Алгебра геометрия. Векторстрокой называется матрица n x 1

• Название: Векторстрокой называется матрица n x 1
• Анкор: Алгебра геометрия
• Дата: 19.01.2020
• Размер: 392.65 Kb.
• Имя файла: Zloebuchiy_ALGEM_v3_1_Release_version.docx
• Тип: Документы; #104860
• страница: 1 из 8

1. Определение матрицы. Определение матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Свойства алгебраических операций над матрицами.

Матрицей А размера n x m называется набор n*m чисел – элементов матрицы, записанных в виде прямоугольной таблицы. Матрицы бывают следующих видов:

1. 
   Вектор-строкой называется матрица n x 1
   
2. 
   Вектор-столбцом называется матрица 1 x m
   
3. 
   Квадратной матрицей называется матрица m x n при m == n
   
4. 
   Нулевой матрицей называется матрица, где все элементы равны 0
   
5. 
   Диагональной матрицей называется квадратная матрица, где все элементы, кроме стоящих на главной диагонали равны 0
   
6. 
   Единичной матрицей называется диагональная матрица, с 1 на главной диагонали
   
7. 
   Верхней треугольной матрицей называется матрица, где все элементы, ниже главной диагонали равны 0
   
8. 
   Нижней треугольной матрицей называется матрица, где все элементы, выше главной диагонали равны 0
   

Свойства алгебраических операций над матрицами:

1.Сложение и вычитание матриц

• 
  A+(B+C)=(A+B)+C
  
• 
  A+B=B+A
  
• 
  A+0=A
  
• 
  A-0=A
  
• 
  A-A=0
  

2.Свойства умножения матрицы на число

• 
  1*A=A
  
• 
  0*A=0
  
• 
  m*(k*A)=k*(m*A)
  
• 
  (m+k)*A=m*A+k*A
  
• 
  k*(A+B)=k*A+k*B
  

3.Свойства умножения матриц

• 
  A*(B*C)=(A*B)*C
  
• 
  k*(A*B)=(k*A)*B
  
• 
  (A+B)*C=A*C+B*C
  
• 
  C*(A+B)=C*A+C*B
  

4.Транспонирование матрицы

• 
  (A^T)^T=A
  
• 
  (A+B)^T= A^T+B^T
  
• 
  (AB)^T=B^T*A^T
  
• 
  (λA)^T=λA^T
  
• 
  detA=detA^T
  

Операции над матрицами:

1. 
   Сложение матрицы с числом
   
2. 
   Умножение матрицы на число
   
3. 
   Сложение матриц
   
4. 
   Умножение матриц
   
5. 
   Транспонирование матриц
   

2. Определители второго третьего порядков и n-ого порядка. Свойства определителей.

Определитель для квадратной матрицы  – это , где p(n) – это множество перестановок индексов [1…n], а N(p(n)) – кол-во инверсий







1. 
   Минор квадратной матрицы А порядка n – это определитель этой же матрицы порядка n - 1 с исключёнными строкой и столбцом i и j
   
2. 
   Свойства:
   
   1. 
      Асимметричность. Если определитель

D получен путём перестановки строк или столбцов из определителя D, то D = - D

Транспонирование. Значение определителя не изменится, если строки и столбцы определителя поменять местами

Если две строки или два столбца определителя одинаковы, то определитель равен 0

Умножение на число. Умножение элементов любой строки или столбца определителя эквивалентно умножению определителя на это число

Если к элементам любой строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на постоянный коэффициент, то значение определителя не измениться

Если один из строк или столбцов состоит из 0, то определитель равен 0

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали