Белоусов. Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43
 Скачать 491.18 Kb.
|
|
ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И. В. БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519.612 (075) B – 43 Белоусов И. В. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ: учебное пособие по линейной алгебре. / Кишинев: 2006/. Данное пособие предназначено для учащихся лицеев, колледжей и студентов нематематических факультетов университетов, изучающих линейную алгебру. По- дробное изложение рассматриваемого в пособии материала, детальное доказатель- ство всех без исключения теорем, следствий и замечаний сопровождается большим количеством примеров, приводимых с решениями. Все это делает пособие доступ- ным для понимания неподготовленным читателем. Для его чтения достаточно зна- ния лишь элементарной математики. Редактор: член–корреспондент АН РМ В. И. Арнаутов c И. В. Белоусов, 2006 Оглавление 1 Основные сведения о матрицах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Операции над матрицами и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Умножение матрицы на число . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Сложение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Вычитание матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Умножение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Возведение в степень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Транспонирование матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Определители квадратных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4 Свойства определителей 35 4.1 Операция транспонирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Перестановка строк и столбцов 37 4.3 Линейность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4 Определитель произведения матриц . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 Миноры и алгебраические дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6 Вычисление определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1 Приведение определителя к треугольному виду . . . . . . . . 52 6.2 Понижение порядка определителя . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7 Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.1 Необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы 59 7.2 Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных пре- образований строк . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.3 Нахождение обратной матрицы методом Жордана–Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.4 Свойства невырожденных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8 Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 9 Линейная зависимость строк и столбцов матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 10 Теорема о базисном миноре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11 Подсчет ранга матрицы и нахождение базисного минора . . . . . . . 91 3 Моему учителю математики Николаю Александровичу Максимову посвящаю эту книгу. Автор 1 Основные сведения о матрицах Определение Матрицей A размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, функций или алгебраических выражений, содержащая m строк и n столб- цов. Числа m и n определяют размер матрицы. Условимся обозначать матрицы прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, . . . . Числа, функции или алгебраические выражения, образующие матрицу, называются матричными эле- ментами. Будем обозначать их строчными буквами с двумя индексами. Первый индекс i=1,2,. . . ,m указывает номер строки, а второй индекс j=1,2,. . . ,n — номер столбца, в которых располагается соответствующий элемент. Таким образом, A m×n = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n a m 1 a m 2 . . . a mn (1.1) Здесь и в некоторых последующих формулах под символом матрицы указан ее раз- мер. Часто используется обозначение A = (a ij ) матрицы (1.1), в котором i=1,2,. . . ,m и j=1,2,. . . ,n. Определение Две матрицы A и B одинакового размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т. е. a ij = b ij для всех i=1,2,. . . ,m и j=1,2,. . . ,n. Определение Матрица A = (a 11 a 12 . . . a 1n ), состоящая из одной строки, на- зывается матрицей–строкой, а матрица B = b 11 b 21 b m 1 , состоящая из одного столбца, — матрицей–столбцом. Определение Матрица называется квадратной n–го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n: A n×n = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n a n 1 a n 2 . . . a nn 4 Пример 1.1 A = 1 2 3 0 −3 −2 5 4 −5 — квадратная матрица третьего порядка. Определение Матричные элементы a ii квадратной матрицы A n×n называются диагональными (i = 1, 2, . . . , n). Определение Последовательность a 11 , a 22 , . . . , a nn диагональных матричных элементов образует главную диагональ квадратной матрицы, идущую из ее левого верхнего угла в правый нижний угол. Последовательность a n 1 , a (n−1)2 , . . . , a 1n матричных элементов образует побочную диагональ квадратной матрицы, идущую из ее левого нижнего угла в правый верхний угол. Определение Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, т. е. a ij = 0 при i 6= j, то такая матрица называется диагональной. Пример 1.2 A = 4 0 0 −8 — диагональная матрица второго порядка, A = 1 0 0 0 −3 0 0 0 2 — диагональная матрица третьего порядка. Определение Если у диагональной матрицы n–го порядка E все диагональ- ные элементы равны единице, то такая матрица называется единичной матрицей n–го порядка. Пример 1.3 E = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 — единичная матрица третьего порядка. Определение Матрица любого размера называется нулевой, или нуль–ма- трицей, если все ее элементы равны нулю: O m×n = 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 В отличие от чисел, где число 0 единственно, нулевых матриц бесконечно мно- го, т. к. каждому размеру матриц соответствует нулевая матрица этого размера. 5 2 Операции над матрицами и их свойства 2.1 Умножение матрицы на число Определение Произведением λA матрицы A = (a ij ) на число λ называется матрица B = (b ij ), элементы которой b ij = λa ij для всех i=1,2,. . . ,m и j=1,2,. . . ,n. Пример 2.1 Если A = 1 2 3 5 4 −5 , то 3A = 3 6 9 15 12 −15 Следствие Общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы. Пример 2.2 15 5 0 20 −5 0 30 15 40 = 5 3 1 0 4 −1 0 6 3 8 2.2 Сложение матриц Определение Суммой A + B двух матриц A = (a ij ) и B = (b ij ) одинакового размера m × n называется матрица C = (c ij ), элементы которой c ij = a ij + b ij для всех i=1,2,. . . ,m и j=1,2,. . . ,n. Пример 2.3 1 4 3 8 −3 2 + 3 1 1 4 −1 0 = 4 5 4 12 −4 2 Согласно правилу сложения матриц A+O = A, где A — произвольная матрица, а O — нулевая матрица того же размера, что и A. 6 2.3 Вычитание матриц Определение Разность A − B двух матриц одинакового размера определя- ется с помощью операции умножения матрицы B на число −1 и последующего сложения матриц A и (−1) B, т. е. A − B = A + (−1)B . Некоторые свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами. В частности, из определений операций умножения мат- рицы на число и сложения матриц следует, что 1. A + B = B + A — свойство коммутативности при сложении матриц. Доказательство. Так как операция сложения определена только для мат- риц одинакового размера, причем сумма матриц является матрицей того же размера, что и слагаемые матрицы, то очевидно, что размер матрицы A + B = F равен размеру матрицы B + A = G . Докажем, что и все элементы матрицы F равны соответствующим элементам матрицы G. Из определения суммы двух матриц следует, что f ij = a ij + b ij = b ij + a ij = g ij для всех i = 1, 2, . . . , m и j = 1, 2, . . . , n. Согласно определению равенства матриц, это означает, что F = G, т. е. A + B = B + A. 2. (A + B)+C = A+(B + C) — свойство ассоциативности при сложении матриц. Доказательство. Нетрудно убедиться, что размер матрицы (A + B) + C совпадает с размером матрицы A+(B + C) (см. доказательство предыдущего свойства). Докажем, что все элементы матрицы (A + B) + C равны соответствующим элементам матрицы A + (B + C). Предварительно введем обозначения A + B = F , B + C = G и определим новые матрицы L = F + C = (A + B) + C , Q = A + G = A + (B + C) . Из определения операции сложения матриц следует, что l ij = f ij + c ij = a ij + b ij + c ij = a ij + g ij = q ij для всех i = 1, 2, . . . , m и j = 1, 2, . . . , n. Согласно определению равенства матриц, это означает, что L = Q, т. е. (A + B) + C = = A + (B + C). 7 3. (λµ) A = λ (µA) — свойство ассоциативности при умножении чисел и матри- цы. Доказательство. Отметим, что согласно определению операция умноже- ния матрицы на число не изменяет ее размера. Поэтому матрицы (λµ) A = F и λ (µA) = G имеют один и тот же размер. Докажем что все элементы матрицы F равны соответствующим элементам матрицы G. Введем обозначение µA = L . Тогда G = λL . Из определения операции умножения матрицы на число следует, что f ij = (λµ) a ij = λ (µa ij ) = λl ij = g ij для всех i = 1, 2, . . . , m и j = 1, 2, . . . , n. В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что F = G, т. е. (λµ) A = = λ (µA). 4. λ (A + B) = λA + λB — свойство дистрибутивности при умножении суммы матриц на число. Доказательство. Так как при умножении матрицы на число ее размер сохраняется, а операция сложения матриц определена только для матриц одинакового размера, то очевидно, что размер матрицы λ (A + B) равен раз- меру матрицы λA + λB. Докажем, что все элементы матрицы λ (A + B) равны соответствующим эле- ментам матрицы λA + λB. Введем обозначения (A + B) = F, λA = L, λB = Q и определим новые матрицы: G = λF = λ (A + B) , R = L + Q = λA + λB . Из определения операций сложения матриц и умножения матрицы на число следует, что g ij = λf ij = λ (a ij + b ij ) = λa ij + λb ij = l ij + q ij = r ij для всех i = 1, 2, . . . , m и j = 1, 2, . . . , n. В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что G = R, т. е. λ (A + B) = λA + λB. 8 5. (λ + µ) A = λA + µA — свойство дистрибутивности при умножении суммы чисел на матрицу. Доказательство. Очевидно, что размер матрицы (λ + µ) A совпадает с размером матрицы λA + µA (см. доказательство предыдущего свойства). Докажем, что все элементы матрицы (λ + µ) A равны соответствующим эле- ментам матрицы λA + µA. Введем обозначения (λ + µ) A = F, λA = L, µA = Q и определим новую матрицу: R = L + Q = λA + µA . Из определения операций сложения матриц и умножения матрицы на число следует, что f ij = (λ + µ) a ij = λa ij + µa ij = l ij + q ij = r ij для всех i = 1, 2, . . . , m и j = 1, 2, . . . , n. В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что F = R, т. е. (λ + µ) A = λA + µA. Пример 2.4 Вычислить A + B и − (A + B), если A = 2 3 5 1 4 −2 , B = 0 −2 −7 −1 2 −2 Решение. A + B = 2 + 0 3 − 2 5 − 7 1 − 1 4 + 2 −2 − 2 = 2 1 −2 0 6 −4 , − (A + B) = − 2 1 −2 0 6 −4 = −2 −1 2 0 −6 4 Пример 2.5 Найти сумму матриц A = 2 3 5 1 4 −2 и B = −2 1 3 −2 Решение. Сумма не существует т. к. матрицы A и B имеют разные размеры. Пример 2.6 Вычислить C = 5A − 2B, если A = 2 3 5 1 4 −2 , B = 2 −2 5 0 6 −4 Решение. C = 5 2 3 5 1 4 −2 − 2 2 −2 5 0 6 −4 = = 5 2 3 5 1 4 −2 + (−2) 2 −2 5 0 6 −4 = = 10 15 25 5 20 −10 + −4 4 −10 0 −12 8 = = 6 19 15 5 8 −2 9 Замечание 2.1 Введенное нами понятие матриц, которые можно сравнивать меж- ду собой и для которых определены операции сложения, вычитания и умножения на число, позволяет представить совокупность различных алгебраических соотно- шений в компактной, “матричной” форме. Например, 4 соотношения 2a 1 + b 1 = 3c 1 , 2a 2 + 3b 2 = 6c 2 , 6a 3 + b 3 = 3c 3 , 8a 4 + 5b 4 = 9c 4 , (2.1) в которых a i , b i и c i (i = 1, 2, 3, 4) — некоторые числа, можно представить в виде одного матричного соотношения 2A + B = 3C , (2.2) где A = a 1 a 2 3a 3 4a 4 , B = b 1 3b 2 b 3 5b 4 , C = c 1 2c 2 c 3 3c 4 (2.3) Из уравнения (2.2) нетрудно выразить матрицу A через матрицы B и C. Приба- вим к левой и правой частям (2.2) матрицу −B. Так как B −B = O, а 2A+O = 2A, то мы получим: 2A = −B + 3C . (2.4) Очевидно, что как и в случае чисел, преобразование матричного уравнения (2.2) к виду (2.4) представляет собой простой перенос матрицы B в правую часть ра- венства (2.2) с изменением знака коэффициента при ней (равного единице) на противоположный. Из (2.4) найдем, что A = 1 2 · 2A = 1 2 (−B + 3C) . Учитывая свойство дистрибутивности при умножении суммы матриц на число, а также свойство ассоциативности при умножении чисел и матрицы, получим окон- чательно: A = (−1/2) B + (3/2) C . (2.5) Заметим, что (2.5) может быть получено из (2.4) простым умножением на число 1/2. Подставляя в (2.5) матрицы A, B и C из (2.3) и учитывая определение равен- ства двух матриц, найдем: 2 a 1 = − b 1 + 3 c 1 , 2 a 2 = −3 b 2 + 6 c 2 , 6 a 3 = − b 3 + 3 c 3 , 8 a 4 = −5 b 4 + 9 c 4 (2.6) Из (2.6) получим: a 1 = (−1/2) b 1 + (3/2) c 1 , a 2 = (−3/2) b 2 + 3 c 2 , a 3 = (−1/6) b 3 + (1/2) c 3 , a 4 = (−5/8) b 4 + (9/8) c 4 10 Эти же выражения можно было бы получить и с помощью той же последователь- ности преобразований каждого из четырех уравнений (2.1). Таким образом, использование матричной формы записи позволяет избежать многократного повторения одних и тех же преобразований алгебраических выра- жений. Это обстоятельство играет важную роль при решении систем алгебраиче- ских уравнений, которые также можно представить в матричной форме. Пример 2.7 Решить систему матричных уравнений 2X − 3Y = −4 −2 7 −7 , X + 2Y = −1 −3 4 −5 (2.7) Решение. Выразим матрицу X из второго уравнения системы (2.7): X = −1 −3 4 −5 − 2Y . (2.8) Подставим это выражение в первое из уравнений (2.7). В результате получим: 7Y = 2 −4 1 −3 (2.9) Умножив (2.9) на число 1/7, найдем: Y = 1 7 2 −4 1 −3 (2.10) Подставляя (2.10) в (2.8), найдем: X = 1 7 −11 −13 26 −29 2.4 Умножение матриц Определение Умножение матрицы A на матрицу B определено, лишь когда число столбцов первой матрицы в произведении равно числу строк второй. Тогда произведением матриц A m×k B k×n называется матрица C m×n , каждый элемент которой c ij равен сумме попарных произведений элементов i–й строки матрицы A на соответствующие элементы j–го столбца матрицы B, т. е. 1 c ij = a i 1 b 1j + a i 2 b 2j + . . . + a ik b kj = k X s =1 a is b sj (2.11) 1 Всякая сумма вида a 1 + a 2 + . . . + a m будет сокращенно обозначаться как m P i =1 a i . Если рас- сматривается сумма слагаемых a ij , зависящих от двух индексов i = 1, 2, . . . , m и j = 1, 2, . . . , n, то для ее вычисления можно сначала найти суммы элементов с фиксированным первым индек- 11 для всех i = 1, 2, . . . , m и j = 1, 2, . . . , n. Обратим внимание на размеры матрицы C: число строк матрицы–произведе- ния совпадает с числом строк первой, а число столбцов — с числом столбцов второй из перемножаемых матриц (см. Рис. 1). A × m k B × k n = C × m n Рис. 1 Пример 2.8 Вычислить произведение матриц AB, если A = 1 2 3 5 4 −5 , B = 1 2 4 3 −3 1 1 0 2 Решение. Определим размер матрицы–произведения: A 2×3 B 3×3 = C 2×3 . Вычислим элементы матрицы–произведения: C = 1 + 6 + 3 2 − 6 + 0 4 + 2 + 6 5 + 12 − 5 10 − 12 + 0 20 + 4 − 10 = = 10 −4 12 12 −2 14 Пример 2.9 Вычислить произведение матриц AB, если A = 1 −1 0 2 1 1 , B = 2 7/2 1 3/2 Решение. Определим размер матрицы-произведения A 3×2 B 2×2 = C 3×2 . Вычислим эле- менты матрицы–произведения: C = 2 − 1 (7/2) − (3/2) 0 + 2 0 + 3 2 + 1 (7/2) + (3/2) = 1 2 2 3 3 5 сом, т. е. суммы n P j =1 a ij , где i = 1, 2, . . . , m, а затем сложить все эти суммы. В результате мы получим для суммы всех элементов a ij запись m P i =1 n P j =1 a ij ! . Можно, однако, сначала сложить слагаемые a ij с фиксированным вторым индексом, а затем уже складывать полученные суммы: |