Вычисление определителей
 Скачать 9.09 Mb.
|
|
Кол-во правильно выполненных заданий: 7 Процент правильно выполненных заданий: 28 % ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам Тема: Вычисление определителей Определитель равный нулю может иметь вид … Решение: Вычислим каждый из определителей, например, разложением по последнему столбцу: 1) 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 2/16 2) 3) 4) ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам Тема: Линейные операции над матрицами Дана матрица Если то матрица B равна … ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 3/16 Тема: Умножение матриц Даны матрицы и Тогда существует произведение матриц … Решение: Произведением матрицы A размера на матрицу B размера называется матрица D размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, то есть число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй. Данное условие выполняется для произведения ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы равен … 3 1 2 0 ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам Тема: Обратная матрица 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 4/16 Для матрицы не существует обратной, если x равно … ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы линейных уравнений Система совместна и неопределенна, если равно … 1 2 – 1 – 2 ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Даны точки и Тогда координаты точки симметричной точке B относительно точки A, равны … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 5/16 ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямая на плоскости Прямая отсекает на оси Oy отрезок и имеет угловой коэффициент Тогда ее уравнение имеет вид … ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам Тема: Кривые второго порядка Вершина параболы имеет координаты … ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам Тема: Плоскость в пространстве Геометрическое место точек, удаленных от плоскости на 2 единицы, может иметь вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 6/16 Решение: Расстояние от точки до плоскости находится по формуле или Тогда Отсюда можно получить общее уравнение плоскости, например, в виде ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямая линия в пространстве Угол между прямой и плоскостью равен … Решение: Синус угла между прямой и плоскостью находится как Тогда острый угол между прямой и плоскостью 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 7/16 ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам Тема: Область определения функции Область определения функции имеет вид … Решение: Данная функция определена, если Тогда Следовательно, область определения данной функции будет иметь вид: ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам Тема: Предел функции Предел равен … 1 Решение: 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 8/16 Данный предел можно вычислить с использованием второго замечательного предела и его следствий вида Тогда ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Функция не является непрерывной на отрезке … Решение: Данная функция определена и непрерывна на каждом из интервалов и меняет свое аналитическое выражение в точках и Поэтому функция может иметь разрыв только в этих точках. Исследуем их на непрерывность. Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке: и 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 9/16 Так как то точка является точкой непрерывности данной функции. Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке: и Так как то точка является точкой разрыва первого рода. Таким образом, область определения функции имеет вид Тогда функция не является непрерывной на отрезке ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные первого порядка Неявная функция определяется как решение уравнения Тогда производная первого порядка при равна … 0 1 Решение: Продифференцируем по x обе части уравнения Тогда Решим последнее уравнение относительно получаем Подставив значение в уравнение получаем то есть Тогда 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 10/16 ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные высших порядков Производная третьего порядка функции равна … Решение: Вычислим производную первого порядка: Вычислим производную второго порядка как производную от производной первого порядка: Тогда производная третьего порядка вычисляется как производная от производной второго порядка, то есть ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях Дана функция Тогда больший действительный корень производной этой функции принадлежит промежутку … Решение: 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 11/16 Эта функция представляет собой полином пятого порядка и дифференцируема на всей числовой оси. Согласно теореме Ролля между двумя корнями (нулями) этой функции находится по крайней мере один корень ее производной. Поскольку представляет собой полином (4-го порядка), то между двумя корнями функции находится ровно один корень ее производной Найдем корни функции : Тогда больший действительный корень функции принадлежит интервалу ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП К графику функции в его точке с абсциссой проведена касательная. Тогда площадь треугольника, образованного касательной и отрезками, отсекаемыми ею на осях координат, равна … 4 8 4,5 2,25 Решение: Уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой имеет вид Вычислим последовательно и Тогда уравнение касательной примет вид Эта прямая пересекает оси координат в точках и то есть отсекает на осях координат отрезки, длины которых равны 2 и 4. Следовательно, площадь соответствующего прямоугольного треугольника равна: ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам Тема: Асимптоты графика функции 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 12/16 Вертикальная асимптота графика функции задается уравнением вида … Решение: Прямая является вертикальной асимптотой графика функции если эта функция определена в некоторой окрестности точки и или Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Определим точки разрыва данной функции. Это точки, в которых знаменатель равен нулю, то есть или Однако точки и не принадлежит области определения функции имеющей вид Вычислим односторонние пределы функции в точке и Следовательно, прямая будет вертикальной асимптотой. ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам Тема: Частные производные первого порядка Частная производная функции имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 13/16 Решение: При вычислении частной производной по переменной y переменную x рассматриваем как постоянную величину. Тогда ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам Тема: Частные производные высших порядков Частная производная второго порядка функции имеет вид … Решение: При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда и 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 14/16 ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам Тема: Полный дифференциал ФНП Приближенное значение функции в точке вычисленное с помощью полного дифференциала, равно … 5,002 5,02 5,062 5,001 Решение: Воспользуемся формулой где Вычислим последовательно Тогда ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам Тема: Непосредственное интегрирование Множество первообразных функции имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 15/16 Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам Тема: Замена переменной в неопределенном интеграле Множество первообразных функции имеет вид … Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда Произведем замену 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845149 16/16 ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам Тема: Интегрирование по частям в неопределенном интеграле Множество первообразных функции имеет вид … Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции методом интегрирования по частям по формуле Тогда 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 1/17 Преподаватель: Филиппов С.Д. Специальность: 080200.62 - Менеджмент Группа: Мт-153 Дисциплина: Математика Идентификатор студента: Старков Вячеслав Константинович Логин: 05ps1845127 Начало тестирования: 2013-12-13 18:16:23 Завершение тестирования: 2013-12-13 19:04:41 Продолжительность тестирования: 48 мин. Заданий в тесте: 25 Кол-во правильно выполненных заданий: 5 Процент правильно выполненных заданий: 20 % ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам Тема: Вычисление определителей Определитель равен … – 16 – 22 – 26 – 8 Решение: Вычислим определитель, например, разложением по первой строке: ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам Тема: Линейные операции над матрицами 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 2/17 Даны матрицы и Если то след матрицы C равен … 11 85 12 41 ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам Тема: Умножение матриц Дана матрица Тогда матрица имеет вид … Решение: Произведением матрицы A размера на матрицу B размера называется матрица C размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. Тогда 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 3/17 ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы равен … 3 1 2 4 Решение: Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Так как существуют ненулевые миноры третьего порядка, например: то ранг матрицы равен трем. ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам Тема: Обратная матрица Даны матрицы и Тогда решение матричного уравнения имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 4/17 Решение: Решение матричного уравнения можно представить как: где – обратная матрица. Вычислим последовательно Тогда Следовательно, ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений … имеет бесконечное множество решений не имеет решений имеет два решения имеет единственное решение 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 5/17 Решение: По методу Гаусса приведем расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк к трапецеидальной или треугольной форме. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее: Для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы системы. В этом случае ранг матрицы системы равен двум и ранг расширенной матрицы системы также равен двум. Если ранг матрицы равен количеству неизвестных, то система является определенной, то есть имеет одно решение. Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, т.е. то система неопределенная, то есть имеет больше одного решения. В нашем случае следовательно, система имеет бесконечное множество решений. ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямоугольные координаты на плоскости В треугольнике с вершинами и проведена медиана AM, длина которой равна … 4 16 Решение: Точка M является серединой отрезка BC. Координаты середины отрезка определяются по формулам Подставляя в эти формулы координаты точек и получим координаты точки M: Расстояние между точками A и M можно найти по формуле То есть 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 6/17 ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямая на плоскости Даны точки и Тогда уравнение прямой, проходящей через точку и середину отрезка AB имеет вид … ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам Тема: Кривые второго порядка Эллипсы и пересекаются в точках с абсциссой, равной … 3 1 2 4 Решение: Координаты точек пересечения эллипсов найдем из решения системы . Умножив первое уравнение на 36, второе – на 45, получим . Вычтем из первого уравнения второе: Отсюда 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 7/17 ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам Тема: Плоскость в пространстве Плоскость проходит через точку и отсекает на осях абсцисс и ординат в положительных направлениях отрезки длины 3 и 5 соответственно. Тогда общее уравнение плоскости имеет вид … Решение: Уравнение плоскости «в отрезках» имеет вид где – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно. Подставим в это уравнение значения и координаты точки Тогда и общее уравнение плоскости примет вид ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямая линия в пространстве Даны прямая линия l, заданная уравнением и плоскость заданная уравнением Тогда прямая l … параллельна плоскости принадлежит плоскости перпендикулярна плоскости пересекает плоскость под острым углом Решение: 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 8/17 Направляющий вектор прямой имеет вид а нормальный вектор плоскости Скалярное произведение этих векторов равно нулю: Следовательно, прямая либо параллельна плоскости, либо принадлежит ей. Проверим условие принадлежности прямой плоскости. Для этого подставим координаты точки прямой в уравнение плоскости: То есть координаты точки прямой не удовлетворяют уравнению плоскости (точка не принадлежит плоскости). Таким образом, прямая l параллельна плоскости ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам Тема: Область определения функции Область определения вида соответствует функции … Решение: Решим уравнение , то есть и . Тогда область определения: функции имеет вид функции имеет вид функции имеет вид функции имеет вид То есть правильным будет ответ: 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 9/17 ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам Тема: Предел функции Предел равен … 1 ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Для функции точка является точкой … разрыва первого рода разрыва второго рода непрерывности устранимого разрыва Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845127 10/17 Так как односторонние пределы функции в точке существуют, конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные первого порядка Функция задана в неявном виде Тогда производная первого порядка функции по переменной x имеет вид … ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные высших порядков |