Штиер ВА 3к5с ТОЭ Контрольная работа №2.. Символическим методом

• Название: Символическим методом
• Дата: 08.02.2022
• Размер: 254.54 Kb.
• Имя файла: Штиер ВА 3к5с ТОЭ Контрольная работа №2..docx
• Тип: Контрольная работа; #355092
• страница: 1 из 3

Контрольная работа по ТОЭ №2.

РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

СИМВОЛИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Если в электрической цепи действуют источники энергии, ЭДС и ток которых изменяется по гармоническому закону

e_k(t) = E_mk S in( t+  _ek); J_k(t) = J_mk Sin( t+  _jk ),

то токи и напряжения на всех участках этой цепи будут гармоническими функциями:

i_k(t) = I_mk Sin( t+  _ik); u_k(t) = U_mk Sin( t+  _uk),

где k –номер ветви или элемента. Далее будем полагать, что все источники одной цепи действуют с равной угловой частотой  .

Законы Кирхгофа справедливы для любых цепей и воздействий, в том числе и для цепей синусоидального тока:



К примеру, определяя для схемы на рис. 4.1,а, токи и напряжения, следует составить два уравнения:

i = i₁+ i₂ = I_m1 Sin( t+  _i1) + I_m2 Sin( t+  _i2);

u_L= u_r+ u_c= U_mr Sin( t+  _ur ) + U_mc Sin( t+ _uc).

Операции с гармоническими функциями в задачах электротехники принципиально проще выполнять, представив их комплексными числами. Такой метод называется символическим или методом комплексных чисел.

В этом методе уравнения (4.1) и (4.2) принимают вид



где I_mk и U_mkкомплексные амплитуды токов и напряжений.

Переход от мгновенных значений к комплексным амплитудам производится следующим образом:

i = I_m Sin( t+  _i) соответствует I_m= I_me^ji,

u = U_m Sin( t+  _u ) соответствует U_m= U_me^ju,

где I_m и U_m– комплексные числа, записанные в полярной (показательной) форме и сохраняющие информацию об амплитуде и начальной фазе соответствующей синусоидальной функции. Эти числа представляют на комплексной плоскости в виде векторов. Набор векторов, относящихся к данной задаче, образуют векторную диаграмму. На диаграмме комплексные амплитуды токов и напряжений предпочтительно изображать вместе, используя разные масштабы.

Обратный переход от комплексных амплитуд величин к их мгновенным значениям осуществляется по формулам:

i = Jm{Imej( t+  i)}, u = Jm{Umej( t+  u)}

(4.5)

где Jm –операция выделения мнимой части комплексной функции.

Переход от схемы анализируемой цепи к комплексной схеме замещения производится на основании таблицы 4.1, где сопротивление каждого элемента заменяется соответствующим комплексным числом:

r – сопротивление резистивного элемента или участка цепи;

jx_L= j( L) – сопротивление индуктивного элемента;

 jx_c= - j/( C) = 1/(jC) – сопротивление емкостного элемента.

В этих соотношениях размерность сопротивления [Ом], индуктивности [Гн] и емкости [Ф].

Возможно использование обратных величин- проводимостей:

g= 1/r –проводимость резистивного элемента или участка цепи;

 jb_L= - j/( L) = 1/(jL) – проводимость индуктивного элемента;

jb_C= j( C) – проводимость емкостного элемента.

Размерность проводимости – сименс [Cм].

В комплексных числах символом j обозначена мнимая единица:

j= e^j90 ; j² = - 1.

Умножение вектора на  j,поворачивает этот вектор на угол  90 на комплексной плоскости.

Таблица 4.1



Комплексная схема замещения составляется с помощью таблицы 4.1 и анализируется на основании алгебраических уравнений (4.3) и (4.4) т.е. формально решается задача расчета цепи постоянного тока в последовательности ранее детально обоснованной. Отличие лишь в том, что во всех соотношениях вместо E, U, I, r, gбудут фигурировать комплексные числа E_m,U_m,I_m, r,jx_L, – jx_c, g,– jb_L, jb_c.

Схема электрической цепи и ее комплексная схема замещения изображены на рис. 4.1,а, 4.1,б. В последней сопротивления элементов и ток источника представлены комплексными числами. Зависимые и независимые переменные связаны системой уравнений

I_m1 + I_m2 = J_m,

U_mr+U_mc-U_mL= 0,

где токи и напряжения, согласно закона Ома,

Umr= r Imr ; UmL= jxL ImL ; Umc = - jxc Imc.

(4.6)

После подстановки этих соотношений в систему получаем

I_m1+I_m2=J_m ,

(r - jxc) Im1 - jxL Im2 = 0.

(4.7)

Рис. 4.1

4.1. Электрическая цепь и ее схема замещения представлены на рис. 4.1,а,б. Параметры: r= 100[Ом]; L= 10[мГн]; C= 1[мкФ], ток источника J(t)= 1,2Sin(10000t –45⁰)[A]. Определить комплексные амплитуды токов и напряжений; изобразить их векторной диаграммой на комплексной плоскости.

Определяем комплексы сопротивлений и амплитуду тока источника

x_L=  L= 10^{4 .} 10 ^. 10^-3 = 100 [Ом] соответствует z_L = j100,

x_c= 1/ C= 10⁶/(10^{4 .} 1) = 100 [Ом] соответствуетz_C = - j100,

J(t) = 1,2Sin(10000t –45⁰) [A] соответствует J_m= I_m= 1,2e^-j45 .

и подставляем их в систему уравнений (4.7). Для вычисления сопротивлений в [Ом] в расчетные соотношения следует подставлять индуктивности в генри [Гн], а емкости в фарадах [Ф].

I_m1 + I_m2 =1,2e^-j45 ,

(100 – j100) I_m1 - j100 I_m2=0.

Полученная алгебраическая система уравнений может быть решена на ПЭВМ или вручную. Комплексные амплитуды искомых токов:

I_m1 = 1,2e^j45 [A]; I_m2 = 1,697e^-j90 [A].

Комплексные амплитуды напряжений на отдельных участках цепи находим на основании выражений (4.6):

U_mr= 120e^j45 [В]; U_mc= 120e^-j45 [В]; U_mL= 169,7[В].

На рис. 4.2 изображены диаграммы токов и напряжений.



Рис. 4.2

Для каждой должен быть указан свой масштаб. Диаграммы могут быть совмещены для оценки фазовых соотношений между векторами и соответствующими им гармоническими функциями.

Рассмотрим иной путь решения задачи 4.1, не требующий составления системы уравнений.

Элементы средней и правой ветвей на схеме рис. 4.1,в имеют значения:

z₁ = r₁ - jx_c = 100 - j100[Ом] и z₂ = jx_L = j100[Ом].

Ветви соединены параллельно; их общее сопротивление равно.



Располагая комплексным сопротивлением z, упрощаем схему: на рис. 4.1,г исходная цепь, не содержащая источников энергии, представлена пассивным двухполюсником.

Определяем напряжение на зажимах двухполюсника; ток I_m= 1,2e^-j45

U_m = U_m1 = U_m2 = I_mz= 1,2e^-j45. 100 2 e^j45= 169,7[B].

Возвращаясь к схеме на рис. 4.1,а, находим токи в средней и правой ветвях



Проверим правильность расчета, используя правило обратной пропорции: значения токов в параллельных ветвях обратно-пропорциональны сопротивлениям этих ветвей –



Значения токов совпадают с полученным ранее решением системы уравнений.

Возможна постановка обратной задачи по расчету цепи синусоидального тока. Далее рассмотрен такой пример.

4.2. Для электрической цепи рис. 4.3,а известна синусоидальная функция тока в емкости i_c= 6Sin(1000t+ 30 )[А] и параметры r= 20[Oм], C= 100[мкФ]. Определить комплексные амплитуды токов в ветвях цепи и напряжений на ее элементах.

Решение задачи начинаем с определения комплексных параметров элементов и, обращаясь к таблице 4.1, создаем на рис 4.3,б схему замещения.



Рис.4.3

x_c= 1/ C= 10⁶/10^3 .10² = 10[Oм]  - j10,

i_c= 6Sin(1000t+ 30 )[А]  I_mc = 6e^j30 .

Решение обратной задачи производится так же, как и в цепях постоянного тока шаг за шагом использованием закона Ома и законов Кирхгофа, записанных в комплексной форме (4.3) и (4.4).

а.Определяем комплексную амплитуду напряжения на емкости

U_mc= - jx_cI_mc = - j10 ^. 6e^j30 = 60e^-j60 [B].

Это напряжение приложено и к резистивному элементу и определяет комплексную амплитуду ЭДС источника E_m=U_mr=U_mc.

б. По закону Ома находим ток в резистивном элементе цепи

I_mr=U_mr/r= 3e^-j60 [A].

в. По первому закону Кирхгофа (4.4) определяем ток источника

I_m=I_mr+I_mc= 3e^-j60 + 6e^j30 = 6,708e^j3,435 [A].

Суммирование токов показано на векторной диаграмме, приведенной на рис. 4.4, где изображены и вектора напряжений.



Рис. 4.4

Задача решена.

Следствия решения прямой и обратной задачи

Решение прямой или обратной задачи позволяет определить комплексные значения токов и напряжений отдельных элементов цепи. В дополнение можно рассчитать следующие характеристики.

1. Действующие значения токов и напряжений.

2. Показания вольтметров и амперметров.

3. Активную мощность, потребляемую резистивными элементами или отдаваемую источникам энергии.

4. Реактивную мощность, которая циркулирует между источниками и реактивными элементами цепи.

5. Показания ваттметра.

6. Углы сдвига фаз между токами и напряжениями и другие фазовые соотношения величин.

7. Мгновенные значения токов и напряжений в виде гармонических функций времени.

1,2. Амперметры и вольтметры, измеряющие токи и напряжения изменяющиеся во времени по гармоническому закону, градуированы в действующих значениях этих величин. Действующее значение отличается от амплитудного множителем  :

I = Im /  , U = Um /

(4.8)

Из выражений (4.8) следует, что показание какого-либо прибора равно модулю комплексной амплитуды поделенной на  .

3. Мощность, потребляемая резистивными элементами или двухполюсниками, вычисляется по любой из формул:

P = r I2; P = g U2; P = U I,

(4.9)

где U,I –действующие значения напряжения и тока.

Анологично для определения реактивной мощности в индуктивных и емкостных элементах имеем

QL,C = ± U I; QL,C = ± xL,C I2 ; QL,C = ± bL,C U2,

(4.10)

где знак плюс (+) приписывается индуктивности, а знак минус (–) емкости.

4. Для вычисления активной и реактивной мощности в ветви, характеризуемой комплексным сопротивлением z или проводимостью y, используют формулы

P = U I cosφ; P = Re(UI); Q = U I sinφ; Q = Jm(UI),

(4.11)

где φ = Ψ_u – Ψ_i – угол сдига фаз между током и напряжением ветви, I= Ie^-jΨi – комплексно-сопряженное току I = Ie^jΨi

5. Измерение мощности ваттметром рассмотрим подробнее. Напряжение и ток ветви или цепи (рис. 4.5)

u(t) = U  Sin( t+  _u), i(t) = I Sin( t+ _i).

Мгновенной мощностью называют произведение

P = ui = U Sin( t+  _u)I Sin( t+  _i) =

UICos-UICos(2 t+  _u+  _i), где  =_u- _i.

Среднее значение мгновенной мощности P = UICosизмеряют ваттметром.Величину P называют активной мощностью, ее размерность – ватты [Вт].



Рис. 4.5

Ваттметр (рис. 4.5) имеет две обмотки – напряжения и тока, начала обмоток помечены звездочкой. В зависимости от порядка включения обмоток, стрелка прибора может отклонятся в ту или иную сторону. Если начала обмоток соединены и расположены со стороны источника, то отклонение стрелки вправо свидетельствует о потреблении пассивным двухполюсником энергии источника. Если на схеме рис. 4.5 полагать, что ветвь или цепь содержат источники энергии, то отклонение стрелки ваттметра влево имело бы место лишь в том случае, когда источник e(t)не отдает, а потребляет энергию.

6. Фазовые соотношения определяются разностью начальных фаз напряжений и(или) токов. Для этого вычисляется разность аргументов этих величин, записанных в экспоненциальной форме.

7. Мгновенные значения – синусоидальные функции токов и напряжений определяются формулами (4.5).

4.3 Используя результаты решения задачи 4.1, определить действующие значения токов и напряжений, активную и реактивную мощность в цепи.

Действующие значения определяем по формулам (4.8):

I =1,2/  = 0,8485[A], I₁ = 1,2/ =0,8485[A], I₂ = 1,697/  = 1,2[A],

U_L=169,7/  = 120[B], U_r=120/  = 84,85[B], U_c=120/ = 84,85[B].

На схеме рис.4.1.a имеет место единственный резистивный элемент, который рассеивает активную мощность. Ее можно определить по одной из формул (4.9)

P = r I₁² = 100 ^. (0,8485)² = 72 [Вт].

Воспользуемся и более общей формулой, рассматривая всю цепь как двухполюсник по отношению к источнику питания:

P = U I Cos = U_LI cos( _uL–  _i) = 120 ^. 0,8485 ^. Cos(45 )=72[Вт].

Результаты расчета совпадают.

Для определения реактивной мощности используем формулы (4.10).

Как и ранее, можно определить эту мощность отдельно для индуктивности и для емкости, затем алгебраически суммировать результаты:

QL = xL I22 = 100 . (1,2)2 = 144 [BAр],

Qc= - xc I12 = - 100 . (0,8485)2= - 72 [BAp],

Q = QL + Qc = 72 [BAp].

Рассматривая цепь как двухполюсник, найдем мощность Q иначе:

Q = U I Sin = U_LI Sin( _uL –  _i) = 120 ^. 0,8485 ^.Sin(45 ) = 72 [BAp].

Результаты совпадают и задача решена.

4.4. Используя результаты решения задачи 4.2, записать мгновенное значение тока i_r(t) и построить график этой функции.

Воспользовавшись формулой (4.5), запишем

i_r(t) = Jm{I_me^j( t+  i)} = Jm{3e^j(1000t –60 )} = 3Sin(1000t –60 )[A].



Рис. 4.6

На рис. 4.6 изображён график синусоидальной функции тока в резистивном элементе. Ее смещение вправо относительно начала координат обусловлено отрицательным значением начальной фазы  _i = - 60 .

Задача решена.

4.5. Для цепи (рис. 4.7,а), подключённой к источнику напряжения e(t) с частотой f, известны показание вольтметра U₂ = 50[B] и значения сопротивлений r₁ = 10[Ом], r₂ = 40[Ом], x_c1 = 40[Ом], x_c2 = 10[Ом].

Необходимо определить следующие значения величин.

а. Показание амперметра А.

б. Показания вольтметров V₁ и V.

в. Показание ваттметра W.

г. Угол сдвига фаз между током Iи напряжением U₁ .

д. Угол сдвига фаз между напряжениями U и U₁ .



Рис. 4.7

Решение задачи начинаем с составления комплексной схемы замещения на рис. 4.7,б. Амперметр и вольтметры заменяем идеальными моделями: R_A 0, R_V  0. Аналогично исключаем влияние обмоток ваттметра: сопротивление обмотки тока R_I0, сопротивление обмотки напряжения R_U0. На схеме замещения указывам положительные направления тока и напряжений подлежащих определению. В решении будем оперировать действующими значениями величин: приборы градуированы и измеряют именно эти значения. Начальные фазы токов и напряжений могут быть определены относительно начальной фазы любой величины. В данной задаче выбираем в качестве исходной начальную фазу  _u2 напряжения U₂ и полагаем её равной нулю:

 _u2= 0, U₂ = U₂eⁱu2 = 50eⁱ0 = 50[B].

Комплексные сопротивления емкостей

 jx_c1 = - j40 [Ом], - jx_c2 = - j10 [Ом].

Задачу решаем как обратную рядом последовательных шагов.

а. По закону Ома для участка цепи определяем комплекс действующего значения тока



Амперметр показывает значение равное модулю комплекса тока

I= | I | = 1,21 [A].

б. По закону Ома определяем напряжение U₁

U₁ = U₁e^ju = Z₁ I= (r₁ - jx_c1) I= (10 - j40) ^. 1,21e^j14 =

41,e^–j76 . 1,21e^j14  = 50e^–j62 [B].

Вольтметр V₁ измеряет модуль комплексного числа U₁= | U₁ | =50[B].

Напряжение U определяем по второму закону Кирхгофа как сумму напряжений

U= U₁ + U₂ = 50 + 50e^–j62  = 50(1 + Cos62 ^- jSin62 ) =

= 50(1+ 0,469 - j0,829) = 50 ^. 1,714e^–j31 = 85,7e^–j31 [B].

Вольтметр V измеряет модуль этого значения U=| U|= 85,7[B].

Предлагаем обратить внимание на следующее. Определяя напряжение U, мы суммировали комплексы напряжений U₁ и U₂, а не показания вольтметров V₁ и V₂.

в. Ваттметр определяет значение мощности, которую вычисляем по формуле

P = U I Cos = 85,7 ^. 1,21 ^. Cos(- 45 ) = 73,54 [Вт],

где  =  _u -  _i= - 31 - 14 = - 45 .

Аналогичный результат получим, суммируя мощности, рассеиваемые в элементах r₁ и r_{2 -}

P= P₁+ P₂ = r₁ I² + r₂ I² = (r₁ + r₂) I² = 50 ^. (1,21)² = 73,32 [Bт].

г. Угол сдвига фаз между током Iи напряжением U₁ находим как разность аргументов соответствующих комплексных чисел

 ₁ =  _u1 -  _i= - 62 - 14 = - 76 ,

т.е. ток опережает по фазе напряжение U₁ на 76 . Это же значение соответствует аргументу сопротивления Z₁ = 41,2e^– j76 [Ом].

д. Угол сдвига фаз между напряжениями U и U₁ определим как разность аргументов соответствующих комплексных чисел

 ₂ =  _u -  _u1 = - 31 + 62 = 31 .



Рис.4.8

Векторная диаграмма токов и напряжений, вычисленных в данной задаче, представлена на рис. 4.8, где указаны фазовые соотношения величин.

Задача решена.

4.6. Схема электрической цепи представлена на рис. 4.9. Ее параметры: e₁(t) = 5Sin1000t[B], e₂(t) = 4 2 Sin(1000t+ 45 )[B], j(t) =3Sin(1000t+ 90 )[A], r₁ = r₃ = 1[Ом], r₂= r₄= 2[Ом], C= 500[мкФ],

L₁= 3[мГн], L₂= 2[мГн]. Определить комплексы амплитудных значений токов во всех ветвях цепи.

Рис. 4.9

Рис. 4.10

Рисуем схему замещения (рис. 4.10), используя таблицей 4.1. В схеме четыре узла N_У= 4, шесть ветвей N_B= 6, одна ветвь содержит источник тока N_J = 1. Во всех ветвях, кроме одной, указываем положительные направления токов и нумеруем их I_m1I_m6; ток I_m6 направляем по действию источника тока. По первому закону Кирхгофа составляем три уравнения

N₁ = N_У-1 = 4 - 1 = 3 для узлов 1, 2 и 3. По второму закону Кирхгофа составляем два уравнения N₂ = N_В-N_J-(N_У-1) = 6 - 1 - (4 - 1) = 2 для контуров к₁ и к₂ не содержащих ветвь с источником тока.

Получаем систему из пяти уравнений

узел 1	Im1 - Im4 - Im6 = 0,
узел 2	 Im3 + Im4 + Im5 = 0,
узел 3	Im2 - Im5 + Im6 = 0,
контур к1	(r1 - jxc)Im1 + jxL1Im3 + r2Im4 = Em1,
контур к2	(r4 + jxL2)Im2 + jxL1Im3 + r3Im5 = Em2, где Im6 = Jm.

Определяем сопротивления элементов

x_L1=L₁= 1000 ^. 0,003 = 30[Ом], x_L2=L₂= 1000 ^. 0,002 = 2[Ом],

x_С=1/( C) = 1/( C) = 1/(1000 ^.500 ^.10^-6) = 2[Ом].

Представляем их и гармонические функции трех источников комплексными числами

jx_L1= j3[Ом], jx_L2= j2[Ом], – jx_C= – j2[Ом], r₁ = r₃= 1[Ом],

r₂ = r₄= 2[Ом], E_m1= 5[B], E_m2= 4 2 e^j45 = (4+j4)[B], J_m= 3e^j90 = j3[A].

Подставив значения величин в систему уравнений, записываем последние в матричной форме



Решая систему, находим токи: I_m1= 1,497e^j57 [A],I_m2= 1,355e^-j69,6 [A],

I_m3= 1,288e^-j0,631 [A], I_m4= 1,925e^-j64,9 [A], I_m5= 1,794e^j74,7 [A].

В пятом разделе пособия показана последовательность использования ПЭВМ для решения системы линейных уравнений.

4.7. В последовательной r,L цепи (рис. 4.11,а) известны показания вольтметров U₁ = 100[B], U₂ = 150[B], сопротивление r= 10[Ом] и частота источника питания f= 50[Гц]. Определить показание третьего вольтметра U[B] и индуктивность элемента L[Гн].



Рис.4.11

4.8. Определить показания приборов в цепи (рис. 4.11,б). Известно показание первого амперметра I₁ = 1[A] и параметры элементов:

r₁ = 100[Ом], r₂ = 200[Ом], L= 0,276[Гн], f= 100[Гц].

Приложение