Алгебра геометрия. Векторстрокой называется матрица n x 1

• Название: Векторстрокой называется матрица n x 1
• Анкор: Алгебра геометрия
• Дата: 19.01.2020
• Размер: 392.65 Kb.
• Имя файла: Zloebuchiy_ALGEM_v3_1_Release_version.docx
• Тип: Документы; #104860
• страница: 5 из 8

Теорема Кронекера-Капелли:

АХ = В имеет решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы(А) системы = рангу расширенной системы, при этом, если ранг матрицы = кол-ву переменных, то система имеет единственное решение.

10.
Векторное поле - часть пространства, в каждой точке M(x,y,z) которого задана векторная функция



Поле линейных скоростей вращающегося тела имеет вид:


Векторное пространство – (над полем) множество элементов, на котором введены операции сложения и умножения на скаляр, обладающие определёнными свойствами. Скаляр – элемент поля.

Пример 1. Пространство скаляров. По определению поля следует, что любое поле Р является векторным пространством над самим собой относительно операций сложения и умножения в поле.

Пример 2. Рассмотрим множество V2 всех радиус векторов координатной плоскости с началом в начале координат, которые складываются по правилу параллелограмма и умножаются на числа поля R Как геометрические векторы. Из свойств геометрических векторов следует, что V2 является векторным пространством над полем R.

Пример 3. Пространство матриц. Пусть - множество всех матриц размерности M´ N с элементами из поля Р. По определению и свойствам операций сложения матриц и умножению матрицы на число, это множество является векторным пространством над полем Р, его называют Векторным пространством m´N - матриц над полем Р.

Пример 4. Арифметическое или координатное N-мерное пространство. N - мерным числовым вектором над полем Р называют упорядоченный набор из N чисел поля Р. Числа называются Координатами числового вектора. Множество всех N - мерных числовых векторов обозначается символом Рn.

Пусть A=(a1, a2,...,an), B=(b1, b2,...,bn) два N - мерные числовые вектора.

Два N - мерных числовых вектора называются Равными, если все соответствующие координаты векторов попарно равны.

Суммой N - мерных числовых векторов называется такой n - мерный числовой вектор, каждая координата которого равна сумме соответствующих координат данных векторов, т. о.

A=(a1+b1,a2+b2,...,an + bn).

Произведением N - мерного числового вектора на число называется такой n - мерный числовой вектор, каждая координата которого равна произведению числа K на соответствующую координату данного вектора, т. о.

KA= (KA1, KA2,...,KAn).

Заметим, что N - мерные числовые вектора являются матрицами размерности 1´N и операции сложение и умножение на число совпадают с матричными операциями. Поэтому множество Рn является векторным пространством над полем Р. Оно называется N-мерным арифметическим или Координатным пространством, Или Пространством строк Длины N над полем Р.

Аналогично рассматривается Пространство столбцов из N элементов над полем Р.

Пример 5. Пространство функций. Пусть Х - произвольное множество, F(X) - множество всех функций на X со значениями в поле Р , т. е. отображений X в Р. Если такое отображение, то F(X) обозначает значение F на элементе

Сумма F+G функций F и G и произведение a F функции F на число определяются поточечно:

(F+G)(X)=F(X)+G(X), для любых

(aF)(X)=a(F(X)), для любых .

Множество F(X) является векторным пространством над полем Р . Оно называется Пространством функций на Х со значениями в поле Р.

Действительно, ранее было доказано, что множество F(X) является аддитивной абелевой группой (см. пример 1.4.1), т. е. выполняются условия 1), 1°-4° определения 1.

Доказывая условие 2) заметим, что произведение числа на функцию есть функция, определенная на Х со значениями в Р, т. е и она определена однозначно.

Условия 5°-8° проверяются на основании определения равенства функций. Проверим, например, условие 5°, которое в нашем случае принимает вид:

Так как области определений функций, стоящих в правой и левой частях этого равенства, равны и для любого X€X

То указанное выше равенство выполняется.

Из приведенных выше примеров следует, что векторные пространства встречаются во всех разделах математики и заслуживают пристального изучения.
11. Определение и примеры подпространства векторного пространства. Определение линейной оболочки системы векторов, теорема о линейной оболочке

Множество K векторов из линейного пространства L называется линейным подпространством пространства L , если сумма x + y любых двух векторов x и y из L принадлежит K и произведение α·x любого любого числа α и любого вектора x и y из L принадлежит K.

Множество геометрических радиусов-векторов на плоскости K = { x = x₁·i + x₂· j} является линейным подпространством линейного пространства трёхмерных геометрических радиусов-векторов.

K = { x = x₁·i + x₂· j =x₁·i + x₂· j + 0· k }; R₃ = { x = x₁·i + x₂· j + x₃·k }; K ⊂ R₃,

x = x₁·i + x₂· j + 0·k ∈ K, y = y₁·i + y₂· j + 0·k∈ K,

x + y = (x₁+ y₁)·i + ( x₂+ y₂)· j + 0·k∈ K, α·x = (αx₁)·i + (αx₂)· j+ 0·k∈ K.

Линейной оболочкой L системы векторов A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A. Обозначение L(A).

1) L(A) является подпространством R^n.

2) Линейные оболочки эквивалентных систем совпадают.

12. Линейная комбинация векторов, линейная зависимость и независимость векторов. Определение базиса (базы) векторного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Теорема о разложении вектора по базису. (Доказать.)

Линейной комбинацией векторов ā1, ā2....ān называется вектор b такой, что

b = λ1 ā1+λ2 ā2+λ3 ā3+… +λn ān, где λi – числа. Эти числа называют коэффициентами линейной комбинации.

Система векторов e₁,e₂, ..., e_k линейного пространства L называется линейно независимой системой, если равенство С₁·e₁+С₂·e₂+ ...+С_k· e_k = 0 возможно только когда все коэффициенты С₁, С₂, ..., С_kравны нулю.

Здесь 0 — нулевой вектор линейного пространства L, С₁, С₂, ..., С_k — числовые коэффициенты.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Если система векторов e₁, ..., e_n n-мерного линейного пространства L_n образует базис в L_n, то любой вектор x из L_n может быть представлен в виде

x = С₁·e₁+ С₂·e₂+ ...+ С_n· e_n.

Выражение x = С₁·e₁+ С₂·e₂+ ...+ С_n· e_n называется разложением вектора по базису e₁, ..., e_n, а числа С₁, С₂, ..., С_n называются координатами вектора x в базисе e₁, ..., e_n.

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторногопространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и – базис. Возьмем произвольный вектор . Так как оба вектора и коллинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как , то найдется (существует) такое число, что и тем самым мы получили разложение вектора по базису векторного пространства.

Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства:

и , где . Тогда и используя закон дистрибутивности, получаем:.

Так как , то из последнего равенства следует, что , ч.т.д.

13. Определение размерности векторного пространства. Теорема о размерности.

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

14. Связь координат вектора в разных базисах. Матрица перехода от одного базиса к другому, её свойства.

Рассмотрим произвольный элемент и запишем его разложение в двух заданных базисах {g₁, g₂, …., g_n} и {f₁, f₂,…,f_n}:

(3)

Перепишем равенства (3) в матричной форме:



То есть , откуда с учётом формулы (2), получим:

, (4)

Где С – матрица перехода от базиса {g₁, g₂, …., g_n}к базису {f₁, f₂,…,f_n} .

• 
  Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
  
• 
  Матрица перехода из а в с равна обратной матрице перехода из с в а
  

15. Определение суммы и пересечения подпространств, теорема о их свойствах. (Доказать.)

Пусть L1 , L2 — подпространства пространства X. Множество L всех векторов вида a 1 + a 2 , где a 1 ∈ L1 , a 2 ∈ L2 называется суммой подпространств L1 , L2 . Используют обозначение: L = L1 + L2 .

Пересечение подпространств L1 , L2 , т. е. множество всех векторов, принадлежащих как L1 , так и L2 , также является подпространством.

Теорема. Сумма и пересечение векторных подпространств векторного пространства V являются векторными подпространствами векторного пространства V.

Доказательство. Пусть L и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства V, – их пересечение, L+M– их сумма.

1) Пусть – произвольные векторы. Тогда, и . В силу замкнутости подпространств относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр, :

, , , ,

откуда следует, что

, ,

т.е. является векторным подпространством.

2) 1) Пусть – произвольные векторы. Тогда,

, , где , . В силу замкнутости подпространств относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр, :

, , , ,

откуда следует, что

,

,

т.е. L+M является векторным подпространством.

Теорема доказана.

16. Сумма и пересечение векторных подпространств.

Определение. Пусть L и М – произвольные векторные подпространства. Суммой L и М называют множество

.

Замечание. Под пересечением векторных подпространств понимают их пересечение как множеств.

Теорема. Сумма и пересечение векторных подпространств векторного пространства V являются векторными подпространствами векторного пространства V.

Доказательство. Пусть L и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства V, – их пересечение, L+M – их сумма.

1) Пусть  – произвольные векторы. Тогда,  и . В силу замкнутости подпространств относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр, :

, , , ,

откуда следует, что

, ,

т.е.  является векторным подпространством.

Аналогично определяется и обозначается сумма любого конечного количества векторных подпространств.

Определение. Пусть  – подпространства векторного пространства V. Множество



называется суммой векторных подпространств.

Обозначение. .

Как и выше, можно доказать, что сумма подпространств векторного пространства V тоже является векторным подпространством векторного пространства V.

17. Теорема о множестве решений системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов , где  – произвольные действительные числа.

Количество векторов n фундаментальной системы рассчитывается по формуле:


Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов n фундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных.
18. Определение линейного преобразования векторных пространств. Задание линейного оператора матрицей. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Если в линейном пространстве V каждому вектору v  по некоторому правилу A поставлен в соответствие вектор u этого же пространства, то говорят, что в данном пространстве задана векторная функция векторного аргумента: Данная функция называется линейным преобразованием, если для неё выполнены пресловутые свойства линейности, с которыми вы ещё не раз столкнётесь в ходе изучения высшей математики:

, , где  – произвольные векторы данного пространства, а  – действительное число.

Матрицей линейного оператора ^A: X_n → Y_m в базисах e₁, e₂, … , e_n и f₁, f₂, … , f_m называется матрица размера m × n , у которой

1) столбцы определяются как координатные столбцы образов базисных векторов пространства X_n : ^Ae₁, ^Ae₂, … , ^Ae_n в базисе пространства Y_m ;

2) строки определяются как коэффициенты в выражении координат образа произвольного вектора через координаты самого этого вектора.
Пусть линейный оператор ^A: X_n → X_n в базисе e имеет матрицу A_e . Найдем матрицу этого оператора A_f в базисе f . Пусть C — матрица перехода от базиса e к базису f .

Теорема. Преобразование матрицы оператора ^A при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f определяется формулой:

Af = C −1 Ae C.

(1)

Доказательство.

Рассмотрим произвольный вектор x и его образ y = ^Ax . Обозначим координатные столбцы этих векторов: X_e и Y_e — в "старом" базисе e ; X_f и Y_f — в "новом" базисе f .

Тогда

Ye = Ae · Xe

и

Yf = Af · Xf.

Отсюда, используя формулы преобразования вектора, получаем

Yf = C −1 Ye = C −1 Ae Xe = C −1 Ae C Xf

Сравнивая с выражением Y_f = A_f · X_f , приходим к формуле (1), которую требовалось доказать.
19. Собственные векторы и собственные значения (матрицы) линейного преобразования. Характеристический многочлен (матрицы) линейного преобразования. Нахождение собственных значений линейного преобразования. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду. Нормальная жорданова форма матрицы.
Пусть А – линейный оператор из . Число  называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор  такой, что А. При этом вектор   называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению . Множество всех собственных значений линейного оператора А называется его спектром.
Определителем линейного оператора А  detА называется detА, где А – матрица линейного оператора А в любом базисе. Многочлен относительно l называется характеристическим многочленом оператора А. Он не зависит от выбора базиса.

Уравнение

                                              det() = 0                                  (7.7)

называется характеристическим (или вековым) уравнением оператора А.

Нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения 

ΔA(λ)=0ΔA(λ)=0

, где 

ΔA(λ)=det(A−λE)ΔA(λ)=det(A−λE)

 — характеристический многочлен матрицы 

AA

Для того чтобы матрица А линейного оператора А в базисе  была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы  были собственными векторами этого оператора.

Однако далеко не каждый линейный оператор в n-мерном векторном пространстве имеет n линейно независимых собственных векторов. Базис из собственных векторов принято называть «собственным базисом». Пусть собственные значения  линейного оператора А  различны. Тогда отвечающие им собственные векторы  линейно независимы. Следовательно, «собственный базис» в этом случае существует.

Итак, если характеристический многочлен линейного оператора А имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица А оператора А имеет диагональный вид.
20. Определение и свойства скалярного произведения в абстрактном векторном пространстве. Определение и примеры пространств со скалярным произведением. Матрица Грама, её свойство.

Скалярным произведением векторов a и b называют число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. (a,b )= a × b × cosj ,

Свойства скалярного произведения

1. Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на самого себя a × a = |a|^2 Þ |a| =sqrt( a × a) .

2. a ×b = b × a .

3. Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов a × b = 0 Û a ^b . Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

4. Пусть l – некоторое число, тогда l(a,b )= (la,b )= (a,lb ). 5. (a + b )× c = a × c + b × c .

Определение матрицы Грама

Квадратная симметрическая матрица 

G(e1,e2,…,en)G(e1,e2,…,en)

, составленная из скалярных произведений системы векторов 

e1,e2,…,ene1,e2,…,en

 называется матрицей Грама



1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов 

v1,v2,…,vkv1,v2,…,vk

 линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

2. Определитель Грама 

detG(v1,v2,…,vk)detG(v1,v2,…,vk)

 не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов 

v1,v2,…,vkv1,v2,…,vk

. Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов 

v1,v2,…,vkv1,v2,…,vk

 получены векторы 

w1,w2,…,wkw1,w2,…,wk

, то

3. Определитель Грама любой системы 

v1,v2,…,vkv1,v2,…,vk

 векторов удовлетворяет двойному неравенству

0⩽detG(v1,v2,…,vk)⩽⟨v1,v1⟩⋅⟨v2,v2⟩⋅…⟨vk,vk⟩
21. Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90° Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю. (a · b = 0) Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу. Пусть E — евклидово пространство. X — произвольное множество элементов этого пространства. Ортогональным дополнением множества X в пространстве E называется множество Y элементов пространства E ортогональных ко всем элементам множества X. Таким образом, y есть элемент множества Y тогда и только тогда, когда (x, y) = 0 при всех x ∈ X.

Теорема: Ортогональное дополнение Y множества X в пространстве E является подпространством в E Доказательство. Пусть y1, y2 ∈ Y так что (x, y1) = 0, (x, y2) = 0. Но тогда (x, ay1 + βy2) = 0 и поэтому ay1 + βy2 ∈ Y. Таким образом, Y есть линейное пространство. Остается доказать, что Y — замкнутое множество. Пусть y → y(n) (y(n) ∈ Y). Тогда в силу равенства (x, y(n)) = 0 получаем (x, y) = 0, так что y ∈ Y. Следовательно, Y — замкнутое множество. Теорема доказана.

22. Для ортогонализации системы линейно независимых векторов A1, A2, A3 используется метод Грама ― Шмидта. Возьмём e1, e2, e3 за ортогональные векторы. Находим ортогональные векторы по формуле: e1 = A1 e2 = A2 - (A2, e1)/(e1, e1)*e1 e3 = A3 - (A3, e1)/(e1, e1)*e1 - (A3, e2)/(e2, e2)*e2

Для n-размерной системы e(n)=A(n) - (A(n), e1)/(e1, e1)*e1 - (A(n), e2)/(e2, e2)*e2 - (A(n), e(n-1))/(e(n-1), e(n-1))

Для того чтобы нормировать систему векторов нам необходимо для каждого вектора найти его модуль, и каждую координату разделить на него.

23. Вектор – это направленный отрезок AB, с начальной точкой A и конечной точкой B. Длиной (или модулем) |AB| вектора AB называется число, равно длине отрезка AB, изображающего вектор. Длина вектора определяется по формуле: |a|=sqrt(x^2+y^2+z^2) Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Сонаправленными векторами называют два коллинеарных вектора a и b, у которых направления совпадают. Противоположно направленными векторами называются два коллинеарных вектора a и b, у которых направления не совпадают, т.е. являются противоположными.

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Если начало и конец вектора совпадают, например АА, то такой вектор называют нулевым и обозначают 0 = AA. Длина нулевого вектора равна нулю. Так какнаправление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору. Произведением вектор a на число λ называется вектор b = λa, имеющий длину |b| = |λ||a|, направление которого совпадает с направлением вектора a, если λ>0, и противоположно ему, если λ<0. Противоположным вектором -а называется произведение вектора а на число (-1), т.е. -а=(-1)а. Суммой двух векторов a и b называется вектор c = a + b, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a. a + b = {ax + bx; ay + by} Разностью двух векторов a и b называется сумма вектора a и вектора -b, противоположного b. a - b = {ax - bx; ay - by} Координатами вектора a, называются координаты его конечной точки.

24. Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: (a, b) = ab = |a||b|cos φ. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: (a,b)= |a||b|cos φ = x1x2 + y1y2 + z1z1 Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Угол между векторами a и b определяется по формуле: cos φ = (a,b)/(|a||b|) = (x1x2 + y1y2 + z1z2)/sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)*sqrt (x2^2+y2^2+z2^2) Проекция вектора AB на какую-либо ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором. (𝑝𝑟l(AB)=|AB|*cos α) Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций векторов на ту же ось. (𝑝𝑟l(a+b+c)=𝑝𝑟l(a)+ 𝑝𝑟l(b)+ 𝑝𝑟l(c))

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: a*b = (a,b) = |a||b|cos φ Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: a*b = x1x2 + y1y2 + z1z1 Геометрический смысл: скалярное произведение ненулевых векторов aи b равно произведению длины вектора b на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора a на ось, задаваемую вектором b: a*b = |b|*𝑝𝑟b(a) Проекция вектора b на вектор a: 𝑝𝑟a(b) = |b| ∙ 𝑐𝑜𝑠(∠a, b) = (a,b)/|a| Вектор, коллинеарный вектору a: 𝑝𝑟a(b) = (a,b)/|a|*a/|a| = ((a,b)∙a)/|a|^2 Свойства: 1)Коммутативность: a*b = b*a 2)Линейность по первому аргументу: (a1+a2)*b = a1*b+a2*b и (a*α)*b = α*(a*b) 3)Положительная определенность: a*a = |a|^2 >= 0, причём a*a = 0 только при a = 0 (ред.)

Векторным произведением [a*b] неколлинеарных векторов a и b, взятых в данном порядке, называется N, длина которого численно равна произведению

длин векторов a и b на синус угла между ними; вектор N ортогонален векторам a и b, и направлен так, что базис (a, b, N) имеет правую ориентацию. a*b = N Геометрический смысл: Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах. Свойства: 1)антикоммутативность [b, a] = −[a, b] 2)дистрибутивность [(a1+a2)*b] = [a1*b]+[a2*b] 3)сочетательное свойство [ λ*a*b] = λ*[a*b], где λ любое число

Векторное произведение векторов a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), заданных в ортонормированном базисе (i, j, k), выражается формулой:

| i j k |

a × b = |ax ay az| = i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx)

|bx by bz|

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c, т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a. Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов.

Геометрический смысл: Абсолютная величина смешанного произведения векторов представляет собой объем параллелепипеда: Vпар = |a*b*c| Объем тетраэдра, построенного на векторах a, b, c, равен одной шестой объема соответствующего параллелепипеда, таким образом, Vтетр = 1/6*|a*b*c|

Свойства: 1)Антисимметричность по отношению ко всем своим аргументам (a, b, c) = (b, a, c) = (c, a, b) = -(b, a, c) = -(c, b, a) = -(a, c , b) т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что (a, [b, c]) = ([a, b], c) 2)Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю. 3)Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

25. Если известна точка M(x0, y0) , принадлежащая некоторой прямой, и угловой

коэффициент k этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой: y-y0=k(x-x0) Общее уравнение: Ax+By+C = 0 (где коэффициенты A и B не равны одновременно нулю, A²+B² ≠ 0) Если известна некоторая точка M(x0, y0), принадлежащая прямой, и направляющий вектор p(p1, p2) этой прямой, то каноническое уравнение данной прямой: (x-x0)/p1=(y-y0)/p2 Если известна некоторая точка M(x0, y0), принадлежащая прямой, и направляющий вектор p(p1, p2) этой прямой, то параметрические уравнения данной прямой задаются системой: {x = p1*t + x0 {y = p2*t + y0 Если известны две точки M1(x1, y1), M2(x2, y2) , то уравнение прямой, проходящей через данные точки записывается в виде: (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1) Уравнение прямой в отрезках записывается в виде: x/a +y/b = 1 (a ≠ 0, b ≠ 0)

26. Расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми, расстояние от точки до прямой на плоскости.

Ответ:

Две прямые могут:

1) совпадать;

2) быть параллельными: d1||d2;

3) или пересекаться в единственной точке: .

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Пример:

Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных x и y пропорциональны: , но .

Пример:

В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :


Однако совершенно очевидно, что .

Вывод: d1||d2

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных x и y НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Так, для прямых составим систему:


Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

Расстояние от точки M(x₀; y₀)до прямой d: Ax+By+C=0 выражается формулой