Высшая Математика. Задания. Вычисление определителей, ранга матриц.

• Название: Вычисление определителей, ранга матриц.
• Анкор: Высшая Математика
• Дата: 20.03.2021
• Размер: 148.51 Kb.
• Имя файла: Задания.docx
• Тип: Практическая работа; #186703

Практическая работа № 1

Тема: «Вычисление определителей, ранга матриц.»
Цель работы: научиться выполнять действия над матрицами, вычислять определители.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

или сокращенно: , где (т.е. ) – номер строки, (т.е. ) - номер столбца. Матрицу называют матрицей размера и пишут . Числа , составляющие матрицу, называются ее элементами. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной и обозначается .

Действия над матрицами

Сложение

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц и называется матрица такая, что

( , ).Аналогично определяется разность матриц.
Умножение вектора на число

Произведением матрицы на число kназывается матрица такая, что ( , ).

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы на матрицу на­зывается матрица такая, что

, где ,

т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Тогда произведение не определено, так как число столбцов матрицы А (их 3) не совпадает с числом строк матрицы В (их 2). При этом определено произведение , которое считают следующим образом:

Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. 3.
_2. 4.
Определитель матрицы

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det А (или , или ), называемое ее определителем, следующим образом:
1.

2.

3.
Свойства определителей

Если все элементы некоторого ряда про­порциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Свойство1. («Элементарные преобразования определителей»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответ­ствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
Минором некоторого элемента определителя n-го порядка называется определитель n - 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается . Так если:

то
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается .



Свойство 2. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»).

Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. В случае определителей 3-го порядка свойство 7 означает, что


Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель ∆ = det A≠0. В противном случае (∆ = 0) матрица А называется вырожденной.
Союзная и обратная матрицы

Матрицей союзной к матрице А называется матрица:
A*= ,
где А - алгебраическое дополнение элемента а данной матрицы А. Матрица А называется обратной матрице А, если выполняется условие А·А =А ·А=Е,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Пусть А – невырожденная матрица
A= , и det A≠0.
Составим союзную матрицу
A*=

Тогда A = , т.е. A = · .
Отметим свойства обратной матрицы:

1. 
   det(A ) = ;
   
2. 
   (A·B) =B ·A ;
   
3. 
   (A ) =(A ) .
   

Пример по выполнению практической работы

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. .

Пример 4. Найти определитель матрицы .

Решение:
Пример 5. Вычислить определитель



Ответ: =4.

Пример 7. Найти А , если

Решение:

Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:












Союзная матрица будет следующей: . Вычислим обратную матрицу:

Проверкой убеждаемся, что обратная матрица найдена верно.

Задания для практического занятия:

Даны матрицы А и В. Найти:

1. 
   A+ B, A-B
   
2. 
   C=2A-3B
   
3. 
   AB; BA
   
4. 
   det A; det B
   
5. 
   A‾ ¹, B‾ ¹. Проверить правильность их нахождения умножением :
   

Вариант 1 Вариант 2

A= ; B = ; A = ; B =

Вариант 3 Вариант 4

A = ; B = ; A = ; B = ;
Практическая работа № 2
«Решение систем линейных уравнений методом обратных матриц»

Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом обратной матрицы.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Система линейных уравнений. Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
(1)

где числа , называются коэффициентами системы, числа - свободными членами. Подлежат нахождению числа . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме:
(2)

здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
вектор - столбец из неизвестных
вектор - столбец из свободных членов (3)
Расширенной матрицей системы называется матрица , дополненная столбцом членов
(4)
Решением системы называется значений неизвестных , , , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеетни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему – это значит выяснить, совместна она или не совместна и если система совместна, значит найти ее общее значение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же решение. Эквивалентные системы чаще всего получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Решение систем методом обратных матриц

Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными:

(5)

или в матричной форме . Основная матрица А такойсистемы квадратная. Определитель этой матрицы:



называется главным определителем системы.Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной. Найдем решение данной системы уравнений в случае . Умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим

Поскольку и , то

(6)
Отыскание решения системы по формуле (1) называют методом обратных матриц решения системы.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Решить систему уравнений методом обратных матриц:


Решение:
Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:










Союзная матрица будет следующей: .

Вычислим обратную матрицу:

Найдем решение системы по формуле (6):
.
Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 2; -1)

Задания для практического занятия:
Вариант 1

1. 
   Методом обратных матриц найти решение системы:
   

а) б) в)
Вариант 2

1. 
   Методом обратных матриц найти решение системы:
   

а) б) в)
Вариант 3

1. Методом обратных матриц найти решение системы:

а) б) в)

Вариант 4

1. Методом обратных матриц найти решение системы:

а) б) в)