Реферат отчет 47 страницы, 30 рисунков, 4 таблицы, 27 источников Ключевые слова компьютерное зрение, обработка изображений, метод
 Скачать 3.07 Mb.
|
|
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и процессов управления Кафедра Теории Управления Сахаров Алексей Александрович Выпускная квалификационная работа магистра Детекция и распознавание средств регулирования железнодорожного движения при помощи анализа видеопотока Направление 01.04.02 Прикладная математика и информатика Магистерская программа ВМ.5517.2016 Методы прикладной математики и информатики в задачах управления Научный руководитель, старший преподаватель _______________ Смирнов Михаил Николаевич Рецензент: ____________ Пенкрат Николай Александрович Санкт-Петербург 2018 РЕФЕРАТ Отчет 47 страницы, 30 рисунков, 4 таблицы, 27 источников Ключевые слова: компьютерное зрение, обработка изображений, метод Виолы-Джонса, контурный анализ, оператор Собеля, фильтр Калмана, OpenCV. В работе рассматривается система диагностики актуальности расположения средств железнодорожного регулирования на примере знаков и светофоров при помощи анализа видеопотока. Рассмотрены существующие методы компьютерного зрения, приведен пример подобных систем для автомобильного транспорта. Предложен алгоритм работы исследуемой системы и выбраны методы анализа кадров видео. Обучен и протестирован каскадный классификатор Виолы-Джонса. Проведено сравнение четырех методов выделения границ. Рассмотрена применимость фильтра Калмана в задаче фильтрации шумов при выделении границ железнодорожных рельс. Описаны способы расчёта относительных координат найденного объекта. Предложены правила автоматизированного процесса выбора области интереса на основании информации, полученной при обработке предыдущего кадра. ABSTRACT 47 pages, 30 pictures, 4 tables, 27 references. Keywords: computer vision, image processing, Viola-Jones algorithm, edge detection, Sobel operator, Kalman filter, OpenCV. The system of diagnostics of the actual location of the means of railway regulation is considered in the work using the example of signs and traffic lights with the help of analysis of the video stream. Existing methods of computer vision are considered, an example of similar systems for road transport is given. An algorithm for the operation of the system under investigation is proposed and methods for analyzing video frames are chosen. The Viola-Jones cascade classifier is trained and tested. Four methods of delimiting boundaries are compared. The applicability of the Kalman filter in the problem of filtering noise in the deetction of railway rail boundaries is considered. The methods of calculating the relative coordinates of the found object are described. The rules of the automated process of selecting the area of interest based on the information received during the processing of the previous frame are proposed. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................ 6 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ................................................................................ 8 ГЛАВА 1. ОБЗОР МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОГО ЗРЕНИЯ И ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДЕТЕКЦИИ И КЛАССИФИКАЦИИ ...................................................................................... 10 1.1. О БЗОР МЕТОДОВ ВЫДЕЛЕНИЯ ОБЪЕКТОВ НА ИЗОБРАЖЕНИИ .............. 10 1.2. М ЕТОД В ИОЛЫ -Д ЖОНСА ................................................................... 13 1.3. О БРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ ИНФОРМАЦИИ О ЦВЕТЕ ОБЪЕКТА ИНТЕРЕСА ........................................................................................... 14 1.4. А ЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ ДО ОБЪЕКТА ..................... 14 1.5. В ЫДЕЛЕНИЕ ЛИНИЙ НА ИЗОБРАЖЕНИИ .............................................. 16 1.6. М ЕТОД Х АФА ..................................................................................... 17 1.7. Ф ИЛЬТР К АЛМАНА ............................................................................. 19 ГЛАВА 2. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ...................... 21 2.1. П ОСТРОЕНИЕ ВЫБОРКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ И ТЕСТИРОВАНИЯ КЛАССИФИКАТОРА .................................................................. 21 2.2. О БУЧЕНИЕ КАСКАДНОГО КЛАССИФИКАТОРА В ИОЛЫ -Д ЖОНСА ........ 22 2.3. Д ЕТЕКТИРОВАНИЕ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ КОЛЕИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРОЕКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ НА ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ............................. 25 2.3.1. Метод Кенни и его адаптация для выделения контуров на изображении ............................................................................................ 27 2.3.2. Применение метода Хафа и интерпретация его результатов ... 27 2.3.3. Виды ошибок при выделении рельс. Применение фильтра Калмана .................................................................................................... 29 2.4. П ОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПО ДВУМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ЛИНИЯМ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ОБЪЕКТА ИНТЕРЕСА ............................................... 30 2.5. В ЫБОР ОБЛАСТИ ИНТЕРЕСА В СООТВЕТСТВИЕ С ФОРМОЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ КОЛЕИ .............................................................................. 33 2.6. В ЫВОД ПО ГЛАВЕ ................................................................................ 36 ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ............................................ 38 3.1. К ОНТРОЛЬ ТОЧНОСТИ КЛАССИФИКАЦИИ ........................................... 38 3.2. Р ЕЗУЛЬТАТЫ СРАВНЕНИЯ МЕТОДОВ ВЫДЕЛЕНИЯ КОНТУРА РЕЛЬС .... 40 3.3. К ОНТРОЛЬ СКОРОСТИ ОБРАБОТКИ ОДНОГО КАДРА ВИДЕО ................. 43 ВЫВОДЫ ......................................................................................................... 45 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .............................................................................. 46 ВВЕДЕНИЕ В последние годы приобретают большую популярность цифровая обработка и цифровой анализ изображений. Они применяются в различных прикладных областях. От автоматизированной медицинской диагностики до беспилотного управления автомобилем, от глубоководных аппаратов, до посвящено искусственных космических спутников. Возможность применения «компьютерного зрения» многогранна, а решение задач в одной сфере может быть перенесено на совершенно не связанную с ней прикладную область. Обработке образов не малое количество работ, однако «универсального» решения для любой задачи на данный момент не создано. Каждая прикладная область накладывает свои специфичные условия. Исходя из данных условий необходимо построить алгоритм, который решает задачу с максимальной быстротой и точностью, но как правило, остаются условия, которые преодолеть гораздо сложнее, чем другие. К примеру, большинство методов не устойчиво к смене интенсивности или направления освещения, в то время, как другие плохо справляются с изменением масштаба и т.п. В рамах данной работы в качестве прикладной области рассматривается автоматизированный анализ видеопотока с камеры из кабины машиниста поезда. Уровень экономики страны напрямую связан с её техническим развитием. Инновационные технологии помогают в решении различных практических задач. В то время, как цели этих задач могут быть совершенно различными: увеличение прибыли от экономических процессов, ускорение доставки товаров, увеличение прочности изделий и т.д. Одной из таких целей является увеличение безопасности процесса. Нельзя не отметить высокую значимость транспортного вопроса при решении экономической задачи. С ростом требований к скорости движения возникает и необходимость повышения его безопасности. На протяжении многих лет железнодорожный транспорт продолжает активно использоваться, как один из основных видов транспорта в нашей стране. В виду её большой протяженности с запада на восток, в большинстве районов он становится более эффективным, чем автотранспорт. Для обеспечения его активного использования и развития необходимо внедрять принципиально новые технические решения, которые снижают возможные негативные факторы, подвергающие движение риску. В качестве таких факторов можно выделить неблагоприятные погодные условия, человеческий фактор машиниста электропоезда, окружающая инфраструктура и т.д. В связи с этим можно выделить необходимость технического содействия машинисту в принятии решений по управлению поездом. На железной дороге, как и автомобильной, присутствуют строго определенные правила движения, руководствуясь которыми машинист предпринимает действия различного рода. Для указания на данные действия вдоль железной дороги располагаются регулирующие устройства: знаки, световые устройства, устройства подачи звукового сигнала [5], автоматическая локомотивная сигнализация (АЛС) [3] – система сигнализации, передающая сигналы по рельсовой линии на локомотив. Корректное их расположение и состояние дает большой объем информации. В связи с большой протяженностью участков железной, к которым нет прямого доступа, кроме непосредственного проезда по ним возникает необходимость в локомотивной системе контроля расположения данных регулирующих устройств. На корректности расположения регулирующих средств могут повлиять как неблагоприятные погодные условия, так и человеческий фактор (вандализм). Отсутствие необходимого знака может привести к ошибке машиниста, а опора только на геоинформационные системы невозможна. Задача детекции и распознавания дорожных знаков имеет различные способы решения в сфере автомобильного транспорта, в то время как, сходная задача для железнодорожного транспорта описана в достаточно малом количестве работ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Постановку задачи для данной работы можно сформулировать следующим образом: Разработать алгоритм системы детекции, распознавания железнодорожных знаков. В случае успешного решения, это позволит в связке с GPS оборудованием успешно решать вопрос геолокации и точного сравнения факта с плановым расположением знака. Для построения классификатора необходимо наличие достаточного набора обучающих и тестовых изображений. К сожалению, для железнодорожного транспорта отсутствуют подходящие наборы изображений, что приводит к необходимости самостоятельно собирать примеры изображений. В связи с этим, в рамках данной работы так же рассмотрен вопрос построения и применение обучающего набора изображений. Актуальность: в отличие от автодорог, где уже достаточно давно и активно развиваются разнообразные системы содействия водителю (ADAS) [25, 27], для железнодорожного транспорта системы анализа путевой инфраструктуры перед локомотивом почти не представлены. В то время как масса, а, следовательно, и тормозной путь, поезда во много раз больше, чем у автотранспорта. В некоторых случаях он составляет несколько километров. Система, позволяющая контролировать актуальность регулирующею движение инфраструктуры железной дороги может значительно обезопасить движение и защитить от чрезвычайных ситуаций [6]. Цель работы: разработка и программная реализация алгоритма, проверяющего актуальность существующей регулирующей железнодорожной инфраструктуры. Объект исследования: локомотивная система анализа актуальности регулирующей информационной инфраструктуры. Предмет исследования: разработка локомотивной аналитической системы анализа видеоинформации. Задачи исследования: 1. Рассмотреть алгоритмы выделения объектов на изображении. 2. Составить обучающий и тестовый наборы изображений для построения алгоритма выделения объектов интереса. 3. Обучить и протестировать алгоритм выделения объектов на изображении. 4. Рассмотреть алгоритмы определения расстояния до объекта на изображении. 5. Рассмотреть вопрос оптимизации выбора области интереса, путем автоматизированного анализа расположения железнодорожной колеи. Для решения поставленных в данной работе задач были использованы методы цифровой обработки изображений, теория распознавания образов, применяется вычислительная техника и среда программирования Microsoft Visual Studio с использованием функций библиотеки OpenCV (EmguCV C#). ГЛАВА 1. ОБЗОР МЕТОДОВ КОМПЬЮТЕРНОГО ЗРЕНИЯ И ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДЕТЕКЦИИ И КЛАССИФИКАЦИИ 1.1. Обзор методов выделения объектов на изображении В настоящий момент разработано большое количество алгоритмов поиска объекта интереса на изображении. Как правило, невозможно построить алгоритма, способного покрыть все возможные классы объектов. В связи с этим, обзор существующий методов является одним из первых этапов решения задачи обработки изображений. В статье [17] рассмотрены наиболее популярные группы алгоритмов выделения информации на изображении, описаны их преимущества, недостатки и область применения. Выделено 3 группы алгоритмов: Color-based (выделение области интереса на основании цвета); Shape-based (основным критерием является анализ формы и контура объекта); Learn-based (машинное обучение – основной инструмент анализа). В вопросах детекции и анализа расположения дорожных знаков достаточно часто находит своё применение подход, основанный на поиске цвета интереса. Как правило, информация о знаке закреплена в различных правовых актах, в связи с этим можно быть уверенным, что знак всегда сохраняет свои цвета и форму. Однако, алгоритмы данной группы подвержены высокому влиянию изменения освещенности объекта, из-за чего требуется применение динамически определяемых параметров. Данные алгоритмы становятся существенно устойчивее при переходе от RGB цветовой схемы (Red, Green and Blue) в пространство HSV (Hue, Saturation and Value). В данной цветовой схеме можно задать жесткие ограничения на тон интереса (hue), и различные пороги насыщенности (Saturation) и яркости (Value) цвета. Подробное описание цветовых пространств и методов перехода между ними приведено в книге [1]. Рисунок 1 Результат выделения синей компоненты на изображении Алгоритмы данной группы применимы в задаче предварительного выделения области с повышенной вероятностью нахождения объекта интереса. Результаты можно передавать на следующий этап в качестве гипотезы о его местоположении. Анализ формы объекта основан на вычислении градиента изменения цвета для каждого пикселя. Далее вычисленные градиенты анализируются с предположением о том, что объект интереса может быть описан некоторым регулярным правилом. К примеру, для поиска треугольника можно утверждать, что градиент будет направлен по нормали к стороне данного многоугольника. При этом нормали к сторонам треугольника подчиняются соотношению, приведенному на рисунке 2: Рисунок 2 Соотношение направление нормалей в равностороннем треугольнике Это означает, что чем больше групп из трех таких нормалей удалось выделить в ограниченной области, тем выше вероятность нахождения там рассматриваемого объекта. Вероятно, наиболее популярным алгоритмом данной группы является преобразование Хафа [14] и его обобщение, предложенное в 1981 году D.H. Ballard [9]. Классический алгоритм преобразования Хафа связан с идентификацией прямых в изображении, но позже алгоритм был расширен возможностью идентификации позиции произвольной фигуры, чаще всего эллипсов и окружностей. В подходах, описанных выше, основные знания об объекте интереса заранее закладываются в алгоритм обнаружения. Однако, данная информация может быть получена с помощью машинного обучения. Исследования Виолы и Джонса [24] продемонстрировали значительную веху в компьютерном видении. Виола и Джонс разработали алгоритм, позволяющий обнаруживать объекты очень надежно и в режиме реального времени. Данный алгоритм использует примитивы Хаара, для определения вероятности нахождения объекта в данной области. Использование интегрального представления изображения позволяет сильно ускорить процесс вычисления примитивов Хаара, простые признаки усиливаются при помощи технологии AdaBoost (Adaptive Boosting), а каскадная архитектура классификатора позволяет быстро отбрасывать окна, в которых отсутствует объект интереса. Также нельзя не отметить активное применение нейронных сетей в области компьютерного зрения. К примеру, в задаче детекции и распознавания дорожных знаков часто применяется свёрточная архитектура нейронных сетей, предложенная Яном Лекуном в 1988 году [18]. Идея данных многослойных сетей основана на выполнении многократной операции свертки между изображением и ядром свертки. Они предназначены для выделения абстрактных понятий изображения, при этом сами эти понятия выстраиваются в процессе обучения сети. Нейронные сети являются мощным инструментом в области компьютерного зрения. В качестве объекта интереса могут выступать различные классы предметов. Однако нейронные сети, как правило требуют больших вычислительных затрат, особенно на этапе обучения. В связи с этим, в данной работе было решено использовать метод Виолы-Джонса. 1.2. Метод Виолы-Джонса Метод Виолы-Джонса – алгоритм, позволяющий обнаруживать объекты на изображениях в реальном времени. Предложен в 2001 году Paul Viola и Michael Jones [24]. Этот детектор обладает высокой скоростью обнаружения и крайне низкой вероятностью ложного срабатывания. Алгоритм хорошо работает и распознает под небольшим углом, примерно до 30 градусов. При угле наклона больше 30 градусов процент обнаружений резко падает [11]. Основные принципы, на которых основан метод: используются признаки Хаара [24], с помощью которых происходит поиск нужного объекта; используются интегральное представление изображения, что позволяет быстро вычислять быстро необходимые признаки; отдельные признаки Хаара объединяются в единый алгоритм при помощи технологии бустинга (от англ. boost – улучшение, усиление) для выбора, наиболее подходящего на данном участке изображения признака; используются каскады признаков для быстрого отбрасывания окон, где не найден объект. Данный алгоритм не теряет своей популярности. К примеру, в 2002 году был предложен расширенный набор признаков Хаара [19]. Реализация каскадного классификатора в библиотеке OpenCV содержит, как базовые признаки, так и расширенный набор. В работе [8] 2017 года рассматриваются различные алгоритмические улучшения подхода Виолы-Джонса. 1.3. Обработка изображения на основе информации о цвете объекта интереса Классификатор Виолы-Джонса предназначен для работы с изображениями в оттенках серого. Данное ограничение может приводить к ложным срабатываниям в случае повторяющихся форм объектов. Для уменьшения вероятности ложных срабатываний можно применить пороговую фильтрацию в цветовых пространствах HSL (Hue-Saturation- Lightness, тон-насыщенность-светлота) или HSV (Hue-Saturation-Value, тон- насыщенность-яркость). Отображение данных цветовых пространист приведено на рисунке 3: Рисунок 3 Представление цветовых пространств HSV и HSL в форме цилиндра К примеру, для выделения области желтого цвета можно ограничить только значение показатель тона, что сделает данный пороговый фильтр менее чувствительным к освещенности изображения. А при поиске областей белого или черного цвета необходимо ограничить уровень светлоты изображения. 1.4. Алгоритмы определения расстояния до объекта Т.к. в рамках данной работы кроме вопроса обнаружения средств железнодорожного регулирования рассматривается задача валидации их местоположения, то кроме поиска объекта интереса на снимке необходимо определить его расположение относительно камеры. В общем случае информации на фото снимке (видео кадре) не достаточно для вычисления расстояний до объектов. В связи с этим существует несколько подходов к решению данной задачи. Использование двух камер. Пример такой системы можно найти в [7]. Основная идея данного подхода заключается в том, чтобы поставить в соответствие точки двух снимков с разных камер и по известным углам направления оси камер и расстоянию между камерами произвести расчет расстояния до объекта. Данных подход предполагает, что камеры находятся на достаточном удалении. Это необходимо для минимизации влияния погрешности определений углов на объект. Также стоит отметить, что использование двух камер увеличивает стоимость системы. К плюсам данной системы можно отнести возможность вычисления расстояний сразу до нескольких объектов в один момент времени. Видео камера и лазерный дальномер. При использовании данного подхода камера используется в качестве устройства определения углов на точку интереса. Направление на данную точку передается на дальномер, и с его помощью вычисляется расстояние до данной точки. При применении данного подхода возникает необходимость регулярной настройки дальномера на точку интереса. Это приводит к невозможности параллельных измерений нескольких объектов и существенно снижает скорость анализа. Однако, данный подход является достаточно точным и используется при необходимости проведения точных расчетов расстояния до единичных объектов. Одна камера и объект с известными размерами. В данном случае объект с известными размерами (контрольный объект) должен находится как можно ближе к объекту интереса. На изображении камеры вычисляется размер контрольного объекта в пикселях. Далее расстояние можно вычислить по формуле: 𝐿 = 𝐷 ∗ 𝑘 𝑀 , где k - постоянный коэффициент (зависит от характеристик камеры), M – в пикселях, D - реальный размер объекта. В контексте данной работы был выбран третий подход, т.к. он является менее дорогим в реализации. В то же время, железнодорожная колея может быть применена в качестве объекта с известными параметрами. 1.5. Выделение линий на изображении Для выделения железнодорожной колеи воспользуемся методом Кенни [11] с оператором Собеля [23] для детекции границ и обобщенным методом Хафа [14, 9] для выделения прямых линий. Метод Кенни выделения границ реализует следующие этапыЖ 1. Сглаживание. К изображению применяется размытие Гаусса для удаления шума. 2. Поиск градиентов. В каждой точке изображение определяется направление градиента и его значение по модулю. В качестве границы выбираются пиксели с максимальным значением модуля градиента. 3. Подавление немаксимумов. Данный термин был введен Кенни в работе [11]. Он обозначает, что только локальные максимумы могут быть объявлены контуром на изображении. 4. Двойная пороговая фильтрация. При фильтрации немаксимумов используется два значения порогов. Первый предназначен для уменьшения влияния шумов, второй для сохранения непрерывности границ в случае неравномерного распределения градиента. Приближенное вычисление градиентов может производится при помощи оператора Собеля. Для вычисления компонент по осям x и y производится свертка с двумя операторами: 𝐺 𝑥 = [ −1 0 +1 −2 0 +2 −1 0 +1 ] ∗ 𝐴, 𝐺 𝑦 = [ −1 −2 −1 0 0 0 +1 +2 +1 ] ∗ 𝐴 Далее модуль и направление градиента вычисляются по следующим формулам: 𝐺 = √𝐺 𝑥 2 + 𝐺 𝑦 2 , 𝜃 = arctan ( 𝐺 𝑥 𝐺 𝑦 ) На следующем рисунке приведен пример выделения границ описанным алгоритмом. а – начальное изображение; б – результат свертки с оператором 𝐺 𝑥 ; в – результат свертки с оператором 𝐺 𝑦 ; г – результирующее изображение после обработки пороговым фильтром. а б в г Рисунок 4 Визуализация процедуры выделения границ при помощи операторов Собеля 1.6. Метод Хафа Преобразование Хафа [14, 9], — алгоритм, применяемый для извлечения элементов из изображения, и предназначен для поиска объектов, принадлежащих определённому классу фигур с использованием процедуры голосования. Процедура голосования применяется к пространству параметров, из которого и получаются объекты определённого класса фигур по локальному максимуму в, так называемом, накопительном пространстве (accumulator space), которое строится при вычислении трансформации Хафа. В простейшем случае преобразование Хафа является линейным преобразованием для обнаружения прямых. Прямая может быть задана с помощью других параметров, известных как ρ и θ (ρ, θ). Параметр ρ — это длина радиус-вектора ближайшей к началу координат точки на прямой, а θ — это угол между этим вектором и осью абсцисс. Таким образом, уравнение прямой можно записать как: 𝑦 = (− cos 𝜃 sin 𝜃 ) 𝑥 + ( 𝜌 sin 𝜃 ) или после преобразования: 𝜌 = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃 Поэтому возможно связать с каждой прямой на исходном изображении (в плоскости X-Y) точку с координатами (ρ, θ), где 𝜃 ∈ [0; 𝜋] и 𝜌 ∈ 𝑹, или что где 𝜃 ∈ [0; 2𝜋] и 𝜌 > 0. Плоскость (ρ, θ) иногда называется Пространством Хафа для множества прямых в 2-мерном случае. Через каждую точку плоскости может проходить бесконечно много прямых. Если эта точка имеет координаты (𝑥 0 , 𝑦 0 ), то все прямые, проходящие через неё, соответствуют уравнению: 𝜌(𝜃) = 𝑥 0 cos 𝜃 + 𝑦 0 sin 𝜃 Что соответствует синусоидальной линии в пространстве Хафа (ρ, θ). Если эти синусоиды пересекаются, то данная точка (в пространстве Хафа), соответствует прямым (в оригинальном месте изображения), которые проходят через обе точки, т.е. совпадают. Таким образом, проблема обнаружения коллинеарных точек может быть сведена к проблеме обнаружения пересекающихся кривых. Визуальное представление преобразование Хафа приведено на рисунке 5. Точки пространства параметров с наибольшим количеством пересечений принимаются в качестве характеристических точек исследуемых прямых. Рисунок 5 Визуальная интерпретация преобразования Хафа 1.7. Фильтр Калмана Фильтр Калмана – рекурсивный фильтр, оценивающий вектор состояния динамической системы на основе защумленных данных [15, 2]. В ситуации работы с техническими системами возникает вопрос корректного оценивания вектора состояния системы. Задачу наблюдения динамической системы записывается следующим образом: { 𝑥̇(𝑡) = 𝐴(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) + 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡), 𝑡 0 ≤ 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝐶(𝑡)𝑥(𝑡) (1) Где 𝑥(𝑡) – n-мерный неизвестный вектор состояния системы, 𝑢(𝑡) – p- мерный известный вектор управления и 𝑦 – вектор выходных величин. Требуется определить оценку 𝑥̃(𝑡). Рассмотрим 2 случайных велиины 𝜉(𝑡) – внутренние возмущения системы и 𝜂(𝑡) – погрешность измерения. В таком случае система (1) может быть приведена к виду: { 𝑥̇(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡) + 𝜉(𝑡), 𝑡 0 ≤ 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝐶(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝜂(𝑡) (2.1) Или в дискретном случае: { 𝑥 𝑘+1 = 𝐴 𝑘 𝑥 𝑘 + 𝐵 𝑘 𝑢 𝑘 + 𝜉 𝑘 𝑦 𝑘 = 𝐶 𝑘 𝑥 𝑘 + 𝜂 𝑘 (2.2) При этом: 𝑢 𝑘 — известная переменная шага k; 𝜉 𝑘 , 𝜂 𝑘 — случайные величины. И их законы распределения не зависят номера шага k; Математические ожидания ошибок равны: 𝐸𝜉 𝑘 = 𝐸𝜂 𝑘 = 0; Как правило, известны их дисперсии: 𝜎 𝜉 2 и 𝜎 𝜂 2 ; Предполагается, что все случайные ошибки независимы друг от друга. Для вычисления оценки вектора состояния применяется следующая формула: 𝑥̃ 𝑘+1 = 𝑲 𝑘+1 𝐶 𝑘 𝑦 𝑘+1 + (1 − 𝑲 𝑘+1 )(𝐴 𝑘 𝑥̃ 𝑘+1 + 𝐵 𝑘 𝑢 𝑘 ) (3) Коэффициент |