Исследовательский реферат «Гармонические колебания». Реферат Гармонические колебания
![]()
|
Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся “ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА” Направление - математика Исследовательский реферат «Гармонические колебания» Бородич Никита Георгиевич МБОУ СОШ № 1 ЗАТО Озерный Тверской области 11 класс Научный руководитель: Бородич Ирина Сергеевна учитель математики МБОУ СОШ № 1 ЗАТО Озерный АннотацияДанная работа была разработана в целях освоения и знакомства с математическими методами физических расчетов. Математические методики обсчетов радио и электромагнитных волн, обсчет механических колебаний и прочих физических явлений. Колебания сопровождают и биологические процессы, например, слух, зрение, восприятие ультрафиолета, (используемые многими биологическими видами), передачу возбуждения по нервной ткани, работу сердца и мозга. Записывая работу сердца или мозга, врачи получают электрокардиограммы и энцефалограммы. Как говорил создатель учения о биосфере академик Вернадский: “Кругом нас, в нас самих, всюду и везде, без перерыва, вечно сменяясь, совпадая и сталкиваясь, идут излучения разной длины – от волн, длина которых измеряется десятимиллионными долями миллиметра, до длинных, измеряемых километрами”. Содержание Введение, актуальность, цели, задачи……………………………………3 1.Гармонические колебания……………………………………………….4 2.Основные определения…………………………………………………..4 3.Скорость и ускорение при гармонических колебаниях………………..7 4.Представление гармонических колебаний с помощью ………………..8 метода векторных диаграмм 5.Сложение синхронных скалярных колебаний………………………….9 6.Биения …………………………………………………………………….10 7.Сложение колебаний с кратными частотами……………………………11 8.Сложение ортогональных колебаний с равными частотами…………...12 9.Сложение ортогональных колебаний с кратными частотами………….12 Заключение…………………………………………………………………..13 Литература……………………………………………………………………13 ВведениеВ повседневной жизни мы сталкиваемся с различными колебательными процессами. Механические колебания применяются для скорейшей укладки бетона специальными виброукладчиками, для просеивания материалов на виброситах и даже для почти безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. Электромагнитные колебания доносят до нас вести о сложных процессах, происходящих внутри звезд, о взрывах в отдаленных галактиках, о таких диковинных вещах, как пульсары (нейтронные звезды), черные дыры и т.д. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно закрытой облаками Венеры. Но колебания не всегда полезны. Вибрация станка действует на резец и обрабатываемую деталь и может привести к браку; вибрация жидкости в топливных баках ракеты угрожает их целостности, а вибрация самолетных крыльев при неблагоприятных условиях может привести к катастрофе. Даже хорошо затянутая гайка под влиянием вибрации ослабевает и станок разбалтывается. А самое страшное – под действием вибрации меняется внутренняя структура металлов, что приводит к так называемой “усталости” и последующему неожиданному разрушению конструкции. Колебаниями объясняются случаи падения мостов во время ураганов, катастрофы в кузнечных цехах, где несколько механических молотов начинали работать в такт. Колебания, контролируемые человеком, весьма полезны. Однако они могут превратиться в опасного врага. Поэтому надо изучать колебания, знать их свойства. А здесь без математических расчетов не обойтись. АктуальностьВажность изучения данного материала определяется необходимостью познания явления гармонических колебаний. Данная тема является и разделом математической физики. Так как я хочу стать инженером, то аознанием данной темы является частью моей довузовской подготовки. Данная тема формирует логику, развивает математическое мышление и тренирует алгоритмы тригонометрических исчислений. Цель: Создать представление о гармонических колебаниях, их сложении и основных характеристиках. Показать значимость одной из тем математики и физики «Гармонические колебания» ЗадачиСобрать имеющуюся информацию по вопросу «Гармонические колебания». Проанализировать информацию по данной теме. Показать важность математических обоснований при изучении данной темы. 1. Гармонические колебанияВ технике и в окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Механическими колебаниями называются периодические (или почти периодические) изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение, кинетическая и потенциальная энергия и т. п.). Особую роль в колебательных процессах имеет простейший вид колебаний – гармонические колебания. Гармонические колебания лежат в основе единого подхода при изучении колебаний различной природы, так как колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, а периодические процессы иной формы можно представить как наложение гармонических колебаний. 2. Основные определенияГармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид: ![]() ![]() ![]() Рисунок 1. Простейший пример гармонических колебаний Здесь ![]() ![]() ![]() циклическая или круговая частота колебаний, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний ![]() ![]() Частота колебаний ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 2. Изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, при изменении либо амплитуды колебаний ![]() ![]() ![]() ![]() Большое значение для анализа сложного колебательного движения имеет понятие разности фаз двух колебаний: ![]() Если колебания синхронные (т.е. имеют одинаковую частоту), то величина ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 3. Пример синхронных гармонических колебаний Если колебания несинхронные, то величина ![]() Сдвиг фаз можно выразить в радианах и в долях периода. Пусть колебания подчиняются уравнениям: ![]() ![]() где ![]() Второе колебание можно представить в следующем виде: ![]() Очевидно, что ![]() Из уравнения следует, что если ![]() ![]() ![]() ![]() Колебания, происходящие со сдвигом фаз ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 4. Пример гармонических колебаний со сдвигом фаз ![]() Сдвиг по фазе ![]() ![]() ![]() Чтобы не было этой неопределенности, условились сдвиг фаз задавать в диапазоне от 0 до ![]() 3. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени: ![]() Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на ![]() Величина ![]() ![]() а для случая нулевой начальной фазы: ![]() Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени: ![]() вторая производная от координаты по времени. Тогда: ![]() Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на ![]() ![]() Величина ![]() ![]() а для случая нулевой начальной фазы: ![]() Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения). Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях: ![]() ![]() Можно записать: ![]() Т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота. ![]() Рисунок 5. Графики координаты x (t), скорости υ (t) и ускорения a (t) тела, совершающего гармонические колебания 4. Представление гармонических колебаний с помощью метода векторных диаграммВ ряде случаев оказывается полезным представить колебания скалярных величин с помощью векторов. Данный способ называется методом векторных диаграмм. Для представления величины ![]() ![]() Изобразим на произвольной оси ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 6. Пример представления гармонических колебаний с помощью метода векторных диаграмм Пусть длина данного вектора равна амплитуде ![]() ![]() ![]() Допустим, что вектор ![]() ![]() ![]() ![]() Значение физической величины ![]() ![]() ![]() ![]() Итак, скалярное гармоническое колебание можно представить как проекцию вектора с амплитудой ![]() ![]() ![]() 5. Сложение синхронных скалярных колебанийКолебания векторных величин называются векторными, а скалярных величин – скалярными. При сложении векторных колебаний нужно учитывать их направления, в то время как скалярные колебания складываются алгебраически. Рассмотрим сложение скалярных колебаний или векторных колебаний, направленных вдоль одной прямой. Пусть мы имеем два синхронных скалярных колебания, описываемых законами: ![]() ![]() Для того чтобы найти ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 7. Пример сложения синхронных скалярных колебаний Поскольку сумма проекций векторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку колебания синхронные, то взаимная ориентация векторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проекция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из уравнений следует, что амплитуда результирующего колебания зависит не только от соотношения амплитуд исходных колебаний, но и от сдвига фаз между ними ![]() Например, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6. БиенияПусть частоты двух скалярных колебаний не равны друг другу и ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем результирующее колебание ![]() ![]() ![]() ![]() Величину ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 8. Векторная диаграмма зависимости ![]() ![]() Поэтому вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() Отсюда видно, что амплитуда результирующего колебания ![]() ![]() ![]() Периодическое изменение амплитуды результирующего колебания, являющегося результатом сложения скалярных гармонических колебаний с близкими частотами, называется биением. График биения будет иметь вид, представленный ниже. Видно, что результирующее колебание не является гармоническим. ![]() Рисунок 9. Пример графика биения 7. Сложение колебаний с кратными частотами Если складываемые колебания имеют резко отличающиеся частоты, то результирующее колебание даже приблизительно не будет гармоническим. В случае, если частоты складываемых колебаний кратны, т.е. ![]() ![]() ![]() 8. Сложение ортогональных колебаний с равными частотамиРассмотрим два векторных колебания, описываемых уравнениями: ![]() ![]() Заметим, что с течением времени направление векторов не изменяется, а изменяется только их амплитуда. Очевидно также, что вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вдоль вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим случай синхронных взаимно-перпендикулярных колебаний: ![]() Рисунок 10. Пример синхронных взаимно-перпендикулярных колебаний ![]() ![]() Спроецировав уравнения на оси координат и проведя суммирование проекций, получим: ![]() ![]() Исключив с помощью тригонометрических преобразований ![]() ![]() Вид эллипса определяется величиной сдвига фаз ![]() ![]() ![]() ![]() Если сдвиг фаз ![]() ![]() ![]() Т.е. фигура Лиссажу представляет из себя прямую линию с углом наклона ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() 9. Сложение ортогональных колебаний с кратными частотамиРассмотрим случай сложения несинхронных перпендикулярных колебаний. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для нахождения вида фигуры Лиссажу используем метод графического исключения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 11. Пример фигуры Лиссажу типа восьмерки для ![]() ![]() Если взять колебания с разными начальными фазами, то при таком же соотношении частот также получим фигуры Лиссажу типа восьмерки, но не симметричные относительно осей координат. При ![]() Существует правило частот Лиссажу, по которому можно определить частоты складываемых колебаний. Об их соотношении судят по числу точек пересечения фигуры прямыми, параллельными осям координат: ![]() Откуда это следует? Обозначим за ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Метод фигур Лиссажу широко используется для определения соотношения частот и фаз складываемых колебаний (например, в радиотехнике для градуировки генераторов). Чувствительность фигуры Лиссажу к разности фаз используется также для исследования фазовых соотношений в цепях переменного тока. Заключение Математика – царица наук. Гармонические колебания – физические явления, но для их изучения не обойтись без математических исследований. Таким образом, для использования колебательных процессов во благо человека, необходимо создавать математические модели реальных ситуаций, изучать их с помощью удивительно красивых тригонометрических функций. Литература А. М. Афонин. Физические основы механики. — Изд. МГТУ им. Баумана, 2006. 2. А.Г. Мордкович. Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11-е класс 3. Физика. В 5 книгах. Книга 4. Колебания и волны. Оптика, А. Н. Леденев |