Белоусов. Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43
 Скачать 491.18 Kb.
|
|
T , в которой строки и столб- цы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы. Матрица A T n×m = a 11 a 21 . . . a m 1 a 12 a 22 . . . a m 2 a 1n a 2n . . . a mn (2.21) является транспонированной к матрице A m×n = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n a m 1 a m 2 . . . a mn Из определения следует, что если матрица A = (a ij ) имеет размер m × n, то транс- понированная матрица A T = a T ij имеет размер n × m, причем матричные эле- менты a T ij = a ji Пример 2.22 Матрица A T 3×2 = 1 2 3 4 5 6 является транспонированной к матрице A 2×3 = 1 3 5 2 4 6 Пример 2.23 Матрица–строка A = (a 11 a 12 . . . a 1n ) 3 Cумму первых n слагаемых арифметической прогрессии 1, 2, 3, . . . нетрудно вычислить. Для этого расположим слагаемые в сумме s n = 1 + 2+ +3 + . . . + (n − 2) + (n − 1) + n в обратном порядке: s n = n + (n − 1) + + (n − 2) + . . . + 3 + 2 + 1. Складывая оба представленных выражения для s n , найдем 2s n = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) = = n (n + 1). Следовательно, s n = n (n + 1) /2. 23 при транспонировании переходит в матрицу–столбец: A T = a 11 a 12 a 1n Наоборот, матрица–столбец B = b 11 b 21 b n 1 при транспонировании переходит в матрицу–строку: B T = (b 11 b 21 . . . b n 1 ) . Имеют место следующие свойства, связанные с операцией транспонирования: 1. A T T = A. Доказательство. Если матрица A имеет размер m × n, то транспониро- ванная к ней матрица F = A T будет иметь размер n × m. Соответственно, транспонированная к F матрица G = F T = A T T будет иметь тот же размер, что и матрица A, т. е. m × n. Таким образом, размеры матриц в левой и правой частях равенства A T T = A совпадают и равны m × n. Докажем, равенство соответствующих элементов этих матриц. Для всех i = 1, 2, . . . , m и j = 1, 2, . . . , n имеем: g ij = f ji = a ij Следовательно, G = A, т. е. A T T = A. 2. (λA) T = λA T Доказательство. Пусть матрица A имеет размер m × n. Согласно опреде- лению операции умножения матрицы на число, матрица F = λA имеет тот же размер, что и A, т. е. m × n. Тогда транспонированная к F матрица G = F T = (λA) T будет иметь размер n × m. 24 Транспонированная к A матрица L = A T имеет размер n × m. Согласно определению операции умножения матрицы на число, матрица λA T имеет тот же размер, что и A T , т. е. n × m. Таким образом, размеры матриц в левой и правой частях равенства (λA) T = λA T совпадают и равны n × m. Докажем, равенство соответствующих эле- ментов этих матриц. Для всех i = 1, 2, . . . , m и j = 1, 2, . . . , n имеем: g ij = f ji = λa ji = λl ij Следовательно, G = λL, т. е. (λA) T = λA T 3. (A + B) T = A T + B T Доказательство. Сумма матриц A и B определена, если эти матрицы имеют один и тот же размер. Пусть матрица A имеет размер m × n. Тогда матрицы B и F = A + B также имеют размер m × n. Матрицы G = F T = (A + B) T , L = A T , Q = B T и сумма R = L + Q = A T + B T будут иметь размер n × m. Таким образом, размеры матриц в левой и правой частях равенства (A + B) T = A T + B T совпадают и равны n × m. Докажем, равенство соответ- ствующих элементов этих матриц. Для всех i = 1, 2, . . . , m и j = 1, 2, . . . , n имеем: g ij = f ji = a ji + b ji = l ij + q ij = r ij Следовательно, G = R, т. е. (A + B) T = A T + B T 4. (AB) T = B T A T Доказательство. Пусть матрица A имеет размер m × k, а матрица B — k × n, так, что произведение AB определено, причем матрица F = AB имеет размер m × n. Тогда транспонированная к F матрица G = F T = (AB) T будет иметь размер n × m. Матрицы L = A T и Q = B T имеют размеры k × m и n × k, соответственно. Поэтому произведение QL определено, причем матрица R = QL = B T A T 25 имеет размер n × m. Таким образом, размеры матриц в левой и правой частях равенства (AB) T = B T A T совпадают и равны n × m. Докажем, равенство соответствующих эле- ментов этих матриц. Для всех i = 1, 2, . . . , m и j = 1, 2, . . . , n имеем: g ij = f ji = k X s =1 a js b si = k X s =1 b si a js = k X s =1 q is l sj = r ij Следовательно, G = R, т. е. (AB) T = B T A T Определение Квадратная матрица A называется симметричной, если A T = A, т. е. a ji = a ij В частности, симметричной является любая диагональная матрица. Пример 2.24 A = 1 5 −4 5 −2 7 −4 7 3 — симметричная матрица 3–го порядка. Определение Квадратная матрица A называется антисимметричной 4 , если A T = −A, т. е. a ji = −a ij Согласно данному определению, диагональные матричные элементы антисим- метричной матрицы равны нулю, т. е. a ii = 0. Пример 2.25 Матрица B = 0 2 −3 7 −2 0 −1 5 3 1 0 8 −7 −5 −8 0 является антисимметричной матрицей 4–го порядка. Отметим некоторые свойства операций над симметричными и антисимметрич- ными матрицами: 1. Если A и B — симметричные (антисимметричные) матрицы, то и A + B — симметричная (антисимметричная) матрица. Доказательство. Действительно, если A и B — симметричные матрицы, то (A + B) T = A T + B T = A + B . Если же A и B — антисимметричные матрицы, то (A + B) T = A T + B T = −A − B = − (A + B) . 4 Антисимметричные матрицы иногда называют кососимметричными. 26 2. Если A — симметричная (антисимметричная) матрица, то λA также является симметричной (антисимметричной) матрицей. Доказательство. Действительно, если A — симметричная матрица, то (λA) T = λA T = λA = (λA) . Если же A — антисимметричная матрица, то (λA) T = λA T = −λA = − (λA) . 3. Произведение AB двух симметричных или двух антисимметричных матриц A и B есть матрица симметричная при AB = BA и антисимметричная при AB = −BA. Доказательство. Пусть A и B — симметричные (антисимметричные) ма- трицы. Тогда (AB) T = B T A T = BA . Отсюда получаем, что (AB) T = AB при AB = BA, и (AB) T = = −AB, если AB = −BA. 4. Если A — симметричная матрица, то и A m (m = 1, 2, 3, . . .) — симметричная матрица. Если A — антисимметричная матрица, то A m (m = 1, 2, 3, . . .) яв- ляется симметричной матрицей при четном m и антисимметричной — при нечетном. Доказательство. Действительно, пусть A — симметричная матрица. То- гда (A m ) T = AA . . . A | {z } m раз T = A T A T . . . A T | {z } m раз = AA . . . A | {z } m раз = A m Если A — антисимметричная матрица, то (A m ) T = AA . . . A | {z } m раз T = A T A T . . . A T | {z } m раз = (−A)(−A) . . . (−A) | {z } m раз = (−A)(−A) . . . (−A) | {z } m раз = (−1) m AA . . . A | {z } m раз = (−1) m A m 5. Произвольную квадратную матрицу A можно представить в виде суммы A = A (s) + A (a) матриц A (s) = 1 2 A + A T и A (a) = 1 2 A − A T , 27 из которых A (s) является симметричной, а A (a) — антисимметричной. Доказательство. Действительно, A (s)T = 1 2 A + A T T = 1 2 A T + A = 1 2 A + A T = A (s) , A (a)T = 1 2 A − A T T = 1 2 A T − A = − 1 2 A − A T = −A (a) 3 Определители квадратных матриц Предварительно введем некоторые вспомогательные понятия. Определение Пусть каждое из чисел α 1 , α 2 , . . . , α n принимает одно из зна- чений 1, 2, . . . , n, причем среди этих чисел нет совпадающих. В этом случае говорят, что последовательность чисел α 1 , α 2 , . . . , α n является некоторой пере- становкой степени n чисел 1, 2, . . . , n. Число всех перестановок степени n равно n!. Определение Образуем из последовательности чисел α 1 , α 2 , . . . , α n всевозможные пары α i , α j и будем говорить, что пара α i , α j образует инверсию, если α i > α j при i < j, т. е. если в перестановке б´ольшее число предшествует меньшему. Число инверсий, образованных всеми парами, которые можно составить из α 1 , α 2 , . . . , α n , будем обозначать символом N (α 1 , α 2 , . . . , α n ) . Укажем простой способ нахождения числа инверсий в перестановке. Опреде- лим число чисел, расположенных перед числом 1, и зачеркнем 1. Затем определим в полученной перестановке число чисел, расположенных перед числом 2, и за- черкнем 2. Продолжая этот процесс и складывая все полученные числа, получим полное число инверсий в данной перестановке. Пример 3.1 Определить число инверсий в перестановке 5, 2, 1, 4, 3 . Решение. Имеем последовательно: 5, 2, 1, 4, 3 — 2 числа перед 1 , 5, 2, 4, 3 — 1 число перед 2 , 5, 4, 3 — 2 числа перед 3 , 5, 4 — 1 число перед 4 , 5 — 0 чисел перед 5 . Таким образом, N (5, 2, 1, 4, 3) = 2 + 1 + 2 + 1 + 0 = 6. Определение Знак 5 sign (α 1 , α 2 , . . . , α n ) перестановки α 1 , α 2 , . . ., α n определяется как (−1) N (α 1 , α 2 , ..., α n ) 5 Знак перестановки иногда называют ее сигнатурой. 28 Определение Перестановка называется четной, если она имеет четное число инверсий (т. е. sign (α 1 , α 2 , . . . , α n ) = 1) и нечетной — если нечетное (т. е. sign (α 1 , α 2 , . . . , α n ) = −1). Рассмотрим произвольную квадратную матрицу n–го порядка: A = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n a n 1 a n 2 . . . a nn (3.1) С каждой такой матрицей свяжем определенную численную характеристику, на- зываемую определителем, соответствующим данной матрице. В дальнейшем мы будем говорить об элементах, строках и столбцах определителя, подразумевая под этими терминами соответственно элементы, строки и столбцы отвечающей этому определителю матрицы. Определение Определителем |A| матрицы первого порядка A = = (a 11 ), или определителем первого порядка, называется число ∆ 1 , равное матричному элемен- ту a 11 : ∆ 1 = |A| = a 11 (3.2) Определение Определителем |A| матрицы второго порядка A = = (a ij ), или определителем второго порядка, называется число ∆ 2 , определяемое формулой: ∆ 2 = |A| = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 − a 12 a 21 (3.3) Произведения a 11 a 22 и a 12 a 21 называются членами определителя. Таким образом, определитель второго порядка представляет собой алгебраическую сумму 2! чле- нов, каждый из которых представляет собой произведение 2-x матричных эле- ментов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Один из членов определителя входит в алгебраическую сумму со знаком “+”, а другой — со знаком “−”. Определение Определителем |A| матрицы третьего порядка A = = (a ij ), или определителем третьего порядка, называется число ∆ 3 , определяемое фор- мулой: ∆ 3 = |A| = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − (3.4) −a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 Из (3.4) следует, что определитель третьего порядка представляет собой алгебра- ическую сумму 3! членов, каждый из которых представляет собой произведение 3-x матричных элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Три члена определителя входят в алгебраическую сумму со знаком “+” и три — со знаком “−”. Обратим внимание на то, что в формулах (3.2)–(3.4) все члены определителя представлены в виде произведений a 1α 1 a 2α 2 . . . a nα n (n = 1, 2, 3) , (3.5) 29 в которых перемножаемые матричные элементы упорядочены определенным об- разом, а именно: индексы матричных элементов, указывающие номер строки опре- делителя располагаются в порядке возрастания. Нетрудно заметить, что если при данном порядке расположения матричных элементов в произведении индексы α 1 , α 2 , . . . , α образуют четную перестановку, то соответствующий член определителя входит в алгебраическую сумму со знаком “+”, а если нечетную — со знаком “−”. Это правило можно сформулировать в геометрических терминах. Соединим отрезком любые два элемента определителя, не принадлежащие одной и той же строке или столбцу. Будем говорить, что данный отрезок имеет положительный наклон, если его правый конец расположен ниже левого, и отрицательный наклон, если наоборот. Проведем всевозможные отрезки, соединяющие попарно матричные элемен- ты, являющиеся сомножителями в каком-либо члене (3.5) определителя. Если при этом число всех отрезков, имеющих отрицательный наклон, четно, то соот- ветствующий член определителя входит в алгебраическую сумму со знаком “+”, а если нечетно, то со знаком “−”. Действительно, наличие отрезка отрицательного наклона, соединяющего элементы a i α i и a j α j , означает при i < j, что α i > α j , т. е. имеется инверсия в перестановке вторых индексов (см. Рис. 2). v v a j α j a i α i i j Рис. 2 i j Таким образом, для вычисления определителя необходимо выполнить следую- щие операции. 1. Соединить отрезками каждый элемент определителя всеми возможными спо- собами с другими элементами. При этом соединяемые элементы не должны принадлежать одной и той же строке или одному и тому же столбцу. Тогда каждый из n! способов соединения дает соответствующий член определите- ля, содержащий произведение n соединяемых элементов. 2. Установить знак каждого члена определителя. Для этого определить полное число отрезков отрицательного наклона при каждом способе соединения. Ес- ли это число четное, то знак соответствующего члена положительный, а если нечетное — отрицательный. Воспользуемся сформулированным правилом для вычисления определителя второго порядка. В этом случае возможны лишь 2! способов соединения, изоб- раженных на Рис. 3: 1. элемент a 11 соединяется с элементом a 22 отрезком положительного наклона; 2. элемент a 12 соединяется с элементом a 21 отрезком отрицательного наклона. 30 v v v v a 11 a 12 a 22 a 21 v v v v v v Со знаком (+) Со знаком (−) Рис. 3 В результате мы приходим к выражению (3.3). Рассмотрим теперь случай определителя третьего порядка. Установим возмож- ные способы соединения элементов определителя, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Для этого переберем последовательно все элементы первой строки. 1. Элемент a 11 может быть соединен: (a) с элементом a 22 и тогда третьим элементом в соединении должен быть элемент a 33 (имеется 0 отрезков отрицательного наклона); (b) с элементом a 23 и тогда третьим элементом в соединении должен быть элемент a 32 (имеется 1 отрезок отрицательного наклона). 2. Элемент a 12 может быть соединен: (a) с элементом a 21 и тогда третьим элементом в соединении должен быть элемент a 33 (имеется 1 отрезок отрицательного наклона); (b) с элементом a 23 и тогда третьим элементом в соединении должен быть элемент a 31 (имеется 2 отрезка отрицательного наклона). 3. Элемент a 13 может быть соединен: (a) с элементом a 21 и тогда третьим элементом в соединении должен быть элемент a 32 (имеется 2 отрезка отрицательного наклона); (b) с элементом a 22 и тогда третьим элементом в соединении должен быть элемент a 31 (имеется 3 отрезка отрицательного наклона). Таким образом, имеется 3! способов соединения, изображенных на Рис. 4. v v v v v v v v v a 11 a 12 a 13 a 23 a 22 a 21 a 31 a 32 a 33 v v v v v v v v v Со знаком (+) Со знаком (−) Рис. 4 В результате мы приходим к выражению (3.4). 31 Пример 3.2 Вычислить определитель ∆ 2 = |A| = 2 3 1 5 Решение. Имеем: ∆ 2 = 2 · 5 − 3 · 1 = 7. Пример 3.3 Вычислить определитель ∆ 3 = |A| = 1 −1 1 2 1 1 1 1 2 Решение. Имеем: ∆ 3 = +1 · 1 · 2 + 2 · 1 · 1 + (−1) · 1 · 1 − 1 · 1 · 1 − 2 · (−1) · 2 − 1 · 1 · 1 = 5 . Установленные выше правила вычисления определителей 1–го, 2–го и 3–го порядков можно принять за основу для построения определителей произвольного (n–го) порядка. Определение Определителем |A| квадратной матрицы n–го порядка A = (a ij ), или определителем n–го порядка, называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матри- цы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (−1) N , где N — число инверсий в перестановке из номеров столбцов элементов матрицы в произведении, если при этом номера строк образу- ют возрастающую последовательность n чисел: |