математика кр. Решение а Матрица коэффициентов прямых затрат а и вектор конечной продукции имеют вид A 3 5 B200
 Скачать 322.58 Kb.
|
|
Вариант 1 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Задача 1 Модель межотраслевого баланса. В таблице 1 приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период, усл. Ед.. Отрасль Потребление Конечный продукт Промышленность Сельское хозяйство Производство Промышленность a b t Сельское хозяйство c d f Найти: а) плановые объемы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую прибыль отраслей; б) необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличится на k%, а промышленности на l%. Вариант1 a=0,3 b=0,5 c=0,5 d=0,3 t=200 f=300 k=20 l=30 Решение: а) Матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции имеют вид: A={0.3 0.5 B={200 0.5 0.3} 300} Найдем матрицу Е-А, где E={1 0 - единичная матрица. 0 1} E-A={1-0.3 -0.5= {0.7 -0.5 -0.5 1-0.3} -0.5 0.7} Матрица полных затрат Вычисляем вектор валового продукта Межотраслевые поставки Чистой продукцией отраслей называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство этой отрасли. а) По условию вектор конечного потребления продукции промышленности увеличивается на 30% , а сельского хозяйства на 20%: Тогда вектор валового продукта будет равен Таким образом, вектор в промышленности нужно увеличить до 1508 усл. ед. , а в сельском хозяйстве до 1592 усл.ед. Задача 2 Выяснить, образуют ли векторы и базис. Если образуют, разложить вектор по этому базису. Решение: Векторы образуют базис, если они линейно независимы (не компла-нарны) , значит определитель, составленный из координат этих векторов не равен 0: Данная система векторов не образует базис (линейно зависимая система векторов) Разложение вектора по базису не возможно. Задача 3 Построить фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы алгебраических уравнений. Решение: – ранг матрицы Выделенный минор (для поиска ранга матрицы имеет наивысший порядок) Ран матрицы равен 3. В него вошли коэффициенты (базисные), а - свободный коэффициент. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Задача 1 Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются уравнениями p=ax+b и q=cx+d. Найти точку рыночного равновесия и построить линии. Найти точку равновесия после введения налога, равного f. Найти увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж. вариант а b c d f б -2 12 1 3 3 Решение: Точка рыночного равновесия М: M(3;6) 3 6 Е сли введен налог 3, то система уравнений для новой точки равновесия меет вид 4 4 Получена новая точка равновесия М(4;4). Следовательно, после введения налога равновесная цена увеличилась на 1 единицу, а равновесный объем увменьшился на 2 единицы. Задача 2 Даны координаты точек . Найти: 1) найти длину ребра AB; 2) уравнение плоскости, проходящей через точки 3) уравнение высоты опущенной из точки D на плоскость ABC; 4) площадь грани АВС 5) объем пирамиды АВСD Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; Например, для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1 X = 4-2; Y = -1-3; Z = -2-2 AB(2;-4;-4) AC(4;0;-4) 1) найти длину ребра AB; 2) уравнение плоскости, проходящей через точки Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1 = 0 Уравнение плоскости ABC Уравнение плоскости ABC x-2 y-3 z-2 2 -4 -4 4 0 -4 = 0 (x-2)((-4)·(-4)-0·(-4)) - (y-3)(2·(-4)-4·(-4)) + (z-2)(2·0-4·(-4)) = 16x - 8y + 16z-40 = 0 Упростим выражение: 2x - y + 2z-5 = 0 3) уравнение высоты опущенной из точки D на плоскость ABC; Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: Уравнение плоскости ABC: 2x - y + 2z-5 = 0 4) площадь грани АВС Площадь грани ABC Векторное произведение: i j k 2 -4 -4 4 0 -4 = =i((-4)·(-4)-0·(-4)) - j(2·(-4)-4·(-4)) + k(2·0-4·(-4)) = 16i - 8j + 16k 5) объем пирамиды АВСD Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен: X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 2 -4 -4 4 0 -4 -7 -7 6 где определитель матрицы равен: ∆ = 2*(0*6-(-7)*(-4))-4*((-4)*6-(-7)*(-4))+(-7)*((-4)*(-4)-0*(-4)) = 40 Задача 3 Построить линии. Указать элементы кривых. а) 3 б) в) г) д) Решение: а) Полуоси эллипса: Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке: C(0; 0) Найдем координаты фокусов F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами Итак, фокусы эллипса: Тогда эксцентриситет будет равен: Вследствие неравенства c < a эксцентриситет эллипса меньше 1. эллипс б) Полуоси гиперболы: Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке: C(0; 0) Найдем координаты фокусов F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами Определеим параметр Итак, фокусы гиперболы Тогда эксцентриситет будет равен: Асимптотами гиперболы будут прямые: и Директрисами гиперболы будут прямые: гипербола в) Получили уравнение параболы: (y - y0)2 = 2p(x - x0) Ветви параболы направлены вниз (p<0), вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (0;0) Параметр p = 1/6 Координаты фокуса: Уравнение директрисы: y = y0 - p/2 y = 0 - -1/12 =1/12 Парабола г) Исходное уравнение определяет окружность с центром в точке О(4;-1) и радиусом Вследствие равенства a = b = R, c = 0 эксцентриситет окружности равен 0. Окружность д) Получили уравнение пары мнимых пересекающихмя прямых: Точка ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Задача 1 Фиксированные издержки составляют а тыс. руб. в месяц, переменные издержки –b руб., выручка –– c руб. за единицу продукции. Составить функцию прибыли и построить ее график. Установить положение точки безубыточности. вариант а b c б 10 30 50 Решение: 500 Таким образом, прибыль При малых значениях х прибыль отрицательна, т.е. производство убыточно. При увеличении х прибыль возрастает, в точке х = 500 она обращается в ноль и после этого становиться положительной. Задача 2 В задачах найти указанные пределы. а) б) в) г) д) е) Решение: а) б) в) г) д) е) Задача 3 Для каждой из заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер. Решение: Функция является неопределенной в точке x = -5 Функция терпит разрыв второго рода в точке x = -5 Список литературы Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике, М., АСТ Астрель, 2008. – 345 с. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре, М., Наука, 2011. – 213 с. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: Учебник для вузов. - М.: Физматкнига Лань, 2011. – 321 с. Романова О. А. Математический анализ Справочное пособие для студентов экономических специальностей Иркутск 2009 . - Режим доступа http://matan.isu.ru/matan/. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2011. -697 с. |