Вычисление определителей
 Скачать 9.09 Mb.
|
|
Следовательно, получаем, что ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам Тема: Предел функции Предел равен … 0 Решение: Разложим числитель и знаменатель на линейные множители как и ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам Тема: Непрерывность функции, точки разрыва 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 9/15 Не является непрерывной на отрезке функция … ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные первого порядка Функция задана в неявном виде Тогда производная первого порядка функции по переменной x имеет вид … Решение: Продифференцируем по обе части уравнения Тогда Решив последнее уравнение относительно получаем: 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 10/15 ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные высших порядков Производная второго порядка функции равна … ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях Приближенное значение функции при вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно … 2,96 2,98 3,04 3,02 ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП Минимум функции равен … 0 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 11/15 Решение: Определим критические точки функции, для чего вычислим производную первого порядка и решим уравнение а именно Тогда Определим производную второго порядка и вычислим ее значения в критических точках: Так как то будет точкой минимума. Следовательно, ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам Тема: Асимптоты графика функции Вертикальная асимптота графика функции задается уравнением вида … Решение: Прямая является вертикальной асимптотой графика функции если эта функция определена в некоторой окрестности точки и или Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Определим точки разрыва данной функции. Это точки, в которых или Однако точка не принадлежит области определения функции имеющей вид Вычислим односторонние пределы функции в точке 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 12/15 и Следовательно, прямая будет вертикальной асимптотой. ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам Тема: Частные производные первого порядка Частная производная функции имеет вид … Решение: При вычислении частной производной по переменной переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам Тема: Частные производные высших порядков Частная производная второго порядка функции имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 13/15 Решение: При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам Тема: Полный дифференциал ФНП Приближенное значение функции в точке вычисленное с помощью полного дифференциала, равно … 0,71 0,41 1,29 0,83 ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам Тема: Непосредственное интегрирование Множество первообразных функции имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 14/15 Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам Тема: Замена переменной в неопределенном интеграле Множество первообразных функции имеет вид … Решение: 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 15/15 Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда Произведем замену ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам Тема: Интегрирование по частям в неопределенном интеграле Множество первообразных функции имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 1/15 Преподаватель: Филиппов С.Д. Специальность: 080200.62 - Менеджмент Группа: Мт-153 Дисциплина: Математика Идентификатор студента: Мухлынин Никита Александрович Логин: 05ps1845123 Начало тестирования: 2013-12-12 21:21:22 Завершение тестирования: 2013-12-12 22:03:58 Продолжительность тестирования: 42 мин. Заданий в тесте: 25 Кол-во правильно выполненных заданий: 8 Процент правильно выполненных заданий: 32 % ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам Тема: Вычисление определителей Корень уравнения равен … – 4i – 4 4 16i Решение: Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки: По условию задачи определитель должен равняться 4x, то есть Следовательно, ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам Тема: Линейные операции над матрицами 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 2/15 Дана матрица Если то матрица B равна … ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам Тема: Умножение матриц Даны матрицы и Тогда матрица имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 3/15 ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы равен единице, если a и b принимают значения … Решение: Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Ранг данной матрицы равен единице, если все миноры второго порядка равны нулю: 1) 2) 3) Получаем систему с двумя неизвестными: ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам Тема: Обратная матрица Для матрицы не существует обратной, если значение x равно … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 4/15 2 – 2 1 – 1 Решение: Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы линейных уравнений Для невырожденной квадратной матрицы A решение системы в матричной форме имеет вид … Решение: Для невырожденной квадратной матрицы A решение системы в матричной форме имеет вид ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямоугольные координаты на плоскости В треугольнике с вершинами и проведена биссектриса AM. Тогда координаты точки M равны … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 5/15 Решение: По формуле найдем длины сторон AB и AC: Так как биссектриса AM делит сторону BC на отрезки, пропорциональные длинам противолежащих сторон, то есть то координаты точки M будут вычисляться по формулам: Тогда и ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямая на плоскости Острый угол между прямыми и равен … ЗАДАНИЕ N 9 отправить сообщение разработчикам Тема: Кривые второго порядка 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 6/15 Парабола, вершина которой находится в начале координат, симметрична относительно оси Ox и проходит через точку Тогда уравнение параболы имеет вид … Решение: Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси Ox имеет вид: где p – параметр параболы. Координаты точки удовлетворяют уравнению параболы, то есть Отсюда Тогда уравнение параболы примет вид ЗАДАНИЕ N 10 отправить сообщение разработчикам Тема: Плоскость в пространстве Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям и имеет вид … Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором имеет вид: В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение нормальных векторов плоскостей и Тогда 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 7/15 или Подставляя в уравнение плоскости координаты точки и вектора получим: или ЗАДАНИЕ N 11 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямая линия в пространстве Прямая и плоскость перпендикулярны при значениях n и A, равных … Решение: Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид: или Отсюда ЗАДАНИЕ N 12 отправить сообщение разработчикам Тема: Область определения функции Область определения функции имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 8/15 Решение: Данная функция определена, если подкоренное выражение в числителе неотрицательно, а знаменатель не равен нулю. Тогда Следовательно, получаем, что ЗАДАНИЕ N 13 отправить сообщение разработчикам Тема: Предел функции Предел равен … 0 Решение: Разложим числитель и знаменатель на линейные множители как и ЗАДАНИЕ N 14 отправить сообщение разработчикам Тема: Непрерывность функции, точки разрыва 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 9/15 Не является непрерывной на отрезке функция … ЗАДАНИЕ N 15 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные первого порядка Функция задана в неявном виде Тогда производная первого порядка функции по переменной x имеет вид … Решение: Продифференцируем по обе части уравнения Тогда Решив последнее уравнение относительно получаем: 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 10/15 ЗАДАНИЕ N 16 отправить сообщение разработчикам Тема: Производные высших порядков Производная второго порядка функции равна … ЗАДАНИЕ N 17 отправить сообщение разработчикам Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях Приближенное значение функции при вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно … 2,96 2,98 3,04 3,02 ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП Минимум функции равен … 0 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 11/15 Решение: Определим критические точки функции, для чего вычислим производную первого порядка и решим уравнение а именно Тогда Определим производную второго порядка и вычислим ее значения в критических точках: Так как то будет точкой минимума. Следовательно, ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам Тема: Асимптоты графика функции Вертикальная асимптота графика функции задается уравнением вида … Решение: Прямая является вертикальной асимптотой графика функции если эта функция определена в некоторой окрестности точки и или Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Определим точки разрыва данной функции. Это точки, в которых или Однако точка не принадлежит области определения функции имеющей вид Вычислим односторонние пределы функции в точке 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 12/15 и Следовательно, прямая будет вертикальной асимптотой. ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам Тема: Частные производные первого порядка Частная производная функции имеет вид … Решение: При вычислении частной производной по переменной переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам Тема: Частные производные высших порядков Частная производная второго порядка функции имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 13/15 Решение: При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам Тема: Полный дифференциал ФНП Приближенное значение функции в точке вычисленное с помощью полного дифференциала, равно … 0,71 0,41 1,29 0,83 ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам Тема: Непосредственное интегрирование Множество первообразных функции имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 14/15 Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам Тема: Замена переменной в неопределенном интеграле Множество первообразных функции имеет вид … Решение: 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845123 15/15 Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда Произведем замену ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам Тема: Интегрирование по частям в неопределенном интеграле Множество первообразных функции имеет вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845124 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845124 1/15 Преподаватель: Филиппов С.Д. Специальность: 080200.62 - Менеджмент Группа: Мт-153 Дисциплина: Математика Идентификатор студента: Овсянников Владислав Вадимович Логин: 05ps1845124 Начало тестирования: 2013-12-15 19:42:24 Завершение тестирования: 2013-12-15 20:03:26 Продолжительность тестирования: 21 мин. Заданий в тесте: 25 Кол-во правильно выполненных заданий: 7 Процент правильно выполненных заданий: 28 % ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам Тема: Вычисление определителей Определитель равен … 0 Решение: Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки: ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам Тема: Линейные операции над матрицами 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845124 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845124 2/15 Даны матрицы и Если то элемент матрицы равен … 60 – 26 70 0 ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам Тема: Умножение матриц Операция умножения матриц обладает свойством … ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы равен единице. Тогда матрица может иметь вид … 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845124 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845124 3/15 Решение: Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. 1) Матрица имеет ненулевой минор третьего порядка, Следовательно, ее ранг будет равен трем. 2) Матрица имеет ненулевой минор второго порядка, например, а минор третьего порядка так как первая и третья строки одинаковы. Следовательно, ее ранг будет равен двум. 3) Матрица имеет ненулевой минор второго порядка, например, а минор третьего порядка так как третья строка состоит из нулевых элементов. Следовательно, ее ранг будет равен двум. 4) Матрица имеет ненулевой минор первого порядка, а все миноры более высокого порядка равны нулю. Следовательно, ее ранг будет равен единице. 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845124 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845124 4/15 ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам Тема: Обратная матрица Даны матрицы и Тогда решение матричного уравнения имеет вид … ЗАДАНИЕ N 6 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы линейных уравнений Базисное решение системы может иметь вид … Решение: По методу Гаусса приведем матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк к трапецеидальной или треугольной форме. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее: 18.12.13 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845124 mypage.i-exam.ru/index.php?menu=show_test&login=05ps1845124 5/15 Следовательно, система может быть записана в виде , где – свободная переменная, а – базисные. Общее решение будет иметь вид: Базисным решением называется всякое решение системы, в котором свободные переменные имеют нулевые значения. Значит ЗАДАНИЕ N 7 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Расстояние между точками и равно 2 при k, равном … 1 3 – 1 – 5 Решение: Расстояние между двумя точками и находится по формуле Тогда расстояние между точками A и B можно найти как Из условия получаем то есть или Следовательно, ЗАДАНИЕ N 8 отправить сообщение разработчикам |