К.р. №1 5 вариант. Решение 1 Длина ребра численно равна расстоянию между точками и, которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле
![]()
|
Задача 5. Даны 4 вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение Базисом в пространстве ![]() ![]() Значит, векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определитель ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Имеем: ![]() ![]() ![]() Значит, ![]() Задача 15.Даны координаты вершин пирамидыА1А2 А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани пирамиды А1А2 А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2 А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2 А3. Сделать чертеж. ![]() ![]() ![]() ![]() Решение 1) Длина ребра ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, вычисляем: ![]() 2)Угол между ребрами ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Находим: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поэтому ![]() ![]() 3) Угол между ребром ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() ![]() Отсюда получаем, что ![]() 4) Площадь грани ![]() ![]() 5) Объем пирамиды ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, ![]() 6) Для составления уравнений прямой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде ![]() ![]() т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей. 7) Для составления уравнения плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 8) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() A 1 X Z Y A 2 A 3 A 4 Задача 25. Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку ![]() Решение Обозначим произвольную точку искомой линии как ![]() ![]() ![]() ![]() Значит, ![]() ![]() Уравнение параболы. Задача 35. Доказать совместимость данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления: ![]() Решение Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель: ![]() Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. 1) При решении системы линейных уравнений методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей. Составим расширенную матрицу системы: ![]() Теперь приведём её путем элементарных преобразований к треугольному или трапециевидному виду. Для этого прибавим к 3ей строке 1ю, умноженную на ![]() ![]() ![]() Ко 2й строке прибавим 3ю, умноженную на (-7) и переставим местами 2-ю и 3-ю строки, получим ![]() Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система совместна и имеет единственное решение. Она сводится к эквивалентной системе линейных уравнений ![]() Отсюда, подставляя ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2) Определитель основной матрицы системы ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, обратная матрица к основной матрице системы имеет вид ![]() Проверим правильность вычисления обратной матрицы: исходя из определения обратной матрицы, находим ![]() Значит, матричное решение системы имеет вид ![]() Отсюда следует, что ![]() ![]() ![]() Задача 45. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений. ![]() Решение Находим ранг матрицы: ![]() Отсюда ![]() Таким образом, в данной системе линейных уравнений 2 зависимых и ![]() ![]() ![]() Итак, общее решение однородной системы линейных уравнений ![]() Отсюда следует, что вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 55. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей: ![]() Решение Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни: ![]() ![]() Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А. При ![]() ![]() ![]() Значит, собственному значению ![]() ![]() Здесь х3 – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным единице, получим собственный вектор в виде ![]() Аналогично при ![]() ![]() ![]() Значит, собственному значению ![]() ![]() Здесь х2 – произвольное действительное число, не равное нулю. Соответствующий собственный вектор имеет вид ![]() Аналогично при ![]() ![]() ![]() Значит, собственному значению ![]() ![]() Приняв ![]() ![]() Таким образом, матрица А имеет три собственных значения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 65. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм: ![]() Решение Составим матрицу данной квадратичной формы ![]() ![]() Корнями характеристического уравнения являются числа ![]() ![]() ![]() ![]() Нормируя собственные векторы, получим ![]() ![]() Матрица перехода Т к новому базису имеет вид ![]() Вводим замену переменных ![]() Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой: ![]() ![]() После преобразования выражения получили ![]() Разделим на 15 правую и левую части полученного уравнения: ![]() ![]() Полученное уравнение является уравнением эллипса с полуосями ![]() |