Высшая Математика. Задания. Вычисление определителей, ранга матриц.
![]()
|
Практическая работа № 1 Тема: «Вычисление определителей, ранга матриц.» Цель работы: научиться выполнять действия над матрицами, вычислять определители. Методические указания по выполнению работы: 1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе. 2. Рассмотрите образцы решения задач по теме. 3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы. Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде ![]() или сокращенно: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Действия над матрицами Сложение Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров. Суммой двух матриц ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Умножение вектора на число Произведением матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Произведение матриц Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В. Тогда произведение ![]() ![]() ![]() Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. ![]() ![]() 2. ![]() ![]() Определитель матрицы Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det А (или ![]() ![]() 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() ![]() Свойства определителей Если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю. Свойство1. («Элементарные преобразования определителей»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число. Минором некоторого элемента ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Алгебраическим дополнением элемента ![]() ![]() ![]() ![]() Свойство 2. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. В случае определителей 3-го порядка свойство 7 означает, что ![]() Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель ∆ = det A≠0. В противном случае (∆ = 0) матрица А называется вырожденной. Союзная и обратная матрицы Матрицей союзной к матрице А называется матрица: A*= ![]() где А ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Пусть А – невырожденная матрица A= ![]() Составим союзную матрицу A*= ![]() Тогда A ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отметим свойства обратной матрицы: det(A ![]() ![]() (A·B) ![]() ![]() ![]() (A ![]() ![]() ![]() ![]() Пример по выполнению практической работы Пример 1. ![]() Пример 2. ![]() Пример 3. ![]() Пример 4. Найти определитель матрицы ![]() Решение: ![]() Пример 5. Вычислить определитель ![]() Ответ: =4. Пример 7. Найти А ![]() ![]() Решение: ![]() ![]() Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Союзная матрица будет следующей: ![]() ![]() ![]() Проверкой ![]() Задания для практического занятия: Даны матрицы А и В. Найти: A+ B, A-B C=2A-3B AB; BA det A; det B A‾ ¹, B‾ ¹. Проверить правильность их нахождения умножением ![]() Вариант 1 Вариант 2 A= ![]() ![]() ![]() ![]() Вариант 3 Вариант 4 A = ![]() ![]() ![]() ![]() Практическая работа № 2 «Решение систем линейных уравнений методом обратных матриц» Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом обратной матрицы. Методические указания по выполнению работы: 1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе. 2. Рассмотрите образцы решения задач по теме. 3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы. Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы Система линейных уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида ![]() где числа ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Расширенной матрицей системы называется матрица ![]() ![]() Решением системы называется ![]() ![]() ![]() ![]() Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеетни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему – это значит выяснить, совместна она или не совместна и если система совместна, значит найти ее общее значение. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же решение. Эквивалентные системы чаще всего получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы. Решение систем методом обратных матриц Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными: ![]() или в матричной форме ![]() ![]() называется главным определителем системы.Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной. Найдем решение данной системы уравнений в случае ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку ![]() ![]() ![]() Отыскание решения системы по формуле (1) называют методом обратных матриц решения системы. Пример по выполнению практической работы Пример 1. Решить систему уравнений методом обратных матриц: ![]() Решение: ![]() ![]() Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Союзная матрица будет следующей: ![]() Вычислим обратную матрицу: ![]() ![]() Найдем решение системы по формуле (6): ![]() Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 2; -1) Задания для практического занятия: Вариант 1 Методом обратных матриц найти решение системы: а) ![]() ![]() ![]() Вариант 2 Методом обратных матриц найти решение системы: а) ![]() ![]() ![]() Вариант 3 1. Методом обратных матриц найти решение системы: а) ![]() ![]() ![]() Вариант 4 1. Методом обратных матриц найти решение системы: а) ![]() ![]() ![]() |