лекция. Прямая на плоскости
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
3.3. Каноническое и параметрические уравнения прямой Определение 4. Пусть  – декартова система координат,  - произвольная прямая. Любой вектор  такой, что  , параллелен , называется направляющим вектором прямой (рис. 3.3). Пусть  ,  – направляющий вектор прямой . Тогда  коллинеарен   (3.11)(соответствующие координаты векторов и  пропорциональны).Уравнение (3.11) называется каноническим уравнением прямой , проходящей через точку  и имеющей направляющим вектор .Обозначим отношение в (3.11) через  :  . Тогда уравнение (3.11) приведет к двум равенствам (3.12)Так как , то хотя бы одно из чисел  или  отлично от нуля. Пусть для определенности  . Тогда при  и  , таким образом,  .Равенства (3.12) при называются параметрическими уравнениями прямой , проходящей через точку и имеющей в качестве направляющего вектор . Пример 2. Составить каноническое уравнение прямой , проходящей через две заданные точки и  .В качестве направляющего возьмем вектор  (рис. 3.4). Воспользуемся уравнением (3.11), полагая  , и получим  . (3.13).Пример 3. Составить каноническое уравнение прямой , проходящей через  и  ( (рис. 3.5). Воспользуемся уравнением (3.13), полученным в примере 2, считая  ,  :  , или . (3.14)Уравнение (3.14) называется уравнением прямой в отрезках.  3.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом О  пределение 5. Пусть – декартова система координат, не параллельна оси  и пересекает ее в точке  (рис. 3.6). Выберем на оси точку  , расположенную по ту сторону от куда направлена ось . На выберем точку  , расположенную на прямой по ту сторону от , куда направлена ось  . Угол  называется углом наклона прямой к оси . Число  называется угловым коэффициентом прямой (если параллельна оси , то  ; если  , т.е. параллельна , то  не определен).Упражнение. Доказать следующее утверждение: пусть не параллельна оси , – угловой коэффициент , – направляющий вектор прямой , тогда  .Пример 4. Пусть , – угловой коэффициент прямой . Составить уравнение прямой.Воспользуемся каноническим уравнением (3.11): , или  , или  , или  , или  . (3.15)Уравнение (3.15) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (в уравнении (3.15) – угловой коэффициент прямой (см. упражнение), а  – ордината точки пересечения прямой с осью ).Итак, положение прямой на плоскости полностью определяется заданием:точки и  , перпендикулярного прямой (нормального вектора);точки и вектора , параллельного прямой (направляющего вектора);точки и углового коэффициента .3.5. Угол между двумя прямыми Две прямые  и  , пересекаясь, образуют два угла, дополняющие друг друга до  . Любой из этих углов будем считать углом между прямыми и и обозначать далее  .Утверждение 1. Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями :  и :  .Тогда   . (3.16)В самом деле, один из углов между и равен углу между нормальными векторами  и  (рис.3.7). (Углы, отмеченные двумя дугами, равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами.)Итак,  , отсюда ,и формула (3.16) верна. Отметим частные случаи: 1)  (условие коллинеарности и ) (рис. 3.8);2)  (рис. 3.9). Утверждение 2. Пусть прямые и заданы своими каноническими уравнениями :  и :  .Тогда  . (3.17)Действительно, один из углов между прямыми и равен углу между направляющими векторами  и  (на рис. 3.10 отмечены одной дугой).  Итак,  ,  ,  , поэтому ,и равенство (3.17) справедливо. Частные случаи: 1)  и коллинеарны  (рис. 3.11);2)  (рис. 3.12). |