Контрольная работа по математике. Решение а. Используем метод интегрирования частями б. Используем метод замены переменной
 Скачать 286.91 Kb.
|
|
1. Найти неопределенный интеграл. а).  ; б).  ; в).  ; г).  .Решение. а). Используем метод интегрирования частями:    .б). Используем метод замены переменной:   .в). Используем метод интегрирования частями:   .г).     .Разложим последнее подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, используя общий метод разложения.  .Освобождаемся от знаменателей:  ;  .Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х левой и правой части, получим:  ;  ;  ;  ;  .Итак,  ;  .2. Вычислить по формулам Ньютона-Лейбница определённый интеграл: а).  ; б).  .Решение. а). Найдем сначала соответствующий неопределённый интеграл, используя метод интегрирования частями:    Используя формулу Ньютона-Лейбница, получим:    .б).   .3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  ,  ,  и  Решение. Сделаем схематический чертеж указанной фигуры, ограниченной гиперболой или  и прямыми , , : Площадь фигуры (закрашенной на чертеже) будем искать по соответствующей формуле через определенный интеграл, и именно  , где  – функция, график которой ограничивает фигуру сверху,  – функция, график которой ограничивает фигуру снизу.Тогда, получим:  4. Найти полный дифференциал функции  .Решение. Находим частные производные первого порядка:  ; .По соответствующей формуле запишем полный дифференциал функции:  .5. Исследовать функцию  на экстремумы.Решение. Сначала найдем все частные производные первого порядка:  и  . Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений:  ;  ;  ;  ;  .Решению системы уравнений соответствует одна стационарная точка:  .Найдем частные производные второго порядка указанной функции:  ;  ;  .Следовательно, вторые производные постоянные величины, т.е. в стационарной точке они равны  ,  ,  и вычисляем дискриминант  .Дискриминант имеет положительное значение, следовательно, экстремум в точке есть и, поскольку  , то функция здесь имеет локальный минимум.Вычислим минимальное значение функции в точке : .Следовательно, в точке функция имеет минимум равный -67.6. Найти общее решение дифференциального уравнения  и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям  при  .Решение. Для решения уравнения используем метод Бернулли. Положим  ; тогда  . Подставив выражения  и  в исходное уравнение, получим: или  .Считая, что неизвестная функция является произведением двух (также неизвестных) функций  и  , мы тем самым можем одну из этих функций выбрать произвольно. Поэтому приравняем нулю коэффициент при :  .Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем:  ;  ; ;  ;  .Снова в виду произвольности в выборе мы можем не учитывать произвольную постоянную  (точнее – можем приравнять её к нулю), т.е.  Найденное значение подставляем в уравнение : ;  ; ;  ;  ;  (здесь писать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение).Тогда, окончательно получим:  – общее решение уравнения.Используя начальное условие, получим:  ;  ;  Следовательно,  – частное решение.7. а). Найти общее решение уравнения  и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям   при .б). Найти общее решение уравнения  .Решение. а). Имеем случай понижения порядка – отсутствует переменная у. Вводим замену  :  .Заменяя  на  , получим: ;  ; ; .Возвращаясь к замене, получим:  ;  ;  ; ; .Решим отдельно интеграл  : .Тогда, получим:  ;  – общее решение уравнения.Используя начальное условие, находим постоянные  и  :1).    ;  ;  ;2).   ;  .Итак,  ;  – частное решение.б). Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:  ;  ;  ,  – два неравных действительных корня.Тогда, получим общее решение уравнения без правой части:  .Уравнение с правой частью имеет частное решение вида:  .Находим коэффициенты  и  , используя метод неопределенных коэффициентов.  ;    .Подставляя найденные значения в исходное уравнение, получим:  ; ; .Приравнивая одинаковые коэффициенты, получим:  ;  ;  ;  ;  ; .Тогда, запишем частное решение:  .Полное решение заданного уравнения:  .8. Найти область сходимости ряда  .Решение. Здесь  ,  .Далее, используя признак Даламбера, ищем предел:  .И определяем, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство:  ;  .Границы найденного интервала исследуем особо. При получим числовой знакочередующейся ряд  , который сходится по признаку Лейбница: модуль общего члена стремится к 0 –  и члены ряда убывают по абсолютному значению с увеличением порядкового номера.При  получим числовой положительный ряд  . Используем предельный признак сравнения. Для этого сравним данный ряд с известным расходящимся гармоническим рядом  .Тогда, получим:  . Поскольку получили конечный ненулевой предел, то заданный ряд также расходится.Следовательно, область сходимости есть –  .9. С точностью до 0,001 вычислить  .Решение. Используя известное разложение функции  в степенной ряд:  разложим подынтегральную функцию в соответствующий ряд подставив вместо  выражение  .Тогда, получим:  ;  .Проводим соответствующие вычисления с заданной точностью:  ,  ; ;  ; ;  ; .Поскольку  (заданная точность удовлетворяется), то  . |