Исследовательский реферат «Гармонические колебания». Реферат Гармонические колебания

Название	Реферат Гармонические колебания
Дата	18.12.2022
Размер	2.54 Mb.
Формат файла
Имя файла	Исследовательский реферат «Гармонические колебания».doc
Тип	Реферат #850749

Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся

“ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА”

Направление - математика

Исследовательский реферат

«Гармонические колебания»

Бородич Никита Георгиевич

МБОУ СОШ № 1 ЗАТО Озерный Тверской области

11 класс

Научный руководитель:

Бородич Ирина Сергеевна

учитель математики

МБОУ СОШ № 1 ЗАТО Озерный

Аннотация

Данная работа была разработана в целях освоения и знакомства с математическими методами физических расчетов. Математические методики обсчетов радио и электромагнитных волн, обсчет механических колебаний и прочих физических явлений. Колебания сопровождают и биологические процессы, например, слух, зрение, восприятие ультрафиолета, (используемые многими биологическими видами), передачу возбуждения по нервной ткани, работу сердца и мозга. Записывая работу сердца или мозга, врачи получают электрокардиограммы и энцефалограммы. Как говорил создатель учения о биосфере академик Вернадский: “Кругом нас, в нас самих, всюду и везде, без перерыва, вечно сменяясь, совпадая и сталкиваясь, идут излучения разной длины – от волн, длина которых измеряется десятимиллионными долями миллиметра, до длинных, измеряемых километрами”.

Содержание

Введение, актуальность, цели, задачи……………………………………3

1.Гармонические колебания……………………………………………….4

2.Основные определения…………………………………………………..4

3.Скорость и ускорение при гармонических колебаниях………………..7

4.Представление гармонических колебаний с помощью ………………..8

метода векторных диаграмм

5.Сложение синхронных скалярных колебаний………………………….9

6.Биения …………………………………………………………………….10

7.Сложение колебаний с кратными частотами……………………………11

8.Сложение ортогональных колебаний с равными частотами…………...12

9.Сложение ортогональных колебаний с кратными частотами………….12

Заключение…………………………………………………………………..13

Литература……………………………………………………………………13

Введение

В повседневной жизни мы сталкиваемся с различными колебательными процессами.

Механические колебания применяются для скорейшей укладки бетона специальными виброукладчиками, для просеивания материалов на виброситах и даже для почти безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. Электромагнитные колебания доносят до нас вести о сложных процессах, происходящих внутри звезд, о взрывах в отдаленных галактиках, о таких диковинных вещах, как пульсары (нейтронные звезды), черные дыры и т.д. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно закрытой облаками Венеры.

Но колебания не всегда полезны. Вибрация станка действует на резец и обрабатываемую деталь и может привести к браку; вибрация жидкости в топливных баках ракеты угрожает их целостности, а вибрация самолетных крыльев при неблагоприятных условиях может привести к катастрофе. Даже хорошо затянутая гайка под влиянием вибрации ослабевает и станок разбалтывается. А самое страшное – под действием вибрации меняется внутренняя структура металлов, что приводит к так называемой “усталости” и последующему неожиданному разрушению конструкции. Колебаниями объясняются случаи падения мостов во время ураганов, катастрофы в кузнечных цехах, где несколько механических молотов начинали работать в такт. Колебания, контролируемые человеком, весьма полезны. Однако они могут превратиться в опасного врага. Поэтому надо изучать колебания, знать их свойства. А здесь без математических расчетов не обойтись.

Актуальность

Важность изучения данного материала определяется необходимостью познания явления гармонических колебаний. Данная тема является и разделом математической физики. Так как я хочу стать инженером, то аознанием данной темы является частью моей довузовской подготовки. Данная тема формирует логику, развивает математическое мышление и тренирует алгоритмы тригонометрических исчислений.
Цель:

Создать представление о гармонических колебаниях, их сложении и основных характеристиках. Показать значимость одной из тем математики и физики «Гармонические колебания»

Задачи

Собрать имеющуюся информацию по вопросу «Гармонические колебания».
Проанализировать информацию по данной теме.
Показать важность математических обоснований при изучении данной темы.

1. Гармонические колебания

В технике и в окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Механическими колебаниями называются периодические (или почти периодические) изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение, кинетическая и потенциальная энергия и т. п.).

Особую роль в колебательных процессах имеет простейший вид колебаний – гармонические колебания. Гармонические колебания лежат в основе единого подхода при изучении колебаний различной природы, так как колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, а периодические процессы иной формы можно представить как наложение гармонических колебаний.

2. Основные определения

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса.
Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

Рисунок 1. Простейший пример гармонических колебаний

Здесь – смещение тела от положения равновесия, А = – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, –

циклическая или круговая частота колебаний, – время. Величина, стоящая под знаком косинуса называется фазой гармонического процесса. При , поэтому называют начальной фазой. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при полностью совпадают. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при смещение , следовательно, удобнее пользоваться функцией , положив ; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при смещение , следовательно, удобнее пользоваться функцией и . Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).

Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний . Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний связана с циклической частотой и периодом колебаний соотношениями:

Рисунок 2. Изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, при изменении либо амплитуды колебаний , либо периода (или частоты ), либо начальной фазы

Большое значение для анализа сложного колебательного движения имеет понятие разности фаз двух колебаний:

Если колебания синхронные (т.е. имеют одинаковую частоту), то величина не зависит от времени, и они происходят с постоянным сдвигом фаз. Пример такого рода колебаний приведен на рисунке ниже. Колебание величины опережает колебание .

Рисунок 3. Пример синхронных гармонических колебаний

Если колебания несинхронные, то величина зависит от времени.

Сдвиг фаз можно выразить в радианах и в долях периода. Пусть колебания подчиняются уравнениям:

где - время запаздывания 2-го колебания относительно 1-го.

Второе колебание можно представить в следующем виде:

Очевидно, что

Из уравнения следует, что если , то , а при , .

Колебания, происходящие со сдвигом фаз , называются антифазными. Имеется некоторая неопределенность в отставании и опережении на . Нельзя сказать, которое из колебание отстает, т. к. математически эти утверждения эквивалентны. Рассмотрим случай, когда отстает от больше, чем на .

Рисунок 4. Пример гармонических колебаний со сдвигом фаз

Сдвиг по фазе характеризует отставание 2-го колебания от 1-го. Из графика видно, что такое отставание эквивалентно опережению 2-м колебанием 1-го на угол . Такой же результат получим и математически, исходя из тригонометрического равенства:

Чтобы не было этой неопределенности, условились сдвиг фаз задавать в диапазоне от 0 до .

3. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.

Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени:

Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на .

Величина – максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости). Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем:,

а для случая нулевой начальной фазы:

Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:

вторая производная от координаты по времени. Тогда:

Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на и колебания смещения на (говорят, что колебания происходят в противофазе).

Величина – максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем:

,

а для случая нулевой начальной фазы:

Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).
Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:

Можно записать:

Т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.

Рисунок 5. Графики координаты x (t), скорости υ (t) и ускорения a (t) тела, совершающего гармонические колебания

4. Представление гармонических колебаний с помощью метода векторных диаграмм

В ряде случаев оказывается полезным представить колебания скалярных величин с помощью векторов. Данный способ называется методом векторных диаграмм.

Для представления величины , изменяющейся по гармоническому закону:

Изобразим на произвольной оси вектор , исходящим из точки .

Рисунок 6. Пример представления гармонических колебаний с помощью метода векторных диаграмм

Пусть длина данного вектора равна амплитуде , а угол с осью равен фазе .

Допустим, что вектор вращается вокруг точки с угловой скоростью против часовой стрелки, что соответствует положительному направлению отсчета углов. Тогда угол между вектором и осью, равный фазе колебаний, будет изменяться по закону:

Значение физической величины в любой момент времени зададим как проекцию вектора на ось :

Итак, скалярное гармоническое колебание можно представить как проекцию вектора с амплитудой , который вращается вокруг закрепленной точки с постоянной угловой скоростью .

5. Сложение синхронных скалярных колебаний

Колебания векторных величин называются векторными, а скалярных величин – скалярными.

При сложении векторных колебаний нужно учитывать их направления, в то время как скалярные колебания складываются алгебраически. Рассмотрим сложение скалярных колебаний или векторных колебаний, направленных вдоль одной прямой.

Пусть мы имеем два синхронных скалярных колебания, описываемых законами:

Для того чтобы найти , изобразим скалярные величины и в момент в виде проекций векторов и , вращающихся вокруг точки с угловой скоростью :

Рисунок 7. Пример сложения синхронных скалярных колебаний

Поскольку сумма проекций векторов и , имеющих амплитуды и , на ось равна проекции на эту же ось результирующего вектора , то для получения искомого результата сначала по правилу сложения векторов найдем вектор , а затем вычислим его проекцию.

Поскольку колебания синхронные, то взаимная ориентация векторов и с течением времени не изменится. Вектор будет вращаться вокруг точки со скоростью и результирующее колебание будет гармоническим. В произвольный момент времени:

Проекция задается значениями амплитуды и угла :

Из уравнений следует, что амплитуда результирующего колебания зависит не только от соотношения амплитуд исходных колебаний, но и от сдвига фаз между ними .

Например, если , то ,если , то (при амплитуда результирующего колебания ).

6. Биения

Пусть частоты двух скалярных колебаний не равны друг другу и . Сначала рассмотрим случай, когда разность частот складываемых колебаний мала, т.е. .

Найдем результирующее колебание . Заменив величину на , запишем уравнение 1-го колебания в виде:

Величину будем рассматривать как медленно изменяющуюся во времени фазу .Таким образом, вектор участвует в двух вращениях с частотами и . Изобразим и на векторной диаграмме, исходящими из одной точки . Не будем рассматривать их синхронного вращения с частотой , т.к. оно не изменяет со временем их взаимного расположения этих векторов.

Рисунок 8. Векторная диаграмма зависимости относительно

Поэтому вектор будем считать неподвижным, а - вращающимся со скоростью относительно точки . При вращении вектор составляет с ним некоторый угол, изменяющийся со временем. В результате сложения и получим вектор, длина которого периодически меняется со временем от значения, равного сумме , до значения, равного разности . Действительно:

где .

Отсюда видно, что амплитуда результирующего колебания изменяется по гармоническому закону с частотой . Период изменения амплитуды равен .

Периодическое изменение амплитуды результирующего колебания, являющегося результатом сложения скалярных гармонических колебаний с близкими частотами, называется биением.

График биения будет иметь вид, представленный ниже. Видно, что результирующее колебание не является гармоническим.

Рисунок 9. Пример графика биения

7. Сложение колебаний с кратными частотами

Если складываемые колебания имеют резко отличающиеся частоты, то результирующее колебание даже приблизительно не будет гармоническим.

В случае, если частоты складываемых колебаний кратны, т.е. ( и - целые числа), то результирующее колебание не является гармоническим, но будет периодическим. Период колебания равен наименьшему кратному периодов исходных колебаний.

8. Сложение ортогональных колебаний с равными частотами

Рассмотрим два векторных колебания, описываемых уравнениями:

Заметим, что с течением времени направление векторов не изменяется, а изменяется только их амплитуда. Очевидно также, что вектор параллелен , а вектор параллелен . Задача: найти Рассмотрим только случай взаимно-перпендикулярных колебаний.

Вдоль вектора направим ось , вдоль – ось . Очевидно, результирующий вектор перемещается в плоскости . Кривая, описываемая концом вектора , называется фигурой Лиссажу. Эта фигура вписывается в четырехугольник со сторонами и , а ее вид зависит от соотношения частот, фаз и амплитуд складываемых колебаний.

Рассмотрим случай синхронных взаимно-перпендикулярных колебаний:

Рисунок 10. Пример синхронных взаимно-перпендикулярных колебаний

Спроецировав уравнения на оси координат и проведя суммирование проекций, получим:

Исключив с помощью тригонометрических преобразований , получим математическое выражение фигуры Лиссажу, которое представляет собой уравнение эллипса:

Вид эллипса определяется величиной сдвига фаз . В общем случае, когда отлична от 0, полуоси эллипса повернуты относительно осей и на определенный угол.

Если сдвиг фаз , то будет справедливо следующее выражение:

Т.е. фигура Лиссажу представляет из себя прямую линию с углом наклона к оси (). Если , то .

Если то имеем классическое уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат:

Если и , то эллипс превращается в окружность радиуса .

9. Сложение ортогональных колебаний с кратными частотами

Рассмотрим случай сложения несинхронных перпендикулярных колебаний. Пусть не равняется , но частоты исходных колебаний относятся как целые числа: . Рассмотрим следующий пример:

Для нахождения вида фигуры Лиссажу используем метод графического исключения . Изобразим на одном графике зависимости и . Отметим на этом графике положение точек в некоторые последовательные моменты времени. Затем перенесем эти точки на плоскость . В результате получим фигуру Лиссажу типа восьмерки:

Рисунок 11. Пример фигуры Лиссажу типа восьмерки для И

Если взять колебания с разными начальными фазами, то при таком же соотношении частот также получим фигуры Лиссажу типа восьмерки, но не симметричные относительно осей координат. При фигура Лиссажу примет вид параболы.

Существует правило частот Лиссажу, по которому можно определить частоты складываемых колебаний. Об их соотношении судят по числу точек пересечения фигуры прямыми, параллельными осям координат:

Откуда это следует? Обозначим за - минимальное время, в течение которого полностью описывается фигура Лиссажу. Очевидно, что равно наименьшему кратному периодов колебаний и , совершающихся вдоль осей и . За один период конец вектора пересечет ось 2 раза. Следовательно, за время число пересечений этой оси будет равно . Аналогично . Следовательно, .

Метод фигур Лиссажу широко используется для определения соотношения частот и фаз складываемых колебаний (например, в радиотехнике для градуировки генераторов). Чувствительность фигуры Лиссажу к разности фаз используется также для исследования фазовых соотношений в цепях переменного тока.

Заключение

Математика – царица наук. Гармонические колебания – физические явления, но для их изучения не обойтись без математических исследований. Таким образом, для использования колебательных процессов во благо человека, необходимо создавать математические модели реальных ситуаций, изучать их с помощью удивительно красивых тригонометрических функций.

Литература

А. М. Афонин. Физические основы механики. — Изд. МГТУ им. Баумана, 2006.

2. А.Г. Мордкович. Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11-е класс

3. Физика. В 5 книгах. Книга 4. Колебания и волны. Оптика, А. Н. Леденев