Алгебра геометрия. Векторстрокой называется матрица n x 1

• Название: Векторстрокой называется матрица n x 1
• Анкор: Алгебра геометрия
• Дата: 19.01.2020
• Размер: 392.65 Kb.
• Имя файла: Zloebuchiy_ALGEM_v3_1_Release_version.docx
• Тип: Документы; #104860
• страница: 4 из 8

7. Элементарными преобразованиями матрицы называют:

Умножение некоторой строки(или столбца) на число, отличное от нуля.

Прибавление к элементам одной строки (или столбца) элементов другой строки (или столбца), умноженных на произвольное число.

Перестановка местами двух строк (или столбцов) матрицы.

Теорема. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.
Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований строк.

Алгоритм:

1. В 1 столбце найти не нулевой элемент и с помощью преобразования 3) переставить его в верхний левый угол.

2. С помощью 2) сделать 0 в первом столбце.

3. Выбрасываем из рассмотрения 1 столбец и строку, с оставшейся частью производим 1. и 2.

В результате получим ступенчатый вид матрицы.

На этом прямой ход закончен.
8. Обратная матрица – определение:

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.

Матрица называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E – единичная матрица порядка n на n.

Критерий обратимости матрицы:

Теорема. Пусть A — квадратная матрица. Матрица, обратная к A, существует тогда и только тогда, когда . Если то матрица, обратная к A, единственна и может быть вычислена по формуле . Где А* является транспонированной к матрице, состоящей из алгебраических дополнений матрицы A. Матрица A* называется союзной или присоединённой к матрице А.

Порядок действий при нахождении обратной матрицы на примере матрицы порядка n=3:

1. 
   Убедимся, что матрица A квадратная
   
2. 
   Вычислим определитель и проверим, что то есть матрица невырожденная.
   
3. 
   Транспонируем матрицу A, затем запишем знаки алгебраических дополнений в пустой таблице, начнём вычислять миноры для транспонированной матрицы и расставлять их в союзную матрицу A* с учетом знаков мест:
   
4. 
   
   
5. 
   Проверка:
   

9.

Минором k -ого порядка произвольной матрицы A называется определитель, составленный из элементов этой матрицы, расположенных на пересечении k строк и k столбцов.

Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Базисный минор = рангу матрицы

Ранг матрицы A обозначают rang(A) или r(A).

Oтыскание ранга матрицы:

Для того чтобы найти ранг матрицы необходимо с помощью элементарных преобразований привести матрицу к трапециевидной форме, тогда число ненулевых строк полученной матрицы равно рангу исходной матрицы.