Реферат " Теория телетрафика "
 Скачать 479.98 Kb.
|
1 2 Министерство науки и высшего образования Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (НИ ТГУ) Институт прикладной математики и компьютерных наук Кафедра компьютерной безопасности Реферат “ Теория телетрафика ” Выполнила: студент гр.931724 Раимбеков Азим Проверил: доцент С.Р. Останин Томск-2021 АННОТАЦИЯ Для изучения дисциплины требуется знание математических основ по- строения телекоммуникационных систем и общей теории связи, изучаемых в дисциплинах «Общая теория связи», «Основы построения телекоммуникаци- онных систем и сетей», «Теория случайных процессов». В свою очередь данная дисциплина, помимо самостоятельного значения, является предшествующей дисциплиной для ряда других дисциплин профес- сионального цикла, связанных с изучением функционирования сетей связи и их проектирования: «Сетевые технологии в инфокоммуникационных систе- мах», «Теория построения инфокоммуникационных сетей и систем». Цель дисциплины – изучение количественной стороны процессов об- служивания потоков сообщений в системах распределения информации. Изучение методов оценки качества функционирования систем распределения информации. Близкими к задачам анализа и синтеза являются задачи оптимизации. Эти задачи при проектировании систем распределения информации форму- лируются следующим образом: определить такие значения структурных па- раметров коммутационной системы (алгоритмы функционирования), для ко- торых: 1) при заданных потоках, качестве и дисциплине обслуживания стои- мость или объем оборудования системы распределения информации мини- мальны и 2) при заданных потоках, дисциплине обслуживания и стоимости качественные показатели функционирования системы распределения инфор- мации оптимальны. В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать: а. основные понятия потоков вызовов; б. виды систем передачи информации; в. принцип работы цифровых систем с пакетной коммутацией. Уметь: 3 а. определять зависимости и значения величин, характеризующих качество обслуживания, от характеристик и параметров входящего потока вызовов; б. различать виды входящих потоков и находить их характеристики. Владеть: а. методами выполнения простейших расчетов параметров трафика; б. работать с таблицами маршрутизации; в. навыками изучения методической и научно-популярной литера- туры в области теории телетрафика в объеме, достаточном для ее использо- вания в учебном процессе и проведения внеаудиторных мероприятий. Формируемые компетенции: а. ОК-2 – способностью к самостоятельному обучению новым ме- тодам исследования, к изменению научного и научно-производственного профиля своей профессиональной деятельности; б. ОК-4 – использовать на практике умения и навыки в организации исследовательских и проектных работ, в управлении коллективом (формиру- ется частично); в. ОК-6 – способностью самостоятельно приобретать с помощью информационных технологий и использовать в практической деятельности новые знания и умения, в том числе в новых областях знаний, непосред- ственно не связанных со сферой деятельности; г. ПК-2 – способностью к разработке моделей различных техноло- гических процессов и проверке их адекватности на практике; готовностью использовать пакеты прикладных программ анализа и синтеза телекоммуни- кационных систем и сетей; д. ПК-3 – готовностью осваивать принципы работы, технические характеристики и конструктивные особенности разрабатываемых и исполь- зуемых сооружений, оборудования и средств связи; способностью к проекти- рованию, строительству, монтажу и эксплуатации технических средств теле- 4 коммуникации, направляющей среды передачи информации (формируется частично); е. ПК-4 – способность к разработке методов коммутации и опреде- лению области эффективного их использования в системах телекоммуника- ций; способностью использовать современную элементную базу и схемотех- нику аналоговых и цифровых устройств телекоммуникаций; ж. ПК-6 – готовность разрабатывать системы, средства и методы защиты информации в телекоммуникационных устройствах и сетях. Введение. Предмет и задачи теории телетрафика Базовые результаты теории массового обслуживания были сформулиро- ваны в начале XX века. Основоположником ее прикладной ветви – теории телетрафика – считается датский математик А.К. Эрланг, родившийся в 1878 и умерший в 1929 году. Именно на результаты А.К. Эрланга – как на ба- зовые положения теории массового обслуживания – ссылаются специалисты, занимающиеся подобными исследованиями. В настоящее время теория мас- сового обслуживания, помимо инфокоммуникационных систем, эффективно используется для решения задач торговли, транспорта и других сфер эконо- мической деятельности. Примеры задач, исследуемых методами теории телетрафика Основные задачи, с которых началось развитие теории телетрафика, можно перечислить, используя классификацию Кендалла. Рассмотрим одну из самых простых СМО (систем массового обслуживания), обозначаемых в классификации Кендалла следующим образом: V M M / / (1) Символ " "M в первой позиции классификации Кендалла определяет вид функции распределения длительности интервалов между моментами поступ- ления соседних заявок – ) (t A : ( ) 1 λt A t e − = − (2) 5 Величина – интенсивность входящего потока заявок. Она измеряется числом заявок, поступающих в единицу времени. Математическое ожидание (среднее значение) длительности интервалов между моментами поступления соседних заявок (оно обычно обозначается символами (1) A или A t ) определя- ется следующим соотношением: (1) 1 A A t λ = = (3) Величина для любого вида функции ) (t A может быть получена по из- вестному правилу вычисления математического ожидания случайной вели- чины. Символ " "M во второй позиции классификации Кендалла определяет вид функции распределения длительности обслуживания заявок – ) (t B : 1 ) ( t e t B − − = (4) Величина – интенсивность обслуживания заявок. Она измеряется числом заявок, которое СМО обслуживает в единицу времени. Математиче- ское ожидание длительности обслуживания ( (1) B или B t ) определяется по та- кой формуле: (1) 1 B B t μ = = (5) Символ " V " в третьей позиции классификации Кендалла определяет численность обслуживающих приборов. Модель широко используется в теории телетрафика. Например, пучок СЛ (соединительных линий) между коммутационными станциями в большинстве случаев изучают с помощью модели . Для пучка СЛ за- явкой будет вызов, поступающий на вход соответствующей СМО. Длитель- ностью обслуживания становится время занятия линии в пучке СЛ. Обслу- живающим прибором следует считать набор из V линий, образующих пучок СЛ. Обычно пучок СЛ работает как СМО с потерями. Это означает, что при занятости всех линий поступивший вызов теряется. Вероятность потери A t V M M / / V M M / / V 6 вызова обозначим буквой . Для рассматриваемого примера практический интерес представляют четыре задачи: • по известным величинам интенсивности входящего потока вызо- вов и интенсивности обслуживания найти такую емкость пучка СЛ (ве- личину V ), чтобы вероятность потерь не превышала заранее выбранный по- рог 0 ; • по известным величинам интенсивности входящего потока вызо- вов , интенсивности обслуживания и емкости пучка СЛ V найти вероят- ность потери вызовов ; • по известным величинам интенсивности входящего потока вызо- вов , емкости пучка СЛ V и допустимой вероятности потерь вызовов найти допустимую величину интенсивности обслуживания ; • по известным величинам интенсивности обслуживания , емко- сти пучка СЛ V и допустимой вероятности потерь вызовов найти допу- стимую величину интенсивности входящего потока вызовов Если удастся составить уравнение с четырьмя неизвестными ( , , V и ), то его всегда можно решить (хотя бы численными методами). Рассматрива- емый пример – одна из важнейших практических задач эффективного разви- тия сетей телефонной связи в начале XX века. Ее успешно решил А.К. Эр- ланг. Он вывел формулу, определяющую зависимость вероятности потерь от величин , и . Она получила название "Первая формула Эрланга". Теперь усложним задачу. Рассмотрим цифровой тракт между коммута- ционными станциями мультисервисной сети. По этому тракту передаются пакеты, для обслуживания которых используется дисциплина с ожиданием. Из очереди пакеты извлекаются с учетом назначенных им приоритетов для обработки и передачи. Понятно, что исследование систем, описывающих процессы обмена пакетами в мультисервисной сети, заметно сложнее, чем анализ модели . К перечисленным выше четырем задачам, представ- ляющим практический интерес, следует добавить такие проблемы: 0 0 V V M M / / 7 • анализ длительности задержки пакетов в узлах мультисервисной сети; • выбор оптимальных правил назначения приоритетов с учетом фак- торов, характерных для мультисервисной сети. Сложность анализа систем телетрафика зависит от вида функций ) (t A и ) (t B , а также от алгоритма обслуживания заявок. Кроме того, сложность этого анализа определяется способом нормирования показателей качества обслу- живания. Если показатель качества обслуживания нормируется только сред- ним значением (математическим ожиданием), то анализ систем телетрафика обычно не сложен. Если нормируется параметр, для которого необходимо знать вид распределения случайной величины, то часто требуются сложные исследования. Основы теории вероятностей Введение Теория вероятностей – раздел математики, посвященный случайным ве- личинам. Точное определение термина "случайная величина", отвечающее строгим математическим канонам, можно найти в монографиях, которые по- священы фундаментальным основам теории вероятностей. Для прикладных дисциплин можно использовать менее строгие определения. Случайные величины обычно делят на дискретные и непрерывные. Дис- кретный или непрерывный характер случайной величины определяется объ- ективными свойствами исследуемого процесса. Для проведения анализа не- которых СМО целесообразно переходить от непрерывных случайных вели- чин к дискретным или наоборот. Допустим, что мы провели N измерений числа разговаривающих або- нентов АТС. При этом K раз численность разговаривающих абонентов (со- бытие " A ") была одной и той же. Тогда вероятность наступления интересу- ющего нас события – ) ( A P определяется следующим образом: ( ) N K P A lim N → = 8 Рассмотрим пример, когда в результате проведения 1000 измерений мы 50 раз обнаружим 800 разговаривающих абонентов (событие " A "). Оценку 0,05, строго говоря, нельзя считать вероятностью ) ( A P , так как число прове- денных измерений было конечной величиной. Эту оценку 0,05 называют ча- стотой или частостью. В теории вероятностей важную роль играют аксиомы, которые сформу- лированы известным российским математиком А.Н. Колмогоровым. Четыре основные аксиомы приводятся ниже в следующей форме: а) каждому событию " A " ставится в соответствие неотрицательное чис- ло – его вероятность 0 ) ( A P ; б) вероятность достоверного события " " равна единице – 1 ) ( = P ; в) если " A " и " B " непересекающиеся события, то вероятность события " A " или " B " (оно обычно обозначается как " B A + ") – ) ( B A P + равна сумме ) ( ) ( B P A P + ; г) условная вероятность наступления события " B ", если уже произошло событие " A ", – ) ( A B P определяется как ) ( / ) ( A P AB P Для пояснения термина "условная вероятность" целесообразно исполь- зовать две простые геометрические фигуры. Они приведены в левой части рисунка. Подобный подход позволяет наглядно интерпретировать события и вероятность их наступления. A A B B AB а) События A и B совместны б) События A и B несовместны Геометрическая интерпретация условной вероятности События " " и " " заключаются в попадании точки в одноименные об- ласти, которые показаны в левой части рисунка. Событие " AB " имеет одну A B 9 особенность. Оно имеет место, когда события " " и " " наступают одновре- менно. Тогда вероятность события " B " при условии, что уже произошло со- бытие " A ", представима как отношение площадей " AB " и " A ". Если события " " и " " несовместны, то условная вероятность равна нулю. Этот утвер- ждение наглядно иллюстрирует правый фрагмент рисунка: площадь пересе- чения двух областей равна нулю. Из аксиом теории вероятностей можно сделать ряд важных для теории и практики выводов. В частности, если могут наступить только события " A " и " A ", то справедливы такие соотношения: ( ) 1 P A A + = или ( ) 1 ( ). P A P A = − Очевидно также, что 1 ) ( 0 A P . Из аксиомы (в) можно получить более общее соотношение для попарно непересекающихся событий: ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( Z P C P B P A P Z C B A P + + + + = + + + + Полной характеристикой случайной величины служит закон ее распре- деления. Этот закон устанавливает соответствие между возможными значе- ниями случайной величины и соответствующими вероятностями. Знание за- кона распределения позволяет сравнительно простыми математическими ме- тодами получить оценки случайной величины, важные для практической ра- боты. Закон распределения может быть представлен различными способами. Основной интерес представляет функция распределения (ФР) случайной ве- личины – ) (t F . В большинстве учебников по теории вероятностей использу- ется ФР вида ) ( x F , но у нас осью абсцисс всегда будет "время". Поэтому ар- гументом ФР служит буква " t ", обычно указывающая на время. По всей ви- димости, такой выбор объясняется тем, что во многих языках слово "время" начинается с буквы " t ". Далее будут рассматриваться случайные величины, определенные для 0 t . Пример ФР случайной величины показан на рисунке. Эта функция определена на отрезке ]. , 0 [ MAX T A B A B 10 1 t T MIN F(t) 0 T MAX T X T Y F(T Y ) F(T X ) Функция распределения случайной величины ФР представляет собой монотонно возрастающую функцию. Она опре- деляется таким соотношением: ). ( ) ( t T P t F = Иными словами ФР равна вероятности соблюдения неравенства t T На рисунке указаны две точки X T и Y T , которым соответствуют вероятности ) ( t T P X и ) ( t T P Y . Вероятность того, что случайная величина попадет в ин- тервал ( , ), равна разности ) ( ) ( X Y T F T F − . В некоторых случаях практиче- ский интерес представляет дополнительная ФР – ) ( t T P . Очевидно, что ). ( 1 ) ( t F t T P − = Следует отметить, что в некоторых публикациях ФР ) (t F определяется иначе – нестрогим неравенством: ). ( ) ( t T P t F = Различие в этих определениях существенно только для дискретных слу- чайных величин. Основные характеристики случайной величины могут быть получены из функции ) (t F . Среди этих характеристик большое практическое значения имеют математическое ожидание, дисперсия, асимметрия и эксцесс. Матема- X T Y T 11 тическое ожидание (или среднее значение) случайной величины – (1) T может быть рассчитано по такой формуле: (1) 0 ( ) T tdF t = Математическое ожидание представляет собой начальный момент пер- вого порядка. В общем случае начальный момент порядка R – ( ) R T определя- ется таким соотношением: ( ) 0 ( ) R R T t dF t = В некоторых монографиях используется иная формула для расчета ма- тематического ожидания случайной величины – через плотность вероятности ) (t f . Последняя формула удобна тем, что она универсальна для непрерывных и дискретных случайных величин. Следует отметить, что случайная величина может не иметь математического ожидания. Для большинства задач такие ситуации не представляют практического интереса. Математическое ожидание суммы K случайных величин определяется следующим образом: (1) 1 1 K K J J J J E T T = = = Математическое ожидание произведения K независимых случайных ве- личин может быть вычислено по такой формуле: (1) 1 1 K K j J j j E T T = = = Математическое ожидание определяет положение центра распределения случайной величины. Для функции ) (t f обычно определяют медиану и моду. Медиана делит площадь под кривой ) (t f пополам. Мода непрерывной слу- чайной величины – такое значение t , в котором функция достигает ло- кального максимума. Если функция имеет один максимум, то распреде- ление называется унимодальным. Мультимодальное распределение имеет ) (t f ) (t f 12 несколько мод. На рисунке показаны два графика функции . Эта функция является унимодальной. f(t) t f(t) t медиана, мода, математическое ожидание мода медиана математическое ожидание а) Первый пример функции f(t) б) Второй пример функции f(t) Математическое ожидание, медиана и мода В левой части этого рисунка показано распределение, для которого зна- чения математического ожидания, медианы и моды различны. Для функции , изображенной в правой части рисунка, значения математического ожи- дания, медианы и моды совпадают. Дисперсия случайной величины – ) (T D характеризует меру рассеяния случайной величины. Она рассчитывается как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего среднего значения: (1) 2 ( ) [( ) ]. D T E t T = − Дисперсия является центральным моментом второго порядка. Централь- ный момент порядка R – ) ( R T M определяется таким соотношением: ] )) ( [( ) ( R R T E t E T M − = Корень второй степени из дисперсии – называется среднеквадратиче- ским (или стандартным) отклонением. Отношение среднеквадратического отклонения к среднему значению (если оно больше нуля) именуется коэффи- циентом вариации случайной величины – k : ) (t f ) (t f 13 (1) σ k T = Начальные и центральные моменты порядка R для упрощения часто обозначают как R a и R соответственно. Для этих моментов справедливы следующие соотношения: , 1 0 J J R R J J R R a C a − = = ) 1 ( 1 0 J J R R J J R a a − = − = Коэффициент асимметрии распределения случайной величины – определяет степень неравномерности плотности вероятности относи- тельно своего центра. Он рассчитывается по такой формуле: 3 3 = Коэффициент эксцесса распределения случайной величины – харак- теризует "островершинность" плотности вероятности . Обычно эту ха- рактеристику применяют к унимодальным распределениям. 3 4 4 − = ) (t f ) (t f 14 f(t) t f(t) t а) Сравнение математических ожиданий б) Сравнение дисперсий E 1 (t) E 2 (t) f 1 (t) f 2 (t) E(t) f 2 (t) f 1 (t) f(t) t f(t) t в) Сравнение коэффициентов асимметрии г) Сравнение коэффициентов эксцесса f 1 (t) f 2 (t) f 2 (t) f 1 (t) Четыре примера непрерывных распределений Важной характеристикой ФР следует считать квантиль. На рисунке по- казаны два квантиля, для которых значения ФР составляют 0,5 и 0,95 соот- ветственно. Графически квантиль определяется очень просто. Аналитически значения квантиля X t можно получить решением уравнения: ) ( x t F X = 15 t F(t) 0,5 t 0,5 t 0,95 0,95 Квантили функции распределения Иногда функция распределения определяется в процентах – от 0 до 100%. Тогда квантиль также задается в процентах. В этом случае вместо тер- мина "квантиль" используется термин "процентиль". 1 2 |