Алгебра геометрия. Векторстрокой называется матрица n x 1
 Скачать 392.65 Kb.
|
|
6. Существует частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях. Правило Крамера. Пусть матричное уравнение AX = B (1) описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными. Если  , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой  (2)где D = detA ; Di – определитель, полученный из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов матрицы B:  (3)Доказательство теоремы разобъем на три части: Решение системы (1) существует и является единственным. Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1). Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1). Так как  , то существует и при том единственная, обратная матрица  . Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения: (4)Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы. Перейдём к доказательству взаимно-однозначного соответствия между формулами (1) и (2). Используя формулу (4), получим выражение для i-го элемента. Для этого нужно умножить i-ую строку матрицы  на столбец B.Учитывая, что i-ая строка присоединенной матрицы  составлена из алгебраических дополнений  , получаем следующий результат: (5)Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя Di по элементам i-го столбца и, следовательно,  (6)Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения  (7) влекут за собой матричное уравнение (1).Умножим обе части уравнения (7) на  и выполним суммирование по индексу i:  (8) Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:  (9) Согласно Лемме 1,  где  – дельта символ Кронекера.Учитывая, что дельта символ снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат: (11) |