Алгебра геометрия. Векторстрокой называется матрица n x 1

• Название: Векторстрокой называется матрица n x 1
• Анкор: Алгебра геометрия
• Дата: 19.01.2020
• Размер: 392.65 Kb.
• Имя файла: Zloebuchiy_ALGEM_v3_1_Release_version.docx
• Тип: Документы; #104860
• страница: 2 из 8

3. Разложение определителя по строке. Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Формула разложения определителя по строке.

Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij называют число, найденное по следующему правилу: A_ij= (-1)^i+j *M_ij

Минором элемента a_ij в квадратной матрице n -го порядка называется определитель матрицы (n -1)-го порядка, полученной из исходной вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Обозначают минор M_ij.

Зафиксируем некоторую строку, номер которой равен i. Тогда определитель матрицы A_nxn можно разложить по выбранной i-й строке, используя следующую формулу:

ΔA=∑ⁿ_j=1a_ij*A_ij=a_i1­+A_i1+a_i2+A_i2+…+a_in*A_in
4. Свойства определителя (Доказать)

1. 
   Асимметричность. Если определитель

D получен путём перестановки строк или столбцов из определителя D, то D = - D. Возьмём две одинаковые квадратные матрицы, и в одной из них поменяем 1 и 2 строки. Теперь разложим их определители по 1 и второй строке соответственно (по одинаковым строкам).

D = 

D = 

2. 
   Транспонирование определителя. Это свойство вытекает из выше доказанного. Разложение определителя по первой строке совпадает с разложением определителя по 1 столбцу
   
3. 
   При двух одинаковых строках или столбцах знак меняется. Если переставить одинаковые строки по 1 свойству, то по свойству асимметричности определитель должен изменить знак, но определитель остаётся тем же, следовательно он равен 0.
   

4. 
   Если один из строк или столбцов состоит из нулей, то определитель равен 0. Из определения определителя следует, что при таком раскладе во всех произведениях суммы будет нулевой множитель и сумма будет нулевой.
   

5. 
   При наличии двух пропорциональных столбцов или строк определитель равен 0. По предыдущему свойству мы можем вынести множитель одной из строк и получить две одинаковые строки, которые по свойству с указывают на то, что матрица нулевая
   
6. 
   Умножение на число. Умножение элементов любой строки или столбца эквивалентно умножению определителя на это число. Т.к. по определению определитель – это сумма всех комбинаций произведений элементов квадратной матрицы, то при умножении строки или столбца на число, один из множителей каждой суммы умножается на это число. В итоге весь детерминант умножается на это число.
   

5. Система линейных уравнений, её матричная запись. Совместные, определённые системы линейных уравнений. Матричные уравнения.

Пусть дана матрица A



Тогда, первые n ненулевых столбцов совокупность соотношений





Где числа  – величины, подлежащие определению (неизвестные), называются системой m линейных уравнений, с n неизвестными, коротко – линейной системой. Числа  называются коэффициентами линейной системы, а числа  свободными членами. Решением системы линейных уравнений будет совокупность , которая при подстановке в линейную систему вместо совокупности  обращает её в тождество.

Линейная система называется совместной, если она имеет решение и несовместной, если решений нет. Совместная линейная система называется определённой, если она имеет ровно одно решение, и неопределённой, если решений нет.

Линейная система допускает более компактную (матричную) запись:

AX = B



Матрица А называется матрицей система, матрица В – столбцом свободных членов, Х – столбцом неизвестных Исходная матрица

называется расширенной матрицей.

Теорема Кронекера-Капелли: Линейная система совместна в том и только в том случае, если ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы равны.