К.р. №1 5 вариант. Решение 1 Длина ребра численно равна расстоянию между точками и, которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле
 Скачать 277.9 Kb.
|
Задача 5. Даны 4 вектора  , , и  в некотором базисе. Показать, что векторы  образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.Решение Базисом в пространстве  являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим: Значит, векторы  некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде , где  координаты вектора в базисе  , и найдем  .Определитель  найден выше:  . ;  ;  .Имеем:  ;  ;  .Значит,  .Задача 15.Даны координаты вершин пирамидыА1А2 А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани пирамиды А1А2 А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2 А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2 А3. Сделать чертеж.  ;  ;  ;  .Решение 1) Длина ребра  численно равна расстоянию между точками  и  , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле ,где  координаты точки  ,  координаты точки  .Таким образом, вычисляем:  .2)Угол между ребрами  и  вычисляется по формуле  из скалярного произведения векторов  и  .Находим:  ;  ; ; ; .Поэтому  , .3) Угол между ребром и плоскостью  – это угол между вектором  и его ортогональной проекцией  на грань .Вектор  перпендикулярен грани  , что вытекает из определения векторного произведения векторов и   Вектор  перпендикулярен грани  , что вытекает из определения векторного произведения векторов  и   :  Здесь  ,  . Находим: .Отсюда получаем, что  .4) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения: .5) Объем пирамиды  численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , ,, котороенаходится по формуле  .Таким образом,  .6) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой:  , где  координаты точки  , координаты точки  . Тогда  .В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде  или  т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей. 7) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки, координаты точки, координаты точки . .8) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой  , где  точка, лежащая на искомой прямой;  координаты вектора  , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки  возьмем точку  , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е.  . Имеем  .A 1 X Z Y A 2 A 3 A 4 Задача 25. Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку  .Решение Обозначим произвольную точку искомой линии как  . Тогда по условию получаем, что , где Р –точка на оси абсцисс.P(x;0) Находим:  ;  .Значит,  . Возводя обе части этого соотношения в квадрат, получаем уравнение линии  .Уравнение параболы. Задача 35. Доказать совместимость данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:  Решение Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель:  .Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. 1) При решении системы линейных уравнений методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей. Составим расширенную матрицу системы:  .Теперь приведём её путем элементарных преобразований к треугольному или трапециевидному виду. Для этого прибавим к 3 ей строке 1 ю, умноженную на  , ко 2 ой строке прибавим 3 ю, умноженную на . Получим:  .Ко 2 й строке прибавим 3 ю, умноженную на (-7) и переставим местами 2-ю и 3-ю строки, получим  .Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система совместна и имеет единственное решение. Она сводится к эквивалентной системе линейных уравнений  Отсюда, подставляя  во второе уравнение, получим  , а из первого уравнения  . Итак, , , .2) Определитель основной матрицы системы , значит, система совместна и для матрицы коэффициентов существует обратная матрица. Находим решение по формуле  или ,где  ,  алгебраические дополнения элементов  матрицы А:         Таким образом, обратная матрица к основной матрице системы имеет вид  .Проверим правильность вычисления обратной матрицы: исходя из определения обратной матрицы, находим  Значит, матричное решение системы имеет вид  Отсюда следует, что , , .Задача 45. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.  Решение Находим ранг матрицы:  Отсюда  .Таким образом, в данной системе линейных уравнений 2 зависимых и  независимая переменные. Перенося слагаемые с х3и х4 в правую часть (базисный минор образован коэффициентами при х1, х2), по последней матрице записываем систему -базисный минор Итак, общее решение однородной системы линейных уравнений  Отсюда следует, что вектор  и являются решениями однородной системы . Обозначив произвольную константу х3 через  ,а х4через  , получим общее решение системы в виде .Задача 55. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:  Решение Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:   Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А. При  система  имеет вид: Значит, собственному значению  соответствует собственный вектор .Здесь х3 – произвольное действительное число, не равное нулю. Положив его, в частности, равным единице, получим собственный вектор в виде  .Аналогично при  система имеет вид: Значит, собственному значению  соответствует собственный вектор .Здесь х2 – произвольное действительное число, не равное нулю. Соответствующий собственный вектор имеет вид  .Аналогично при  система имеет вид: Значит, собственному значению  соответствует собственный вектор .Приняв  , получим собственный вектор в виде  .Таким образом, матрица А имеет три собственных значения ,  ,  , а собственные векторы имеют вид;;Задача 65. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм:  .Решение Составим матрицу данной квадратичной формы  и найдём её собственные значения: .Корнями характеристического уравнения являются числа  и  . Им соответствуют собственные векторы  и  .Нормируя собственные векторы, получим  и  .Матрица перехода Т к новому базису имеет вид  .Вводим замену переменных  Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:  После преобразования выражения получили  ,Разделим на 15 правую и левую части полученного уравнения:  в системе координат  .Полученное уравнение является уравнением эллипса с полуосями  | ||||||
