Алгебра геометрия. Векторстрокой называется матрица n x 1

• Название: Векторстрокой называется матрица n x 1
• Анкор: Алгебра геометрия
• Дата: 19.01.2020
• Размер: 392.65 Kb.
• Имя файла: Zloebuchiy_ALGEM_v3_1_Release_version.docx
• Тип: Документы; #104860
• страница: 6 из 8

Угол между прямыми, заданными общими уравнениями

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0.

Так как нормальным вектором прямой L₁ является вектор , а нормальным вектором прямой L₂ является вектор , то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла между векторами и .

Из определения скалярного произведения и из выражения в координатах длин векторов и и их скалярного произведения получим

. (1)

Итак, угол между прямыми, заданными общими уравнениями, определяется с помощью формулы (1).

Пример 1. Найти угол между прямыми, заданными общими уравнениями и .

Решение. Используя формулу (1), получаем:



Получаем угол .

Угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями

Пусть две прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

и .

Так как направляющими векторами прямых L1 и L2 служат векторы и , то в полной аналогии со случаем, разобранным в предыдущем параграфе, мы получим следующую формулу для определения угла между прямыми:

. (2)

Итак, угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями, определяется с помощью формулы (2).

Пример 2. Найти угол между прямыми, заданными каноническими уравнениями и .

Решение. По формуле (2) находим:


27. Общее и параметрическое уравнения плоскости в пространстве, геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.

Уравнение Ax+By+Cz+D называется общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку M0 (x0, y0, z0) и два неколлинеарных вектора, заданных относительно прямоугольной декартовой системы координат a={a1, a2, a3}, b={b1, b2, b3}, определяются следующими формулами:

|x=x0+u•a1+v•b1

{y=y0+u•a2+v•b2

|z=z0+u•a3+v•b3

Выяснить геометрический смысл коэффициентов A, B и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Решение.

1. Рассмотрим вектор с проекциями на координатные оси, соответственно равными A, B и C, т. е. .

2. Возьмем на плоскости Ax + By + Cz + D = 0 две произвольные точки M(x₁, y₁, z₁) и N(x₂, y₂, z₂) и рассмотрим вектор . Этот вектор лежит в плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Его проекции на координатные оси соответственно равны x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁ и .

3. Так как точки M и N лежат в плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то имеют место равенства

Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0

и

Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D = 0.

Вычитая первое уравнение из второго, получим

A(x₂ - x₁) + B(y₂ - y₁) + C(z₂ - z₁) = 0. (1)

Скалярное произведение вектора n{A, B, C} на вектор MN{x2-x1, y2-y1, z2-z1} равно

A(x₂ - x₁) + B(y₂ - y₁) + C(z₂ - z₁).

Так как на основании (1) это скалярное произведение равно нулю, то вектор n перпендикулярен вектору MN, а тем самым и той плоскости, в которой лежит этот вектор, т. е. вектор n{A, B, C} перпендикулярен плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Геометрическое значение коэффициентов A, B и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 состоит в том, что они являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Первый способ составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .

Известно, что общее уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость , которая проходит через точку , а нормальный вектор плоскости имеет координаты . Следовательно, мы можем составить общее уравнение плоскости, если знаем координаты точки, через которую она проходит, и координаты нормального вектора этой плоскости. От этого знания и будем отталкиваться при нахождении уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .

Итак, из условия задачи нам известны координаты точки (даже координаты трех точек), через которую проходит плоскость, уравнение которой нам требуется составить. Осталось отыскать координаты нормального вектора этой плоскости.

Так как нормальный вектор плоскости и любой ненулевой вектор этой плоскости перпендикулярны, то вектор перпендикулярен как вектору , так и вектору . Следовательно, в качестве вектора можно принять векторное произведение векторов и . Так как и (при необходимости обращайтесь к статье вычисление координат вектора по координатам точек), то . После вычисления записанного определителя, станут видны координаты нормального вектора , и можно записывать требуемое уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Второй способ нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .

Очевидно, что множество точек определяет в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость, проходящую через три различные и не лежащие на одной прямой точки , тогда и только тогда, когда три вектора и компланарны.



Следовательно, должно выполняться условие компланарности трех векторов и , то есть, смешанное произведение векторов должно быть равно нулю: . Это равенство в координатной форме имеет вид . Оно, после вычисления определителя, представляет собой общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .