Белоусов. Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43
 Скачать 491.18 Kb.
|
|
(l) ij + λ M +1 b (M +1) ij = a (M ) ij + λ M +1 b (M +1) ij , где j = 1, 2, . . . , n. Тогда из Теоремы 4.3 и предположения (4.15) следует, что A (M +1) = A (M ) + λ M +1 B (M +1) = = M X l =1 λ l B (l) + λ M +1 B (M +1) = M +1 X l =1 λ l B (l) Согласно методу математической индукции (см. стр. 22) этот результат означает, что формула (4.15) справедлива при любом M = 1, 2, . . .. Следствие 1 Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число λ равносильно умножению определителя на λ. Иными словами, общий мно- житель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя. В частности, в соответствии с правилом умножения матрицы A на число λ, имеем |λA| = λ n |A|, где n — порядок определителя |A|. Доказательство. Этот результат является частным случаем Теоремы 4.3 при λ 2 = 0. Следствие 2 Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Доказательство. Согласно Следствию 1, коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя. В результате получим определитель с двумя одинаковыми строками, который в силу Следствия из Теоремы 4.2 равен нулю. Следствие 3 Определитель не изменится, если к элементам некоторой его строки прибавить соответствующие элементы любой другой строки, умножен- ные на произвольное число λ. Доказательство. В самом деле, Теорема 4.3 позволяет представить полученный в результате такого прибавления определитель в виде суммы двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй содержит две пропорциональ- ные строки и в силу Следствия 2 из Теоремы 4.2 равен нулю. 41 Замечание 4.3 Следствие 2 является частным случаем более общего утвержде- ния: если все элементы какой-либо строки определителя являются линейной комбинацией соответствующих элементов других его строк, то определитель равен нулю. Доказательство. Пусть элементы i–й строки определителя |A| имеют вид ли- нейной комбинации его l–й, m–й, . . . , s–й строк: a ij = λa lj + µa mj + . . . + ηa sj (j = 1, 2, . . . , n; l, m, . . . , s 6= i) . Согласно Замечанию 4.2, данный определитель можно представить в виде такой же линейной комбинации |A| = λ |A l | + µ |A m | + . . . + η |A s | определителей |A l |, |A m |, . . . , |A m | , у которых i–я строка совпадает с l–й, m–й, . . . , s–й строками, соответственно. В силу Следствия из Теоремы 4.2 эти определители равны нулю как имеющие две одинаковые строки. Следовательно и |A| = 0. Замечание 4.4 Более общая формулировка Следствия 3 следующая: определи- тель не изменится, если к элементам его i–й строки прибавить соот- ветствующие элементы l–й строки, умноженные на число λ, затем элементы m–й строки, умноженные на число µ, . . . , элементы s–й строки, умноженные на число η (l,m,. . . ,s 6= i). Доказательство. В самом деле, выполняя эти операции последовательно и при- нимая во внимание Следствие 3, мы получим исходный определитель. Пример 4.2 Найти, при каких значениях числа x ∆(x) = 1 1 1 1 1 1 − x 1 1 1 1 2 − x 1 1 1 1 3 − x = 0 . Решение. Используя Теорему 4.3, выделим из ∆(x) определители, содержащие две одинаковые строки. Согласно Следствию из Теоремы 4.2, такие определители равны нулю. Поэтому получаем последовательно: ∆(x) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 − x 1 1 1 1 3 − x + 1 1 1 1 0 −x 0 0 1 1 2 − x 1 1 1 1 3 − x = = 1 1 1 1 0 −x 0 0 1 1 1 1 1 1 1 3 − x + 1 1 1 1 0 −x 0 0 0 0 1 − x 0 1 1 1 3 − x = = 1 1 1 1 0 −x 0 0 0 0 1 − x 0 1 1 1 1 + 1 1 1 1 0 −x 0 0 0 0 1 − x 0 0 0 0 2 − x = 42 = 1 1 1 1 0 −x 0 0 0 0 1 − x 0 0 0 0 2 − x Оставшийся определитель имеет треугольный вид и, согласно (3.7), (3.8), равен ∆(x) = −x (1 − x) (2 − x) . Таким образом, уравнение ∆(x) = 0 имеет три корня: x = 0, 1, 2 . Заметим, что исходный определитель можно сразу привести к треугольному виду, если элементы его первой строки умножить на −1 и затем прибавить к соот- ветствующим элементам 2–й, 3–й и 4–й строк. Согласно Следствию 3, указанное преобразование не меняет величины определителя. Пример 4.3 Вычислить определитель ∆ 3 = a −a a a a −a a −a −a , где a — некоторое действительное число. Решение. Приведем определитель к треугольному виду. Для этого умножим эле- менты 1–й строки определителя на −1 и прибавим их к соответствующим элемен- там 2–й и 3–й строк. Имеем: ∆ 3 = a −a a 0 2a −2a 0 0 −2a = −4a 3 Пример 4.4 Вычислить определитель ∆ 3 = −x 1 x 0 −x −1 x 1 −x , где x — некоторое действительное число. Решение. Прибавим элементы 1–й строки определителя к соответствующим эле- ментам 3–й строки: ∆ 3 = −x 1 1 0 −x −1 0 2 0 Поменяем местами 2–й и 3–й столбцы определителя. Согласно Теореме 4.2 и За- мечанию 4.1, при этом преобразовании определитель изменит свой знак на проти- воположный: ∆ 3 = − −x 1 1 0 −1 −x 0 0 2 = −2x . (4.16) Мы получили в правой части (4.16) определитель, имеющий треугольный вид. Поэтому ∆ 3 = −(−x)(−1)2 = −2x. 43 4.4 Определитель произведения матриц Теорема 4.4 Определитель произведения двух квадратных матриц A и B одно- го и того же порядка равен произведению их определителей: |AB| = |A| · |B| . (4.17) Доказательство. Рассмотрим определитель произведения AB квадратных ма- триц A и B: det AB = det n X α =1 a iα b αj ! = = n P α 1 =1 a 1α 1 b α 1 1 n P α 1 =1 a 1α 1 b α 1 2 n P α 1 =1 a 1α 1 b α 1 n n P α 2 =1 a 2α 2 b α 2 1 n P α 2 =1 a 2α 2 b α 2 2 n P α 2 =1 a 2α 2 b α 2 n n P α n =1 a nα n b α n 1 n P α n =1 a nα n b α n 2 n P α n =1 a nα n b α n n (4.18) Применяя к каждой из строк определителя в правой части (4.18) Теорему 4.3, сформулированную в наиболее общей форме в Замечании 4.2, получаем последо- вательно: det AB = = n X α 1 =1 a 1α 1 b α 1 1 b α 1 2 b α 1 n n P α 2 =1 a 2α 2 b α 2 1 n P α 2 =1 a 2α 2 b α 2 2 n P α 2 =1 a 2α 2 b α 2 n n P α n =1 a nα n b α n 1 n P α n =1 a nα n b α n 2 n P α n =1 a nα n b α n n = = n X α 1 =1 a 1α 1 n X α 2 =1 a 2α 2 b α 1 1 b α 1 2 b α 1 n b α 2 1 b α 2 2 b α 2 n n P α n =1 a nα n b α n 1 n P α n =1 a nα n b α n 2 n P α n =1 a nα n b α n n = = . . . = = n X α 1 =1 a 1α 1 n X α 2 =1 a 2α 2 n X α n =1 a nα n b α 1 1 b α 1 2 b α 1 n b α 2 1 b α 2 2 b α 2 n b α n 1 b α n 2 . . . b α n n = = n X α 1 , α 2 , ... , α n =1 a 1α 1 a 2α 2 . . . a nα n b α 1 1 b α 1 2 b α 1 n b α 2 1 b α 2 2 b α 2 n b α n 1 b α n 2 . . . b α n n (4.19) Заметим, что в сумме в правой части (4.19) достаточно учитывать лишь такие произведения a 1α 1 a 2α 2 . . . a nα n элементов матрицы A, у которых все вторые индек- сы α i (i = 1, 2, . . . , n) отличаются друг от друга. Действительно, при совпадении 44 каких-либо двух индексов α i и α j (i, j = 1, 2, . . . , n) определитель в правой части (4.19) обращается в нуль, так как в этом случае он имеет две одинаковые строки. Таким образом, суммирование в правой части (4.19) фактически проводится по всем возможным перестановкам α 1 , α 2 , . . . , α n чисел 1,2,. . ., n, а само выражение (4.19) представляет собой сумму n! слагаемых, каждое из которых включает в себя произведение n элементов матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Рассмотрим в сумме (4.19) слагаемое, отвечающее расположению чисел α 1 ,α 2 , . . .,α n в возрастающей последовательности 1,2,. . .,n, при которой перестановка α 1 ,α 2 ,. . .,α n не содержит инверсий. Очевидно, что в этом случае определитель в правой части (4.19) является определителем матрицы B. Если какая-то пара чисел α i и α j (i, j = 1, 2, . . . , n) в перестановке α 1 , α 2 , . . . , α n образует инверсию, то поменяв местами в определителе в правой части (4.19) α i –ю и α j –ю строки, мы получим определитель матрицы B, умноженный на (−1) 1 Если перестановка α 1 , α 2 , . . . , α n содержит две инверсии, то очевидно, что дважды поменяв местами соответствующие строки определителя в правой части (4.19), мы получим определитель матрицы B, умноженный на (−1) 2 Продолжая эти рассуждения и далее, нетрудно убедиться, что определитель в правой части (4.19) равен (−1) N |B|, где N — число инверсий в перестановке α 1 , α 2 , . . . , α n Вынося общий множитель |B| всех слагаемых в (4.19) за знак суммы, найдем: det AB = |B| X (−1) N a 1α 1 a 2α 2 . . . a nα n , (4.20) где сумма берется по всем перестановкам α 1 , α 2 , . . . , α n . Но согласно определению (3.6) данная сумма представляет собой не что иное, как определитель |A| матрицы A. Следовательно, det AB = det A · det B . Следствие 1 Определитель произведения любого фиксированного числа n квад- ратных матриц одного и того же порядка A 1 , A 2 , . . . , A n равен произведению определителей этих матриц, т. е. |A 1 A 2 . . . A n | = |A 1 | |A 2 | . . . |A n | . (4.21) Доказательство. Определим матрицу C (n) = A 1 A 2 . . . A n− 1 A n , которую можно представить в виде C (n) = C (n−1) A n , причем C (1) = A 1 (4.22) Тогда C (1) = |A 1 | (4.23) 45 и согласно Теореме 4.4 C (n) = C (n−1) · |A n | при n 6= 1 . (4.24) Из (4.24) находим: C (2) = C (1) · |A 2 | = |A 1 | · |A 2 | , C (3) = C (2) · |A 3 | = |A 1 | · |A 2 | · |A 3 | , (4.25) C (4) = C (3) · |A 4 | = |A 1 | · |A 2 | · |A 3 | · |A 4 | , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · . Формулы (4.23) и (4.25) позволяют нам предположить, что для любого n = 1, 2, . . . C (n) = |A 1 | · |A 2 | · . . . · |A n | . (4.26) Чтобы убедиться в этом, докажем, что из справедливости формулы (4.26) для произвольного значения n следует ее справедливость и для значения n + 1: C (n+1) = C (n) · |A n +1 | = |A 1 | · |A 2 | · . . . · |A n | · |A n +1 | . Согласно методу математической индукции (см. стр. 22) этот результат озна- чает, что формула (4.26) справедлива при любом n = = 1, 2, . . .. Следствие 2 Определитель целой положительной степени квадратной мат- рицы A равен той же степени определителя |A| этой матрицы, т. е. |A n | = |A| n для любого n = 1, 2, . . . . Доказательство. Действительно, полагая в (4.21) A 1 = A 2 = . . . = A n = A , найдем: |A n | = AA . . . A | {z } n раз = |A| · |A| · . . . · |A| | {z } n раз = |A| n Замечание 4.5 Из Теоремы 4.4 следует, что |AB| = |BA|, даже если AB 6= BA. 5 Миноры и алгебраические дополнения Определение Минором M ij элемента a ij квадратной матрицы n–го поряд- ка A называется определитель (n − 1)–го порядка, получающийся из определителя матрицы A вычеркиванием i–й строки и j–го столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых располагается элемент a ij ). Определение Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij матрицы n–го порядка A называется число, определяемое выражением A ij = (−1) i +j M ij (5.1) 46 Согласно определению, алгебраическое дополнение какого-либо матричного эле- мента совпадает с его минором, когда сумма номеров строки и столбца, на пересе- чении которых располагается данный элемент, является четным числом, и отли- чается от минора знаком, если эта сумма — число нечетное. Пример 5.1 Минор M 23 матрицы третьего порядка A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 равен M 23 = a 11 a 12 a 31 a 32 = a 11 a 32 − a 12 a 31 Очевидно, что число миноров матричных элементов любой квадратной матри- цы равно самому числу этих элементов (т. е. n 2 для матрицы n–го порядка). Пример 5.2 Найти миноры всех элементов матрицы третьего порядка (см. При- мер 3.3) A = 1 −1 1 2 1 1 1 1 2 Решение. Имеем: M 11 = 1 1 1 2 = 1 , M 12 = 2 1 1 2 = 3 , M 13 = 2 1 1 1 = 1 , M 21 = −1 1 1 2 = −3 , M 22 = 1 1 1 2 = 1 , M 23 = 1 −1 1 1 = −2 , M 31 = −1 1 1 1 = −2 , M 32 = 1 1 2 1 = −1 , M 33 = 1 −1 2 1 = 3 . Замечание 5.1 Алгебраические дополнения A ij квадратной матрицы n–го по- рядка A связаны с алгебраическими дополнениями A T ij транспонированной к ней матрицы A T соотношением A ij = A T ji (i, j = 1, 2, . . . , n) . (5.2) Доказательство. В самом деле, согласно (5.1) алгебраическое дополнение A ij матрицы A имеет вид A ij = (−1) i +j M ij , 47 где M ij — определитель матрицы (n − 1)–го порядка M, получаемой из A вычер- киванием i–й строки и j–го столбца. Аналогично, A T ji = (−1) j +i ˜ M ji , где ˜ M ji — определитель матрицы (n − 1)–го порядка ˜ M , получаемой из A T вы- черкиванием j–й строки и i–го столбца. Но j–я строка матрицы A T является в то же время j–м столбцом матрицы A, а i–й столбец A T является i–й строкой A. Поэтому ˜ M = M T и, согласно Теореме 4.1, ˜ M ji = M T = |M| = M ij Следовательно, A ij = A T ji Теорема 5.1 7 Определитель ∆ n квадратной матрицы равен сумме произведе- ний элементов любой строки на их алгебраические дополнения, т. е. ∆ n = n X s =1 a is A is (i = 1, 2, . . . , n) . (5.3) Доказательство. Рассмотрим произвольный определитель n–го порядка ∆ n = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n a n 1 a n 2 . . . a nn (5.4) Каждый член определителя обязательно содержит в виде сомножителя только один из элементов его первой строки a 1j (j = 1, 2, . . . , n). Следовательно, (5.4) можно представить в виде суммы ∆ n = a 11 ¯ A 11 + a 12 ¯ A 12 + . . . + a 1n ¯ A 1n (5.5) Рассмотрим множитель ¯ A 11 при элементе a 11 . Очевидно, что он представляет со- бой алгебраическую сумму (n − 1)! членов, каждый из которых является произ- ведением (n − 1) матричных элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца исходного определителя за исключением первой строки и перво- го столбца, на пересечении которых располагается сам элемент a 11 . Упорядочим матричные элементы в этих произведениях таким образом, чтобы их первые ин- дексы располагались в порядке возрастания: a 2α 2 a 3α 3 . . . a nα n . Поскольку второй индекс элемента a 11 (α 1 = 1) не образует инверсий в перестановке α 1 , α 2 , . . . , α n , составленной из вторых индексов матричных элементов в каждом из содержащих a 11 членов a 11 a 2α 2 a 3α 3 . . . a nα n исходного определителя ∆ n , то очевидно, что знак каждого члена в выражении для ¯ A 11 определяется как (−1) N , где N — число инверсий в перестановке α 2 , α 3 , . . . , α n из (n − 1) номеров столбцов матричных элементов в произведении a 2α 2 a 3α 3 . . . a nα n , если при этом номера строк образуют 7 Данная теорема является частным случаем теоремы Лапласа. 48 возрастающую последовательность (n − 1) чисел (2, 3, . . . , n). Но тогда ¯ A 11 пред- ставляет собой не что иное, как определитель (n − 1)–го порядка, получающийся из исходного вычеркиванием 1–й строки и 1–го столбца, т. е. минор матричного элемента a 11 : ¯ A 11 = M 11 Найдем теперь множитель ¯ A 12 при элементе a 12 в сумме (5.5). Для этого по- меняем местами 1–й и 2–й столбцы определителя (5.4). Тогда в преобразованном определителе элемент a 12 займет положение элемента a 11 исходного определителя. Используя Теорему 4.2, Замечание 4.1 и представление (5.5) исходного определи- теля (5.4), получаем: a 12 a 11 . . . a 1n a 22 a 21 . . . a 2n a n 2 a n 1 . . . a nn = −∆ n = −a 11 ¯ A 11 − a 12 ¯ A 12 − . . . − a 1n ¯ A 1n (5.6) Повторяя рассуждения, приведенные ранее при определении ¯ |