Алгебра геометрия. Векторстрокой называется матрица n x 1

• Название: Векторстрокой называется матрица n x 1
• Анкор: Алгебра геометрия
• Дата: 19.01.2020
• Размер: 392.65 Kb.
• Имя файла: Zloebuchiy_ALGEM_v3_1_Release_version.docx
• Тип: Документы; #104860
• страница: 8 из 8

29. Эллипс – геометрическое место точек, таких, что сумма расстояний от них до двух фиксированных точек(фокусов) постоянна.

· каноническое уравнение эллипса: x²/a² + y²/b² = 1

· a – длина большой полуоси

· b – длина малой полуоси

· с – фокальное расстояние, с = |F₁F₂|/2

· e - эксцентриситет, e = c/a, для эллипса: 0 ≤ e < 1

· директориальное свойство: отношение расстояний от произвольной точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету

· оптическое свойство эллипса: Если в одном из фокусов поместить источник света, то лучи от этого источника после отражения от поверхности эллипса соберутся в другом фокусе

· директриса эллипса – прямая, перпендикулярная фокальной оси и отстоящая от центра эллипса на расстоянии: а/е

· p – фокальный параметр, длина отрезка, перпендикулярный фокальной оси, один конец которого совпадает с фокусом, а другой лежит на кривой.

30. Гипербола – геометрическое место точек таких, что модуль разности расстояний от этих точек до двух фиксированных точек(фокусов) постоянен

· каноническое уравнение: x²/a² – y²/b² = 1

· вершины - ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы

· а – длина действительной полуоси гиперболы(расстояние между вершинами)

· b – длина мнимой полуоси

· с – фокальное расстояние, с = √(a² + b²)

· асимптоты гиперболы – прямые, к которым стремятся ветви гиперболы при x,y →±∞

· e - эксцентриситет, e = c/a, для гиперболы: e > 1

· директориальное свойство: отношение расстояний от произвольной точки гиперболы до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету

· оптическое свойство гиперболы: Если в одном из двух фокусов гиперболы разместить источник света, то продолжения лучей этого источника после отражения от поверхности гиперболы соберутся в другом фокусе

· директриса гиперболы – прямая, перпендикулярная фокальной оси и отстоящая от центра гиперболы на расстоянии: а/е

· p – фокальный параметр, длина отрезка, перпендикулярный фокальной оси, один конец которого совпадает с фокусом, а другой лежит на кривой.

31. Парабола – геометрическое место точек такое, что расстояние от каждой точки до фиксированной точки(фокуса) одинаково

· каноническое уравнение: y² = px, р > 0

· e - эксцентриситет, е = 1

· p – фокальный параметр, длина отрезка, перпендикулярный фокальной оси, один конец которого совпадает с фокусом, а другой лежит на кривой.

· оптическое свойство параболы: Если в фокус параболы поместить источник света, то лучи после отражения от поверхности параболы пойдут параллельным пучком.

32.

· Привидение кривой второго порядка к каноническому виду:

1. составляем матрицу из коэффициентов квадратичной части и находим собственные вектора

2. избавляем от смешанного произведения за счет перехода к новому базису, состоящему из собственных векторов

3. выяснить угол исходной кривой(при необходимости)

4. выделить полные квадраты(при необходимости)

· Классификация кривых второго порядка:

a₁₁x² + a₂₂y² + 2a₁₂xy + 2a₁₃x + 2a₁₃y + a₃₃ = 0, a₁₁ ≥ 0

путем выделения квадратов избавляемся от линейной части:

1. a₁₁ > 0, a₂₂ > 0:

1. a₁₁x² + a₂₂y² = 1 - эллипс

2. a₁₁x² + a₂₂y² = -1 - мнимый эллипс

3. a₁₁x² + a₂₂y² = 0 - точка

2. a₁₁ > 0, a₂₂ < 0:

4. a₁₁x² - a₂₂y² = ±1 - гипербола

5. a₁₁x² + a₂₂y² = 0 - 2 пересекающиеся прямые

3. a₁₁ > 0, a₂₂ = 0, a₁₁x² + by + c = 0:

6. b ≠ 0 - парабола

7. b = 0 и c = 0 - 2 совпадающих прямых

8. b = 0 и c ≠ 0 - 2 параллельных прямых

33. Поверхности второго порядка – поверхности вида:

а₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₁₃z + 2a₂₃yz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0

· Эллипсоиды:

1. x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 - эллипсоид

2. x²/a² + y²/b² + z²/c² = 0 - точка

3. x²/a² + y²/b² + z²/c² = -1 - мнимый эллипсоид

· Гиперболоиды:

1. x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1 - однополостный гиперболоид (эллиптический)

2. -x²/a² - y²/b² + z²/c² = 1 - двуполостный гиперболоид (эллиптический)

3. x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0 - конус

· Параболоиды:

1. x²/a² + y²/b² = z - эллиптический параболоид

2. x²/a² - y²/b² = z - гиперболический параболоид

· Цилиндры:

1. x²/a² + y²/b² = 1 - эллиптический цилиндр

2. x²/a² + y²/b² = 0 - прямая в пространстве

3. x²/a² + y²/b² = -1 - не существует

4. x²/a² - y²/b² = 1 - гиперболический цилиндр

5. x²/a² - y²/b² = 0 - 2 пересекающиеся плоскости

6. x²/a² = y – парабола (на плоскости), параболический цилиндр(в пространстве)

· x²/a² = 1 - 2 параллельные плоскости

· x²/a² = 0 - плоскость

· x²/a² = -1 - не существует