьютеров до человеческого мозга и человече- ского общества. В зависимости от области применения различают политиче- скую, экономическую и социальную кибернетику. Особое значение в теории управления имеет принцип саморегулирования (принцип кибернетики – го- меостазис), позволяющий противостоять воздействию извне и перестраи- ваться в целях самосохранения. Информационная экономика – экономика, в которой значительная часть валового внутреннего продукта обеспечивается деятельностью по производ- ству, обработке, хранению и распространению информации и знаний. Неко- торые специалисты полагают, что критерием перехода следует считать рабо- ту половины всех занятых (в сфере производства) информационной деятель- ностью. Сетевая экономика – хозяйственная деятельность, осуществляемая с по- мощью электронных сетей (телекоммуникаций). Технологически сетевая экономика представляет собой среду, в которой юридические и физические лица могут контактировать между собой по поводу совместной деятельности Электронный бизнес – бизнес, основанный на использовании информа- ционных технологий с тем, чтобы обеспечить оптимальное взаимодействие деловых партнеров и создать интегрированную цепочку добавленной стои- мости. Электронный бизнес включает: продажи, маркетинг, финансовый ана- лиз, платежи, поиск сотрудников, поддержку пользователей и поддержку партнерских отношений. 25 С точки зрения инфокоммуникационной системы (связь плюс информа- ция) процесс обмена информацией может быть представлен следующей схе- мой. Объем передаваемых (принимаемых) данных может быть больше или меньше объема сообщения. Один из характерных примеров – сжатие изобра- жений. Информация Сообщение Поток данных Информация, сообщения и поток данных К передаче (обмену) некоторых видов информации предъявляется тре- бование поддержки реального времени (в частности, речь и трансляция теле- визионных программ). В ряде случаев такие требования отсутствуют (напри- мер, при передаче телеграмм). Можно ввести некоторые функции "ценности информации", зависящие от времени доставки сообщений. В сетях электросвязи используются средства коммутации, которые – в общем случае – выполняют две основные функции: • распределение информации; • концентрация трафика. Распределение информации – доставка сообщения по заданному (посто- янно или оперативно) адресу. В качестве адреса в телефонной сети обычно используется номер вызываемого абонента. Концентрация трафика – функция оборудования коммутации, которая позволяет эффективно использовать транспортные ресурсы. Характерный пример: концентрация абонентского трафика в соотношении "8 к 1" (одна со- единительная линия на восемь абонентских линий). 26 Коммутационное поле 1 N 1 V K 1 K V Распределение информации Концентрация трафика: N>V А бо не нт ск ие л ин ии С ое ди ни те ль ны е ли ни и Функции распределения информации и концентрации трафика Моделирование в теории телетрафика При моделировании реальный объект (или процесс) обычно представля- ется в идеализированной форме, упрощающей исследование. Выбор модели – сложная задача. Ее решение осуществляется с учетом множества факторов. Во-первых, следует четко выделить цель моделирования. Одна и та же система телетрафика может изучаться с помощью разных моделей, если ис- следуются, например, свойства выходящего потока и влияние дисциплины обслуживания на вероятность потери заявок. Во-вторых, должны быть уста- новлены основные причинно-следственные связи, важные для решаемой за- дачи. В-третьих, следует оценить желаемую точность результатов моделиро- вания. Существует несколько видов моделирования. Сначала в теории телетра- фика были использованы методы моделирования, основанные на реальных аппаратных средствах. В частности, искусственное замыкание и размыкание шлейфа абонентской линии может считаться простейшим примером такого моделирования. Подобные эксперименты часто связывают с физическими моделями. Этим моделям свойственно изменение масштаба. К достоинствам 27 физических моделей следует отнести их адекватность реальным объектам (или процессам). Обычно реализация этих моделей (если речь не идет об экс- перименте на уже готовом оборудовании) обходится довольно дорого. Суще- ственно то, что данный вид моделей не годится в тех случаях, когда оборудо- вание только разрабатывается. В настоящее время в теории телетрафика широко используется матема- тическое моделирование. Оно незаменимо в тех случаях, когда исследование системы с помощью аналитических методов не представляется возможным. Также полезным математическое моделирование становится для проверки ряда допущений, свойственных аналитическим методам исследования систем телетрафика. Еще одна сфера применения – выбор числа членов в рядах, включающих бесконечное количество слагаемых. Математическое моделирование систем телетрафика выполняется на ЭВМ за счет составления программы или набора программ. Эти программы имитируют процессы по обслуживанию заявок. Поэтому в теории телетрафи- ка очень часто используется термин "имитационное моделирование". Иногда используется сочетание физических и математических моделей. В частности, японские специалисты при изучении вероятностно-временных характеристик системы общеканальной сигнализации изготовили оборудова- ние, а на его входе имитировали с помощью программного датчика случай- ных чисел входящий поток заявок – сигнальных единиц. Моделирование случайных чисел – важный этап создания имитацион- ных моделей. Известны два способа получения случайных чисел: • использование физических генераторов (датчиков) случайных чисел (шум в радиоэлектронных приборах и трактах, радиоактивное излучение); • составление программ, позволяющих получить псевдослучайные числа (они могут быть очень близки к случайным числам). В настоящее время используются исключительно программные датчики. Обычно случайные числа генерируются так, чтобы они принадлежали интер- валу [0; 1) . При этом закон распределения должен быть равномерным. Из- 28 вестно, что для интервала [ ; ) a b функции ) (t f и ) (t F определяются следую- щим образом: = ) (t f a b − 1 , = ) (t F a b a t − − На рисунке показаны функции ) (t f и ) (t F . Основные характеристики равномерного распределения представлены в таблице. t f(t) t F(t) 1 b a − a b a b 1 Равномерное распределение на интервале [ ; ) a b Матема- тическое ожида- ние Дис- персия Асим- метрия Экс- цесс 2 b a + 12 ) ( 2 a b − 0 –1,2 Очевидно, что для интервала [0; 1) среднее значение равно 1 2 , а диспер- сия – 1 12 Моделированием случайной величины называют процесс получения ее значений. Это означает, что для формирования потока вызовов, поступаю- щих, например, в АТС, следует разработать процесс, который позволяет вы- 29 делять моменты занятия входов на ступени абонентского искания. Ступень абонентского искания в АТС – с точки зрения имитационной модели – может рассматриваться как система телетрафика. Случайные числа, получаемые с помощью программных генераторов, необходимо проверить с точки зрения закона их распределения на интервале [0; 1) . Для этого можно использовать сравнение статистического и эмпириче- ского распределений, выбрав заранее критерий согласия. Часто используется критерий Пирсона – 2 Для того чтобы убедиться в "похожести" полученного распределения и закона равномерной плотности, целесообразно проверить математическое ожидание случайной величины (оно должно быть близким к 0,5), коэффици- ент вариации (он должен быть равен примерно 0,577), коэффициент асим- метрии (он должен быть близок к нулю) и коэффициент эксцесса (он не дол- жен заметно отличаться от минус 1,2). Получив случайные (псевдослучайные) числа, необходимо перейти к формированию последовательности случайных величин с исследуемым зако- ном распределения. Обычно используется один из следующих приемов: • метод обратных функций (то есть, прямого преобразования равномер- но распределенных случайных чисел); • приближенные методы; • метод отсеивания чисел из первоначальной последовательности слу- чайных чисел (метод генерации Неймана); • методы, основанные на центральной предельной теореме. Допустим, что случайная величина Y непрерывна, а соответствующая плотность распределения вероятности задана функцией ( ) f y . Тогда функция распределения задана известным выражением: ( ) ( ) y F y f y dy − = 30 Обычно в качестве нижнего предела интегрирования в теории телетра- фика используется ноль. Теорема. Если случайная величина Y имеет плотность распределения вероятности ( ) f y , то распределение случайной величины ( ) ( ) Y X f y dy F Y − = = является равномерным на интервале [0; 1) . Из этой теоремы следует Правило: для того чтобы найти возможное значение i y непрерывной случай- ной величины Y , надо выбрать случайное число i x и решить относительно i y такое уравнение: ( ) i y i x f y dy − = Справедливо и обратное утверждение. Если ( ) F y – функция распределе- ния непрерывной случайной величины Y , а X – случайная величина с равно- мерным законом распределения на интервале [0; 1) , то случайная величина 1 ( ) Y F X − = имеет функцию распределения ( ) F y . В данном случае 1 F − – функ- ция, обратная по отношению к F Таким образом, необходимо: • реализовать случайную величину X , которая распределена равномер- но на интервале [0; 1) ; • вычислить значение случайной величины Y по формуле 1 ( ) Y F X − = Один из важных для теории телетрафика случаев – простейший входя- щий поток. Это означает, что случайная величина Y подчиняется экспонен- циальному закону: ( ) , ( ) 1 y y f y e F y e − − = = − Необходимо найти формулу для моделирования случайной величины Y с помощью равномерно распределенной случайной величины X 31 Шаг 1. Находится функция, обратная по отношению к F . Известно, что 1 Y X e − = − . Решение относительно Y тривиально: 1 (1 ) Y ln X − = − − Шаг 2. Очевидно, что случайная величина 1 X − (так же как и случайная величина X ) равномерно распределена на отрезке [0; 1) . Поэтому справедлива также и формула следующего вида: 1 ( ) Y ln X − = − Шаг 3. Теперь числа с экспоненциальным распределением могут быть получены из значений i x по такой формуле: 1 ( ) i i y ln x − = − К сожалению, не всегда удается решить соответствующие уравнения в явном виде. Приходится прибегать к приближенным методам. В частности, используется кусочная аппроксимация функций ( ) f t Три других метода получения требуемых законов распределения описа- ны в работах по моделированию. Одна из последних публикаций – моногра- фия [1]. Входящий поток заявок на входе СМО (системы телетрафика) может быть задан последовательностью появления требований: 1 2 , ,..., m t t t . С практи- ческой точки зрения удобнее оперировать длительностью промежутка между соседними требованиями: 1 2 , ,..., m . Способ формирования величин k с за- данным законом распределения был изложен выше. Теперь необходимо определить свойства СМО и проследить за временами обслуживания заявок и соответствующими процессами (потери и задержки). В качестве примера моделирования рассматривается алгоритм, предло- женный в монографии [2]. Справочная литература 1. Свешников А.А. Прикладные методы теории Марковских процессов. Учебное пособие. - Санкт-Петербург. Лань, 2007 г. 2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 2000 г. 3. Михайлова И.В. Теория случайных процессов. Учебное пособие. – 32 Воронеж,2004г. [Электронный ресурс]. Доступ без ограничений. Системные требования: браузер Интернет, Adobe Reader. 1 2 |