Белоусов. Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43
 Скачать 491.18 Kb.
|
|
чтобы 2–я строка содержала только один отличный от нуля матричный элемент. Для этого элементы 3–го столбца умножим на −13 и прибавим к соответствующим элементам 1–го столбца, а затем умножим элементы 3–го столбца на 4 и прибавим к соответствующим элементам 2–го столбца. Разложив преобразованный опреде- литель по элементам 3–го столбца, найдем: ∆ 4 = −40 18 4 0 0 1 −88 36 6 = 1 · (−1) 2+3 −40 18 −88 36 Элементы 1–го столбца полученного определителя 2–го порядка кратны числу −8, а элементы второго столбца — числу 18. Вынося эти числа за знак определителя, получим окончательно: ∆ 4 = (−1) · (−8) · 18 5 1 11 2 = 8 · 18 · (10 − 11) = −144 . 7 Обратная матрица Для любого числа a 6= 0 существует обратное число a − 1 , такое, что aa − 1 = a − 1 a = 1. Аналогичное понятие удается ввести и для некоторых квадратных мат- риц. Пусть A — квадратная матрица n–го порядка, а E — единичная матрица того же порядка. Определение Матрица B называется правой обратной к матрице A, если в результате умножения A на B справа получается единичная матрица того же порядка, что и A, т. е. AB = E . (7.1) Определение Матрица C называется левой обратной к матрице A, если в ре- зультате умножения A на C слева получается единичная матрица того же порядка, что и A, т. е. CA = E . (7.2) Очевидно, что обратные матрицы B и C сами являются квадратными и того же порядка, что и A. Введение двух обратных матриц (правой и левой), а не одной, 58 как это имеет место в случае обычных чисел, связано с отсутствием свойства коммутативности при перемножении матриц. Нетрудно, однако, убедиться в том, что если определенные согласно (7.1) и (7.2) матрицы B и C существуют, то они совпадают между собой, т. е. C = B. Действительно, т. к. порядки матриц B, C и E совпадают, то согласно (2.12) CE = C и EB = B . Тогда, учитывая свойство ассоциативности при перемножении матриц (см. стр. 14), получаем: C = CE = C (AB) = (CA) B = EB = B . Докажем, что матрица B, удовлетворяющая условиям AB = BA = E , является единственной. Предположим, что существует такая матрица Q 6= B, что AQ = = QA = E. Но тогда Q = QE = Q (AB) = (QA) B = EB = B, т. е. мы пришли к противоречию. Таким образом, матрица Q 6= B, удовлетворяющая условиям AQ = QA = E, не существует. Принимая во внимание единственность матрицы B, являющейся как правой, так и левой обратной к матрице A, в дальнейшем мы будем опускать термины “пра- вая” и “левая” и говорить просто об обратной матрице, которую мы по аналогии с обычными числами обозначим символом A − 1 . Тогда, имея в виду соотношения (7.1) и (7.2), мы приходим к следующему определению обратной матрицы: Определение Квадратная матрица A − 1 называется обратной к матрице A, если в результате умножения A на A − 1 как справа, так и слева, получается еди- ничная матрица того же порядка, что и A, т. е. AA − 1 = A − 1 A = E . (7.3) 7.1 Необходимое и достаточное условия существования об- ратной матрицы Условие a 6= 0 является необходимым и достаточным для существования об- ратного числа a − 1 . Выясним условия существования обратной матрицы. Предва- рительно введем понятие невырожденной квадратной матрицы. Определение Квадратная матрица A, определитель которой |A| отличен от нуля (|A| 6= 0), называется невырожденной; в противном случае (т. е. когда |A| = 0) матрица называется вырожденной 8 Согласно Следствию 1 из Теоремы 4.4 • произведение матриц, хотя бы одна из которых вырожденная, является вы- рожденной матрицей; 8 Невырожденную матрицу также называют неособенной, а вырожденную матрицу — особен- ной 59 • произведение любых невырожденных матриц является невырожденной мат- рицей. Теорема 7.1 Обратная матрица A − 1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица A невырожденная. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что квадратная матрица A имеет обратную A − 1 Тогда, согласно определению (7.3), A − 1 A = = AA − 1 = E. Применяя к произведению A − 1 A формулу (4.17), получим A − 1 |A| = A − 1 A = |E| = 1 . Следовательно, |A − 1 | 6= 0 и |A| 6= 0. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть |A| 6= 0. Покажем, что в этом случае существует обратная матрица A − 1 , определяемая равенствами (7.3). Для этого перепишем (5.9) и (5.11) в виде: n X s =1 a is A js = n X s =1 a sj A si = |A| δ ij (i, j = 1, 2, . . . , n) . (7.4) Разделим (7.4) на |A| и введем в рассмотрение матрицу B = 1 |A| ˜ A . (7.5) Матрицу n–го порядка ˜ A = (˜ a ij ) с элементами ˜a ij = A ji , составленными из ал- гебраических дополнений A ij матрицы A (i, j = 1, 2, . . . , n), в дальнейшем будем называть присоединенной. Ее явный вид: ˜ A = A 11 A 21 . . . A n 1 A 12 A 22 . . . A n 2 A 1n A 2n . . . A nn (7.6) С помощью (7.5) равенства (7.4) можно переписать в виде n X s =1 a is b sj = n X s =1 b is a sj = δ ij (i, j = 1, 2, . . . , n) . (7.7) или представить в матричной форме 9 : AB = BA = E . (7.8) Сравнивая (7.3) и (7.8) и принимая во внимание, что обратная матрица A − 1 , если она существует, является единственной, получаем, что A − 1 = B. Теорема доказана. 9 Из формул (2.13) и (5.10) видно, что матричные элементы единичной матрицы n–го порядка E = (e ij ) можно представить с помощью символа Кронекера: e ij = δ ij (i, j = 1, 2, . . . , n). 60 Заметим, что присоединенную матрицу легко получить, если исходную матри- цу A сначала транспонировать, а затем в транспонированной матрице A T заменить все матричные элементы a T ij их алгебраическими дополнениями A T ij . В самом де- ле, учитывая что согласно Замечанию 5.1 A T ij = A ji для всех i, j = 1, 2, . . . , n, в результате такого преобразования мы придем к матрице (7.6). Для нахождения обратной матрицы необходимо выполнить следующую после- довательность действий: 1. Найти определитель |A| исходной матрицы A. Если |A| = 0, то матрица A вырожденная и, следовательно, обратная матрица A − 1 не существует. Если |A| 6= 0, то матрица A невырожденная и обратная матрица A − 1 существует. 2. Транспонировать исходную матрицу A. 3. Заменить в в транспонированной к A матрице A T все элементы a T ij их алгеб- раическими дополнениями A T ij . В результате получим присоединенную мат- рицу ˜ A. 4. Найти обратную матрицу A − 1 умножив ˜ A на число 1/ |A|: A − 1 = 1 |A| ˜ A . (7.9) 5. Проверить правильность вычисления обратной матрицы A − 1 , используя ее определение (7.3). Пример 7.1 Найти матрицу, обратную к A = 1 −1 1 2 1 1 1 1 2 (7.10) Решение. 1. Определитель матрицы |A| = 5 6= 0 (см. Пример 3.3), т. е. матрица A — невырожденная и обратная матрица A − 1 существует. 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A: A 11 = 1, A 12 = −3, A 13 = 1, A 21 = 3, A 22 = 1, A 23 = −2, A 31 = −2, A 32 = 1, A 33 = 3 . 3. Составим обратную матрицу с помощью формул (7.9) и (7.6): A − 1 = 1 5 1 3 −2 −3 1 1 1 −2 3 (7.11) 61 4. Перемножая матрицы (7.10) и (7.11), убеждаемся в правильности получен- ного результата. Недостатком сформулированного метода построения обратной матрицы явля- ется его громоздкость. Действительно, если исходная матрица A n–го порядка, то для нахождения A − 1 необходимо вычислить один определитель n–го порядка и n 2 алгебраических дополнений, т. е. определителей (n − 1)–го порядка. 7.2 Нахождение обратной матрицы с помощью элементар- ных преобразований строк Рассмотрим другой, менее трудоемкий способ отыскания обратной матрицы, который в дальнейшем будем называть методом элементарных преобразований строк матрицы. Выполним следующее преобразование исходной матрицы A. Умножим ее i– ю строку (i = 1, 2, . . . , n) на некоторое число λ ii , а все оставшиеся (j–е) строки (j = 1, 2, . . . , n; j 6= i) прибавим к i–й строке, предварительно умножив их на некоторые числа λ ij . Очевидно, что данное преобразование можно представить как переход от матрицы A к матрице F = ΛA, где Λ = (λ ij ): λ ii a is + n X j =1 (j6=i) λ ij a js = n X j =1 λ ij a js = f is (s = 1, 2, . . . , n) . (7.12) Рассмотрим некоторые частные случаи преобразования (7.12). 1. Пусть λ ij = λ ii δ ij , т. е. отличными от нуля могут быть только диагональные элементы матрицы Λ. Очевидно, что в данном случае преобразование (7.12) эквивалентно умножению строк исходной матрицы на числа λ ii : f is = λ ii a is 2. Пусть λ ij = 1 при i = j , λ при i = k, j = l , 0 во всех остальных случаях , где λ — некоторое действительное число, а k и l — фиксированные числа, принимающие значения 1, 2, . . . ,n, причем k 6= l. В этом случае f is = a ks + λa ls при i = k , a is при i 6= k , т. е. преобразованная матрица отличается от исходной тем, что ко всем эле- ментам k–й строки прибавляются соответствующие элементы l–й строки, умноженные на число λ. 62 3. Пусть λ ij = 1 при i = k, j = l , 1 при i = l, j = k , 1 при i = j 6= k, l , 0 во всех остальных случаях , где k и l — некоторые фиксированные числа, принимающие значения 1, 2,. . . ,n, причем k 6= l. Тогда f is = a ls при i = k , a ks при i = l , a is при i 6= k, l , т. е. преобразованная матрица отличается от исходной тем, что на месте k–й строки в ней располагается l–я, а на месте l–й — k–я. Иными словами, в результате преобразования k–я и l–я строки поменялись местами. Выберем числа λ ij таким образом, чтобы преобразованная матрица оказалась единичной: F = E . (7.13) Последнее равенство означает, что матричные элементы f ij = δ ij (i, j = 1, 2, . . . , n) . (7.14) Возникает естественный вопрос: существуют ли в действительности такие числа λ ij (i, j = 1, 2, . . . , n), что в результате указанного преобразования исходная мат- рица A переходит в единичную? Для того, чтобы ответить на него, перепишем равенство (7.13) с учетом определения матрицы F : ΛA = E . (7.15) Таким образом, преобразование (7.12), (7.14) существует, если существует матри- ца Λ, удовлетворяющая условию (7.15). Принимая во внимание определение (7.3) обратной матрицы A − 1 , ее единственность и Теорему 7.1, приходим к заключению, что преобразование (7.12), (7.14) существует и единственно, если исходная матри- ца A является невырожденной, причем Λ = A − 1 (7.16) Образуем теперь расширенную матрицу (A|E), объединяющую исходную ма- трицу A и единичную матрицу E той же размерности, что и A. Преобразуем (A|E) указанным выше способом. Учитывая (7.16) и (7.3), имеем: Λ (A|E) = (ΛA|ΛE) = (E|Λ) = E|A − 1 , т. е., в результате преобразования матрица (A|E) переходит в матрицу (E|A − 1 ): (A|E) Λ −→ E|A − 1 Таким образом, если удается отыскать преобразование исходной матрицы A, переводящее ее в единичную, то это же преобразование переводит единичную матрицу в матрицу, обратную к A. Указанное преобразование может состоять из ряда последовательных операций: 63 1. Умножения любой строки на число λ 6= 0. 2. Прибавление любой строки, умноженной на число λ, к другой строке. При этом остальные строки остаются неизменными. 3. Перестановки двух строк между собой. При этом остальные строки оста- ются неизменными. Определение Расширенные матрицы (A|B) и (A 1 |B 1 ) называются эквива- лентными по строкам и обозначаются (A|B) Λ ∼ (A 1 |B 1 ) , если (A 1 |B 1 ) получается из (A|B) конечным числом элементарных преобразований типа 1–3. Пример 7.2 Методом элементарных преобразований строк найти матрицу, обратную к данной (см. Пример 7.1): A = 1 −1 1 2 1 1 1 1 2 (7.17) Решение. Составим расширенную матрицу 1 −1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (7.18) Преобразуем ее таким образом, чтобы матрица в левой части (7.18) превратилась в единичную. Сначала добьемся, чтобы в нуль обратились все элементы левой мат- рицы, расположенные ниже диагонального элемента a 11 = 1. Для этого умножим первую строку (7.18) на −2 и прибавим ее ко второй строке. Затем, умножим ту же строку на −1 и прибавим ее к третьей строке. В результате придем к матрице 1 −1 1 0 3 −1 0 2 1 1 0 0 −2 1 0 −1 0 1 (7.19) Разделив вторую строку (7.19) на число 3, получим: 1 −1 1 0 1 −1/3 0 2 1 1 0 0 −2/3 1/3 0 −1 0 1 (7.20) Преобразуем (7.20) таким образом, чтобы все элементы левой матрицы, располо- женные выше и ниже диагонального элемента a 22 = 1, обратились в нули. Для этого сначала прибавим вторую строку расширенной матрицы (7.20) к ее первой 64 строке, а затем, предварительно умножив ту же строку на −2, прибавим ее к третьей строке. Получим: 1 0 2/3 0 1 −1/3 0 0 5/3 1/3 1/3 0 −2/3 1/3 0 1/3 −2/3 1 (7.21) Умножим третью строку (7.21) на число 3/5: 1 0 2/3 0 1 −1/3 0 0 1 1/3 1/3 0 −2/3 1/3 0 1/5 −2/5 3/5 (7.22) Преобразуем (7.22) таким образом, чтобы все элементы левой матрицы, распо- ложенные выше диагонального матричного элемента a 33 = 1 обратились в нули. Для этого умножим третью строку матрицы (7.22) на −2/3 и прибавим ее к пер- вой строке. Затем, умножив ту же строку на 1/3, прибавим ее ко второй строке. Найдем: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1/5 3/5 −2/5 −3/5 1/5 1/5 1/5 −2/5 3/5 (7.23) Матрица в левой части (7.23) является единичной. Следовательно, в правой части (7.23) располагается обратная к A матрица. Вынося общий множитель 1/5 всех элементов A − 1 за знак матрицы, найдем окончательно: A − 1 = 1 5 1 3 −2 −3 1 1 1 −2 3 Этот результат совпадает с полученным другим методом в Примере 7.1. Пример 7.3 Методом элементарных преобразований строк найти матрицу, обратную к данной: B = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 (7.24) Решение. Составим расширенную матрицу 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (7.25) Преобразуем ее таким образом, чтобы матрица в левой части (7.25) превратилась в единичную. Сначала добьемся, чтобы в нуль обратились все элементы левой мат- рицы, расположенные ниже диагонального элемента a 11 = 1. Для этого умножим вторую строку (7.25) на −1 и прибавим ее к первой строке: 1 0 −1 0 1 1 0 0 1 1 −1 0 0 1 0 0 0 1 (7.26) 65 Теперь добьемся, чтобы в нуль обратились все элементы в левой части (7.26), рас- положенные выше диагонального элемента a 33 = 1. Для этого сначала прибавим третью строку расширенной матрицы (7.26) к первой строке, а затем вычтем ее из второй строки: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 −1 1 0 1 −1 0 0 1 (7.27) В левой части (7.27) — единичная матрица, следовательно, в правой части (7.27) располагается матрица, обратная к (7.24): B − 1 = 1 −1 1 0 1 −1 0 0 1 Перемножая B и B − 1 , получим единичную матрицу третьего порядка, что под- тверждает правильность полученного результата. Пример 7.4 Методом элементарных преобразований строк найти матрицу, об- ратную к матрице C = 0 1 1 2 Решение. Составим расширенную матрицу 0 1 1 2 1 0 0 1 (7.28) Преобразуем ее таким образом, чтобы матрица в левой части (7.28) превратилась в единичную. Сначала поменяем местами 1–ю и 2–ю строки расширенной мат- рицы: 1 2 0 1 0 1 1 0 (7.29) Добьемся, чтобы элемент в левой части (7.29), расположенный выше диагонально- го элемента a 33 = 1, обратился в нуль. Для этого умножим вторую строку матрицы (7.29) на −2 и прибавим ее к первой строке: 1 0 0 1 −2 1 1 0 Таким образом, C − 1 = −2 1 1 0 Перемножая C и C − 1 убеждаемся, что CC − 1 = E. Пример 7.5 Методом элементарных преобразований строк найти матрицу, обратную к матрице D = 1 2 1 2 3 2 1 2 1 , (7.30) если она существует. 66 Решение. Составим расширенную матрицу 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (7.31) Преобразуем ее таким образом, чтобы матрица в левой части (7.31) превратилась в единичную. Сначала добьемся, чтобы в нуль обратились все элементы левой матрицы, расположенные ниже диагонального элемента a 11 = 1. Для этого умно- жим первую строку (7.31) на −2 и прибавим ее ко второй строке. Затем умножим первую строку (7.31) на −1 и прибавим ее к третьей. Получим: 1 2 1 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 −2 1 0 −1 0 1 (7.32) Третья строка матрицы в левой части (7.32) состоит из одних нулей. Поэтому нет никакой возможности, используя элементарные преобразования, привести эту матрицу к единичной. Следовательно, обратная к (7.30) матрица не существует. Действительно, матрица (7.30) содержит две одинаковые строки и согласно След- ствию из Теоремы 4.2, ее определитель равен нулю. Таким образом, матрица (7.30) является вырожденной. Согласно Теореме 7.1, для такой матрицы не существует обратной. Пример 7.6 Методом элементарных преобразований строк найти матрицу, обратную к диагональной матрице F = |