Контрольная работа по теме Пределы вариант 10. контрольная работа по теме Пределы вариант 10. Решение а б Найдем аналитические координаты вектора

• Название: Решение а б Найдем аналитические координаты вектора
• Анкор: Контрольная работа по теме Пределы вариант 10
• Дата: 08.03.2022
• Размер: 456.5 Kb.
• Имя файла: контрольная работа по теме Пределы вариант 10.docx
• Тип: Решение; #386482

Контрольная работа, вариант 10.

Задание 1.

Даны точки :

а) построить вектор и разложить его в базисе ( ; );

б) найти аналитические координаты вектора . Сравнить результаты с полученными в пункте а;

в) составить общее уравнение прямой, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору .



Решение.

а)



б) Найдем аналитические координаты вектора











Аналитический способ решения привел к тем же результатам, что и графический.

в) ;

Найдем уравнение прямой по точке и вектору нормали, которое задается формулой

Составим при А=2, В= 6 уравнение прямой: .

Для нахождения коэффициента С подставим координаты точки в полученное выражение:

2∙5 6∙ 6+С=0

10 36+С=0

26+С=0

С=26

Искомое уравнение прямой имеет вид:



Ответ:
Задание 2

Найти пределы:

а) ; б)

Решение.

а)

При непосредственной подстановке числа 2 в функцию получим неопределенность вида , т.к. .

Разложим числитель и знаменатель на множители:



находим дискриминант D=b² 4ac=9 4∙2=1

находим корни x₁= ; х₂₌

т.обр.



Получаем:



Ответ:
б)

Решение.

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень



Т.к. , и стремятся к 0, то получим .

Ответ:
Задание 3.

3.1 Найти производную заданной функции:



Решение.

Применяем правило дифференцирования частного



Ответ:
3.2 Исследовать функцию на экстремумы и интервалы монотонности:



Решение.

а) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.

б) Находим критические точки







D= b² 4ac=4 4∙( 3)=16

x₁=

x₂=

в) Проверяем достаточное условие экстремума



Определяем знаки производной:

• 
  на интервале ( ), возьмем произвольную точку интервала, подставив в производную, получим
  

а значит, функция положительна и в каждой точке интервала (функция возрастает);

• 
  на интервале ( ), возьмем произвольную точку интервала, подставив в производную, получим
  

а значит, функция отрицательна и в каждой точке интервала (функция убывает);

• 
  на интервале ( ), возьмем произвольную точку интервала, подставив в производную, получим
  

а значит, функция положительна и в каждой точке интервала (функция возрастает);

г) При переходе через точку х= 1 производная меняет знак с «+» на « » и функция достигает максимума:



При переходе через точку х=3 производная меняет знак с « » на «+» и функция достигает минимума:



Ответ: функция возрастает на интервалах ( ), ( ) и убывает на интервале ( ); в точке х= 1 функция достигает максимума: у( 1)=17, а в точке х=3 – минимума: у(3)= 47.
Задание 4.

Взять неопределенный интеграл методом прямого интегрирования:



Решение.

Перепишем подынтегральное выражение:



Упростим выражение



Интеграл суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции в отдельности



Ответ: .
Задание 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (чертеж обязателен):



Решение.



Найдем точки пересечения заданных линий. Для этого решим систему уравнений:



Для нахождения абсцисс точек пересечений заданных линий решим уравнение: или . Находим корни:

D= b² 4ac=

x₁=

x₂=

Данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках . Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляется по формуле:



Подставляем значения:



Ответ:

Задание 6.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:



Решение.

Найдем определитель системы:



Определитель не равен 0, следовательно, система является определенной. Для нахождения её решения вычислим определители при неизвестных:




По формулам Крамера найдем:




Ответ: