Алгебра геометрия. Векторстрокой называется матрица n x 1
![]()
|
6. Существует частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях. Правило Крамера. Пусть матричное уравнение AX = B (1) описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными. Если где D = detA ; Di – определитель, полученный из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов матрицы B: Доказательство теоремы разобъем на три части: Решение системы (1) существует и является единственным. Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1). Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1). Так как Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы. Перейдём к доказательству взаимно-однозначного соответствия между формулами (1) и (2). Используя формулу (4), получим выражение для i-го элемента. Для этого нужно умножить i-ую строку матрицы Учитывая, что i-ая строка присоединенной матрицы Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя Di по элементам i-го столбца и, следовательно, Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения Умножим обе части уравнения (7) на Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения: Согласно Лемме 1, где Учитывая, что дельта символ |