Вычисление определителей
 Скачать 9.09 Mb.
|
|
18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 1/16 Преподаватель: Филиппов С.Д. Специальность: 080200.62 - Менеджмент Группа: Мт-153 Дисциплина: Математика Идентификатор студента: Бормотов Владислав Олегович Логин: 05ps1845111 Начало тестирования: 2013-12-16 17:22:51 Завершение тестирования: 2013-12-16 17:50:35 Продолжительность тестирования: 27 мин. Заданий в тесте: 25 Кол-во правильно выполненных заданий: 7 Процент правильно выполненных заданий: 28 % ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам Тема: Вычисление определителей Определитель равный нулю может иметь вид … Решение: Вычислим каждый из определителей, например, разложением по последнему столбцу: 1) 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 2/16 2) 3) 4) ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам Тема: Линейные операции над матрицами Дана матрица Если где E – единичная матрица того же размера, что и матрица A, то матрица B равна … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 3/16 ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам Тема: Умножение матриц Даны матрицы и Тогда существует произведение матриц … ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы равен … 1 2 3 0 Решение: Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях, поэтому столбцы и строки матрицы можно менять местами, складывать, вычитать, умножать на числа, отличные от 0, с целью приведения её к диагональному виду. Число ненулевых элементов главной диагонали будет равно рангу матрицы. В данном случае сначала удобнее обнулить элементы первого столбца под первым элементом первой строки и т.д.: Только один диагональный элемент ненулевой, поэтому ранг матрицы 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 4/16 ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам Тема: Обратная матрица Для матрицы существует обратная, если a равно … 1 – 1 ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы линейных уравнений Система совместна и неопределенна, если равно … 1 2 – 1 – 2 Решение: Система линейных уравнений совместна, если ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Расширенная матрица системы имеет вид Вычислим минор третьего порядка этой матрицы не содержащий элемент : 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 5/16 Вычислим минор второго порядка этой матрицы не содержащий элемент : Ранг расширенной матрицы равен двум. Тогда ранг матрицы системы должен быть равен двум (определитель матрицы системы равен нулю, так как минор второго порядка не равный нулю существует). Из этого условия находим : Значит ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Точка симметрична точке относительно биссектрисы первого координатного угла. Тогда точка M имеет координаты … Решение: Середина отрезка АМ лежит на биссектрисе первого координатного угла и имеет координаты Так как то Следовательно, получаем точку которая лежит на прямой то есть ее координаты будут равны 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 6/16 ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямая на плоскости Прямые и … перпендикулярны пересекаются под острым углом совпадают параллельны Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между двумя прямыми: и Тогда Следовательно, угол между прямыми равен то есть прямые перпендикулярны. ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам Тема: Кривые второго порядка Центр окружности имеет координаты … Решение: Окружность радиуса R с центром в точке задается на плоскости уравнением Выделим в уравнении полные квадраты: или 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 7/16 Тогда центр окружности имеет координаты ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам Тема: Плоскость в пространстве Плоскости и перпендикулярны при значении m, равном … Решение: Плоскости, заданные общими уравнениями и перпендикулярны при условии, что Тогда то есть ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямая линия в пространстве Параметрические уравнения прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку имеют вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 8/16 ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам Тема: Область определения функции Область определения функции имеет вид … Решение: Данная функция определена, если То есть или ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам Тема: Предел функции Предел равен … – 2 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 9/16 2 0 Решение: Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Не является непрерывной на отрезке функция … Решение: На отрезке не является непрерывной функция Действительно, вычислив точки разрыва данной функции, приравняв к нулю знаменатель: видим, что Точки разрыва остальных функций не принадлежат рассматриваемому отрезку. 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 10/16 ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные первого порядка Производная функции равна … ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные высших порядков Производная второго порядка функции равна … Решение: Вычислим производную первого порядка: Тогда производная второго порядка вычисляется как производная от 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 11/16 производной первого порядка, то есть ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях Дифференциал функции равен … Решение: Дифференциал функции выражается формулой Тогда вычислив получаем, что ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП Уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 12/16 Решение: Уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой имеет вид Вычислим последовательно и Тогда уравнение касательной примет вид или ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам Тема: Асимптоты графика функции Наклонная асимптота графика функции задается уравнением вида … при при при при Решение: Прямая является наклонной асимптотой графика функции при если существуют конечные пределы: или, соответственно: Вычислим эти пределы: Следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика данной функции при 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 13/16 То есть при наклонной асимптоты у графика данной функции нет. ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам Тема: Частные производные первого порядка Частная производная функции имеет вид … Решение: При вычислении частной производной по переменной y переменную x рассматриваем как постоянную величину. Тогда ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам Тема: Частные производные высших порядков Частная производная второго порядка функции имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 14/16 ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам Тема: Полный дифференциал ФНП Приближенное значение функции в точке вычисленное с помощью полного дифференциала, равно … 0,51 1,71 4,29 0,45 ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам Тема: Непосредственное интегрирование Множество первообразных функции имеет вид … Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 15/16 ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам Тема: Замена переменной в неопределенном интеграле Множество первообразных функции имеет вид … Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда Произведем замену ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845111 16/16 Тема: Интегрирование по частям в неопределенном интеграле Множество первообразных функции имеет вид … Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции методом интегрирования по частям по формуле Тогда 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 1/17 Преподаватель: Филиппов С.Д. Специальность: 080200.62 - Менеджмент Группа: Мт-153 Дисциплина: Математика Идентификатор студента: Кашина Яна Федоровна Логин: 05ps1845116 Начало тестирования: 2013-12-15 13:07:29 Завершение тестирования: 2013-12-15 13:25:30 Продолжительность тестирования: 18 мин. Заданий в тесте: 25 Кол-во правильно выполненных заданий: 8 Процент правильно выполненных заданий: 32 % ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам Тема: Вычисление определителей Определитель равен … 91 97 83 89 ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам Тема: Линейные операции над матрицами Дана матрица Если то матрица B равна … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 2/17 Решение: При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на данное число. При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга. В данном случае: ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам Тема: Умножение матриц Даны матрицы и Тогда матрица имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 3/17 ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы равен единице. Тогда матрица может иметь вид … Решение: Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. 1) Матрица имеет ненулевой минор третьего порядка, Следовательно, ее ранг будет равен трем. 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 4/17 2) Матрица имеет ненулевой минор второго порядка, например, а минор третьего порядка так как первая и третья строки одинаковы. Следовательно, ее ранг будет равен двум. 3) Матрица имеет ненулевой минор второго порядка, например, а минор третьего порядка так как третья строка состоит из нулевых элементов. Следовательно, ее ранг будет равен двум. 4) Матрица имеет ненулевой минор первого порядка, а все миноры более высокого порядка равны нулю. Следовательно, ее ранг будет равен единице. ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам Тема: Обратная матрица Обратная матрица существует, при для матрицы … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 5/17 Решение: Матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю. Тогда 1) так как первая и третья строки пропорциональны, следовательно, обратная матрица не существует. 2) так как все строки одинаковые, следовательно, обратная матрица не существует. 3) так как первая и вторая строки пропорциональны, следовательно, обратная матрица не существует. 4) следовательно, обратная матрица существует. ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы линейных уравнений Решение системы линейных уравнений методом Крамера может иметь вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 6/17 Решение: Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными определитель которой находится по формулам Крамера где – определитель, полученный из определителя системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. То есть ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Расстояние между точками и равно 2 при k, равном … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 7/17 1 3 – 1 – 5 ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямая на плоскости Даны точки и Тогда уравнение прямой, проходящей через точку и середину отрезка AB имеет вид … ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам Тема: Кривые второго порядка Расстояние между фокусами гиперболы равно … 10 7 5 2,5 Решение: Фокусы гиперболы, заданной каноническим уравнением имеют координаты и где Тогда То есть расстояние между двумя точками и равно 10. 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 8/17 ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам Тема: Плоскость в пространстве Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям и имеет вид … Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором имеет вид: В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение нормальных векторов плоскостей и Тогда или Подставляя в уравнение плоскости координаты точки и вектора получим: или ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямая линия в пространстве Точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 9/17 Решение: Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: , то есть Подставим полученные уравнения в уравнение плоскости Тогда или Подставляя значение параметра в систему параметрических уравнений , найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам Тема: Область определения функции Область определения функции имеет вид … Решение: Данная функция определена, если определен то есть и подкоренное выражение в знаменателе положительно, то есть Тогда Следовательно, область определения данной функции будет иметь вид ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам Тема: Предел функции 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 10/17 Предел равен … 0 – 3 Решение: Для раскрытия этой неопределенности умножим и разделим выражение на сопряженное, то есть на ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Для функции точка является точкой … непрерывности разрыва второго рода разрыва первого рода устранимого разрыва ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные первого порядка Неявная функция определяется как решение уравнения 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 11/17 Тогда производная первого порядка при равна … 0 1 ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные высших порядков Функция задана в параметрическом виде Тогда производная второго порядка функции по переменной x имеет вид … ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях Для вычисления предела один раз применили правило Лопиталя. Тогда предел примет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845116 12/17 Решение: Так как то при помощи алгебраических преобразований получим неопределенность вида или Тогда можно воспользоваться формулой вида что приводит к пределу: ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП Точка перегиба графика функции имеет вид … |