Белоусов. Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43
 Скачать 491.18 Kb.
|
|
i (i = 1, 2, . . . , s−1), не равных одновре- менно нулю, и при λ s = 0. Следовательно, строки r 1 , r 2 , . . . , r s линейно зависимы. Следствие 1 Если среди строк матрицы имеется нулевая строка, то эти стро- ки линейно зависимы. Доказательство. Этот вывод следует из Теоремы 9.2 и доказанного в Приме- ре 9.2 утверждения о том, что нулевая строка матрицы является линейно зависи- мой. Следствие 2 Если среди строк матрицы имеются пропорциональные, то все они линейно зависимы. Доказательство. Пусть две произвольные строки матрицы r i 6= O и r j 6= O пропорциональны, т. е. существует такое число C, что r j = Cr i (9.12) Тогда C 6= 0 и 1r j − Cr i = O , т. е. строки r i и r j линейно зависимы. Отметим, что значение C = 1 отвечает случаю двух одинаковых строк: r j = r i 85 Замечание 9.2 Понятие линейной зависимости применимо не только к стро- кам, но и к столбцам матрицы. Произвольную матрицу (9.1) вертикальными прямыми можно разбить на отдельные подматрицы, каждая из которых представ- ляет собой матрицу–столбец размера m × 1. Таким образом, имеется возможность представить A как некоторую новую матрицу–строку A = (c 1 c 2 . . . c n ) , (9.13) элементами которой являются n матриц–столбцов: c 1 = a 11 a 21 a m 1 , c 2 = a 12 a 22 a m 2 , . . . , c n = a 1n a 2n a mn (9.14) Для обозначения элементов (9.14) матрицы (9.13) используется жирная буква c 12 , снабженная одним индексом, указывающим в каком порядке располагаются столбцы в (9.13). Этим подчеркивается, что указанные элементы являются, вообще говоря, матрицами, а не числами, функциями или алгебраическими выражениями. Два столбца матрицы равны, если они совпадают поэлементно, т. е. c k = c l , если a ik = a il для всех i=1,2,. . . ,m. Арифметические операции над столбцами матрицы: λc k = λa 1k λa 2k λa mk , c k + c l = a 1k + a 1l a 2k + a 2l a mk + a ml Линейная комбинация k столбцов c 1 , c 2 , . . . , c k матрицы имеет вид: c =λ 1 c 1 + λ 2 c 2 + . . . + λ k c k Повторяя рассуждения, нетрудно убедиться, что Замечание 9.1, Теоре- мы 9.1, 9.2 и следствия из последней в равной степени справедливы как для строк, так и для столбцов матрицы. Последующий материал излагается только для строк. Для столбцов изложение аналогично. 10 Теорема о базисном миноре Теорема 10.1 (о базисном миноре) 1. Базисные строки матрицы линейно независимы. 2. Любая небазисная строка матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк. 12 Обозначение происходит от английского слова column — столбец, колонка. 86 Доказательство. Пусть ранг матрицы A m×n равен r. Доказываемая теорема со- держит утверждения о наличии (или, наоборот, отсутствии) линейных зависи- мостей между строками матрицы. Согласно Замечанию 9.1 эти зависимости со- храняются при произвольной перестановке ее строк (или столбцов). Поэтому, не ограничивая общности доказательства, можно считать, что строки и столбцы ис- ходной матрицы уже переставлены таким образом, чтобы ее базисный минор ∆ r расположился в левом верхнем углу матрицы: ∆ r = a 11 a 12 . . . a 1r a 21 a 22 . . . a 2r a r 1 a r 2 . . . a rr 6= 0 . Здесь индексы матричных элементов указывают на их местоположение не в ис- ходной, а в уже преобразованной указанным образом матрице. Заметим, что строки базисного минора либо совпадают с базисными строками матрицы (при r = n), либо состоят из отдельных их фрагментов, соответствующих базисным столбцам матрицы (при r < n). Поэтому, в соответствии с правилами (9.4) и (9.5), линейная зависимость между базисными строками матрицы означает такую же линейную зависимость между строками базисного минора ∆ r Предположим, что первые r строк преобразованной матрицы линейно зави- симы. Тогда строки определителя ∆ r также являются линейно зависимыми и, согласно Теореме 9.1, по крайней мере одна из его строк является линейной ком- бинацией остальных. Согласно Замечанию 4.3 такой определитель равен нулю. Таким образом, предположение о линейной зависимости базисных строк противо- речит условию, что базисный минор отличен от нуля. Следовательно, базисные строки линейно независимы. Докажем, что всякая i–я строка преобразованной матрицы (r < i ≤ m) является линейной комбинацией первых r строк. Для этого построим вспомога- тельный определитель (r + 1)–го порядка ∆ r +1 = a 11 a 12 . . . a 1r a 1j a 21 a 22 . . . a 2r a 2j a r 1 a r 2 . . . a rr a rj a i 1 a i 2 . . . a ir a ij , получающийся “окаймлением” минора ∆ r соответствующими элементами i–й стро- ки и j–го столбца. При любом j =1,2,. . . ,n определитель ∆ r +1 = 0. Действительно, если j > r, то ∆ r +1 является минором (r + 1)–го порядка матрицы A и, следо- вательно, равен нулю. Если же j ≤ r, то определитель ∆ r +1 имеет два одинаковых столбца и равен нулю в силу Следствия из Теоремы 4.2 и Замечания 4.1. Разложим ∆ r +1 по элементам последнего (j–го) столбца: ∆ r +1 = a 1j A 1j + a 2j A 2j + . . . + a rj A rj + a ij A ij = 0 . (10.1) Алгебраическое дополнение A ij 6= 0, т. к. оно совпадает с базисным минором: 87 A ij = ∆ r . Алгебраические дополнения A sj = (−1) s +(r+1) a 11 a 12 a 1r a 21 a 22 a 2r a (s−1) 1 a (s−1) 2 . . . a (s−1) r a (s+1) 1 a (s+1) 2 . . . a (s+1) r a r 1 a r 2 a rr a i 1 a i 2 a ir ≡ A s зависят от индекса s = 1, 2, . . . , r и не зависят от индекса j. Поэтому они обозна- чены как A s Разделив (10.1) на A ij , получим: a ij = r X s =1 − A s ∆ r a sj (10.2) Поскольку равенство (10.2) выполняется для всех j =1,2,. . . ,n, то его можно пе- реписать в компактном виде r i = r X s =1 λ s r s , (10.3) где λ s = − (A s /∆ r ). Таким образом, i–я строка матрицы является линейной ком- бинацией ее базисных строк. Замечание 10.1 Отметим, что выбор базисных строк матрицы неоднозначен. Действительно, рассмотрим произвольную матрицу A m×n = r 1 r 2 r l λ l r l + λ p r p + . . . + λ q r q r p r q r m− 1 r m ← 1–я строка, ← 2–я строка, ← l–я строка, ← i–я строка, ← p–я строка, ← q–я строка, ← (m − 1) –я строка, ← m–я строка, (10.4) у которой l–я, p–я, . . . , q–я строки — базисные, а i–я строка является их линейной комбинацией: r i = λ l r l + λ p r p + . . . + λ q r q (10.5) 88 Пусть, например, λ l 6= 0. Тогда мы можем исключить l–ю строку из числа базис- ных и принять в качестве таковых i–ю, p–ю, . . . , q–ю строки. Чтобы убедиться в этом, докажем, что i–я, p–я, . . . , q–я строки линейно независимы. Для этого подставим (10.5) в равенство α i r i + α p r p + . . . + α q r q = O . (10.6) Получим: α i λ l r l + (α i λ p + α p ) r p + . . . + (α i λ q + α q ) r q = O . (10.7) Так как по условию l–я, p–я, . . . , q–я строки — базисные, то они линейно незави- симы и, следовательно, соотношение (10.7) может иметь место только когда α i λ l = 0 , (α i λ p + α p ) = 0 , . . . , (α i λ q + α q ) = 0 . (10.8) Учитывая, что λ l 6= 0, из (10.8) находим: α i = α p = . . . = α q = 0. Таким образом, равенство (10.6) имеет место только когда все коэффициенты α i , α p , . . . , α q равны нулю. Следовательно, i–я, p–я, . . . , q–я строки линейно независимы и могут быть выбраны в качестве базисных. При этом, согласно (10.5), уже l–я строка может быть представлена как линейная комбинация базисных строк: r l = 1 λ l r i + − λ p λ l r p + . . . + − λ q λ l r q Неоднозначность в выборе базисных строк связана с тем, что одна и та же матрица может иметь более одного базисного минора. Из приведенного обсуждения, в частности, следует, что если одна из строк мат- рицы является линейной комбинацией других ее строк, то такую строку можно не включать в число базисных. Поэтому, если задача состоит лишь в нахождении ранга матрицы, а не в определении возможных совокупностей ее базисных строк, то при ее решении такую строку можно не принимать во внимание. Иными сло- вами, если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то эту строку можно вычеркнуть из матрицы, не меняя ее ранга. Рассмотрим некоторые следствия из Теоремы 10.1. Если базисный минор мат- рицы A m×n имеет порядок r < m, то по меньшей мере одна из строк этой матрицы не является базисной. Но тогда эта строка может быть представлена в виде линейной комбинации r базисных строк. Поэтому согласно Теореме 9.1 стро- ки данной матрицы линейно зависимы. Если же r = m, то все строки матрицы — базисные и, следовательно, линейно независимы. Отсюда следует, что 1. Если ранг матрицы A меньше, чем число ее строк, то строки матрицы линейно зависимы. Если ранг матрицы равен числу ее строк, то все ее строки линейно независимы. 2. Всякие r + 1 строк матрицы A ранга r линейно зависимы. 3. Ранг любой матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк. 89 Теорема 10.1 и следствия из нее могут быть сформулированы и по отношению к столбцам матрицы. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем теорему: Теорема 10.2 Максимальное количество линейно независимых столбцов мат- рицы совпадает с максимальным количеством ее линейно независимых строк и равно рангу этой матрицы. Доказательство. Выделим в матрице A m×n произвольный минор. Его можно рас- сматривать как определитель некоторой квадратной подматрицы l–го порядка M l (l ≤ min {m, n}) матрицы A. Транспонируем матрицу A, т.е. перейдем от A к матрице A T , строки которой являются столбцами матрицы A. При этом произвольный элемент a ij подматрицы M l , расположенный на пересечении i–й строки и j–го столбца матрицы A, перей- дет в элемент a ji подматрицы M T l матрицы A T и расположится на пересечении j–й строки и i–го столбца этой матрицы. Таким образом, при транспонировании матрицы A ее подматрица M l переходит в подматрицу M T l матрицы A T . Для иллю- страции этого утверждения рассмотрим произвольную матрицу A, изображенную на Рис. 11, где в качестве M 3 выбрана помещенная в рамку подматрица 3–го по- рядка, элементы которой пронумерованы. q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q e e e e e e e e e q q q q q q q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 A = Рис. 11 Матрица A T , транспонированная к A, изображена на Рис. 12. q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q e e e e e e e e e 1 4 7 8 5 2 3 6 9 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 A T = Рис. 12 Из рисунков видно, что при транспонировании матрицы A ее подматрица M 3 переходит в подматрицу M T 3 матрицы A T 90 Согласно Теореме 4.1 M T l = |M l | и, следовательно, транспонирование матри- цы не меняет значений ее миноров. Тем самым сохраняется и наивысший порядок отличного от нуля минора, определяющий ранг данной матрицы. С другой сторо- ны, ранг матрицы A равен максимальному числу ее линейно независимых строк, или, что тоже самое, столбцов матрицы A T Следствие Ранг матрицы не меняется при ее транспонировании. Важным следствием из Теоремы 10.1 является формулировка необходимого и достаточного условия равенства нулю определителя: Теорема 10.3 Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере одна из его строк является линейной комбинацией других. Доказательство. Рассмотрим матрицу A произвольного определителя n–го по- рядка ∆ n = |A|. Если ∆ n = 0, то ранг этой матрицы r (A) < n. Поэтому кроме r базисных строк матрица A имеет по меньшей мере одну строку, не относящуюся к числу базисных. Согласно Теореме 10.1 эта строка является линейной комби- нацией базисных строк. В состав линейной комбинации можно включить и все оставшиеся строки рассматриваемого определителя, выбрав коэффициенты при них равными нулю. Обратное утверждение о том, что определитель равен нулю, если какая-либо строка определителя является линейной комбинацией других его строк, составляет содержание Замечания 4.3. Замечание 10.2 Согласно Теореме 9.1, если одна из строк матрицы представля- ет собой линейную комбинацией остальных, то все эти строки вместе являются линейно зависимыми. Поэтому Теорему 10.3 можно сформулировать в несколько иных терминах: определитель равен нулю тогда и только тогда, когда между его строками существует линейная зависимость. Понятно, что в формулировке Теоремы 10.3 можно говорить не о строках, а о столбцах определителя. 11 Подсчет ранга матрицы и нахождение базисно- го минора В общем случае нахождение ранга матрицы перебором всех ее миноров — доста- точно трудоемкая процедура. Более простой способ решения этой задачи основан на элементарных преобразованиях исходной матрицы A, сохраняющих ее ранг и приводящих A к так называемому ступенчатому виду. Поскольку, согласно След- ствию из Теоремы 10.2, ранг матрицы не меняется при ее транспонировании, мы определим эти преобразования только для строк матрицы. К указанным преобра- зованиям относятся: 91 1. Отбрасывание нулевой строки или столбца. В самом деле, нулевая строка не может быть включена в число базисных строк, т. к. согласно Следствию 1 из Теоремы 9.2 в этом случае базисные строки оказались бы линейно зависимыми, что находится в противоречии с Теоремой 10.1. На возможность отбрасывания нулевой строки или нуле- вого столбца матрицы при нахождении ее ранга обращалось внимание при рассмотрении Примера 8.2. 2. Перестановка двух строк между собой. Остальные строки при этом остаются неизменными. Это утверждение составляет содержание Замечания 8.2. Оно непосредствен- но следует и из Теоремы 10.1, согласно которой ранг матрицы равен мак- симальному числу ее линейно независимых строк. Это число не зависит от того, в каком порядке располагаются строки в матрице. 3. Умножение любой строки на число λ 6= 0. В самом деле, умножение любой строки матрицы на число λ 6= 0 не может изменить максимальное число ее линейно независимых строк, равное рангу этой матрицы. 4. Вычеркивание строки, являющейся линейной комбинацией других строк . Это утверждение обосновывается в Замечании 10.1. 5. Прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на число λ 6= 0. Действительно, пусть, например, к q–й строке матрицы (10.4) прибав- ляется ее p–я строка, умноженная на λ 6= 0. В результате этой операции мы получим новую матрицу A ′ . Если при этом и q–я и p–я строки матрицы (10.4) входят в число базисных строк, то согласно Следствию 3 из Теоре- мы 4.3 такое преобразование не меняет значения базисного минора. Если же только p–я строка матрицы A относится к числу базисных строк, то q–я строка является их линейной комбинацией. Она останется линейной комби- нацией базисных строк и после прибавления к ней p–й (базисной) строки, умноженной на λ. Но согласно пункту 4 такую строку можно вычеркнуть при нахождении ранга матрицы. Пусть теперь q–я строка является базис- ной, а p–я — нет. В результате преобразования r q → r q + λr p базисный минор ∆ r матрицы (10.4) перейдет в минор ∆ ′ r матрицы A ′ , который отличается от ∆ r тем, что вместо элементов строки r q он содержит соответствующие элементы строки r q + λr p . Согласно Теореме 4.3 ∆ ′ r = ∆ r + λ∆ (1) r , где опре- делитель r–го порядка ∆ (1) r отличается от ∆ r тем, что вместо элементов q–й строки содержит соответствующие элементы строки r p . Так как p–я строка матрицы, не входящая в число базисных, может быть представлена в виде линейной комбинации r базисных строк, то согласно Теореме 10.3 ∆ (1) r = 0 и ∆ ′ r = ∆ r . Таким образом, во всех трех случаях в результате преобразования r q → r q + λr p базисный минор матрицы (10.4) не претерпевает изменений и, следовательно, r (A) = r (A ′ ). 92 6. Транспонирование матрицы. Это утверждение составляет содержание Следствия из Теоремы 10.2. Замечание 11.1 Преобразования 2–5 совпадают с перечисленными на стр. 63 элементарными преобразованиями, используемыми при вычислении обратной мат- рицы. В некоторых случаях для нахождения обратной матрицы может оказаться полезным и Преобразование 6. Если образовать расширенную матрицу A T |E и с помощью преобразования Λ найти A T − 1 : A T |E Λ ∼ E A T − 1 , то искомая матрица A − 1 получается простым транспонированием матрицы (A − 1 ) T , которая согласно Свойству 5 невырожденных матриц (см. стр. 76) совпадает с A T − 1 Определение Матрицы A и B называются эквивалентными по рангу и обо- значаются A ∼ B, если B получается из A конечным числом элементарных пре- образований типа 1–6. |