лекция. Прямая на плоскости
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
Лекция 4 Глава 3 Прямая на плоскости
3.1. Понятие уравнения линии Предположим, что на плоскости  задана декартова прямоугольная система координат  и некоторая линия  .Рассмотрим уравнение  , (3.1)связывающее две переменные  и  .Определение 1. Уравнение (3.1) называется уравнением линии относительно заданной системы координат, если уравнению (3.1) удовлетворяют координаты и любой точки, лежащей на линии , и не удовлетворяют координаты и ни одной точки, не лежащей на линии .Согласно этому определению сама линия представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.1)Если в заданной системе координат уравнение (3.1) является уравнением линии , будем говорить, что (3.1) определяет линию .Пример 1. Пусть фиксирована декартова система координат . Требуется показать, что уравнение  (3.2)является уравнением окружности радиуса  с центром в точке  .Окружность по определению есть геометрическое место точек (совокупность тех и только тех точек), для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки есть величина постоянная. Пусть – окружность радиуса с центром в точке .  (рис. 3.1), или  , или  , или –уравнение (3.2) в соответствии с определением 1 действительно определяет окружность .Определение 2. Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она определяется уравнением (3.1), в котором  – алгебраический полином (т.е. сумма конечного числа слагаемых вида  ,  – целые,  – некоторая постоянная).Если при этом – алгебраический полином порядка  , линия  называется линией порядка .Например, окружность – алгебраическая линия второго порядка (см. пример 1). Определение 3. Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной. Приведем без доказательства следующее утверждение. Теорема 1. Если линия в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени , эта линия и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени . 3.2. Уравнение прямой в общем виде Теорема 2. Пусть фиксирована декартова система координат . Всякое уравнение вида , (3.3)где  – действительные числа, причем  и  не равны нулю одновременно, определяет на плоскости прямую линию.Доказательство. Пусть  – решение (3.3).Уравнение (3.3) имеет хотя бы одно решение ( и не равны нулю одновременно, пусть для определенности  , тогда  , полагаем  и получаем  , и пара  – решение (3.3)).Тогда справедливо тождество  . (3.4)Пусть  – другое решение (3.3). Тогда выполняется тождество . (3.5)Вычтем из (3.5) почленно (3.4):  . (3.6)Пусть  – точка с координатами  , а  – точка с координатами  . Тогда  .Введем в рассмотрение вектор  . Равенство (3.6) выполняется тогда и только тогда, когда  .(   ).Т  аким образом, если пара чисел удовлетворяет (3.3), то точка  является концом вектора  , перпендикулярного  и, следовательно, принадлежит прямой , проходящей через точку  и перпендикулярной (рис. 3.2).Обратно. Пусть  принадлежит прямой , проходящей через точку и перпендикулярной . Тогда и выполняется равенство (3.6), а значит, с учетом (3.4) выполняется (3.5) или, что то же самое, уравнение (3.3), и пара чисел и является решением (3.3), следовательно, (3.3) – уравнение прямой .Уравнение (3.3) называется общим уравнением прямой, вектор – нормальным вектором прямой.Если хотя бы один из коэффициентов в уравнении (3.3) равен нулю, уравнение называется неполным. Упражнение. Выяснить особенности расположения относительно осей координат прямой, задаваемой неполным уравнением: 1)  ,  , ; 2)  , ,  ; 3)  , , ; 4) , , ; 5) ,  , .Замечание. Два уравнения  , (3.7) (3.8)определяют одну и ту же прямую тогда и только тогда, когда  . (3.9)Действительно, пусть (3.7) и (3.8) определяют одну и ту же прямую   и  коллинеарны  .Обозначим это общее отношение через  :  .Пусть  . Тогда выполняются два тождества:  и  .Умножим первое на и вычтем из второго: и .Обратно. Пусть (3.7) определяет  , а (3.8) -  и пусть выполняется равенство (3.9). Пусть  , следовательно, справедливо тождество . (3.10)Умножим обе части (3.10) на и получим  – это означает, что  . Справедливо также, что всякая точка  , принадлежащая , принадлежит (доказывается совершенно аналогично) и состоят из одних и тех же точек и совпадают. |