лекция. Прямая на плоскости
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
Утверждение 3. Пусть прямые  и  заданы своими общими уравнениями :  и :  .Тогда  . (3.18)Е  сли  – углы наклона к оси  прямых и соответственно, то  (на Рис. 3.13 двумя дугами отмечены угол  и равный ему как соответственный при параллельных прямых  и и секущей ). Поэтому  и равенство (3.18) верно. Замечание. Отметим, что в формулу (3.18) числа  и  входят не симметрично: - с «–», - с «+». Но если изменить знак дроби в (3.18), получим тангенс смежного угла, который мы тоже считаем углом между и .Частные случаи: 1)     ;2)  не определен  или  .3.6. Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой П  усть задана декартова система координат  , - произвольная прямая (рис. 3.14). Проведем через  прямую  ,  , точку пересечения с обозначим  .Рассмотрим вектор  : приложен к точке  ,  , направление совпадает с направлением вектора  (если  , направление выберем произвольно). Обозначим через  угол наклона к оси . Тогда  . Длину обозначим через  :  . Имеем  ; (3.19) ; (3.20) . (3.21)Из (3.19), (3.20) и (3.21) получим:  или  . (3.22)Уравнение (3.22) называется нормированным уравнением прямой ( - угол наклона вектора ,  ) к оси , - расстояние от начала координат до ).Приведем без доказательства следующее утверждение. Теорема 3. Расстояние от точки  до прямой равно абсолютной величине результата подстановки координат этой точки  и  в левую часть нормированного уравнения прямой :  .Замечание. Если прямая задана общим уравнением  , (3.23)то для перехода к уравнению вида (3.22) нужно обе части (3.23) умножить на нормирующий множитель  . Знак  выбирается противоположным знаку  в (3.23).В самом деле, пусть уравнения и определяют одну и ту же прямую . Тогда (см. замечание в 3.2) существует такое число , что  ,  ,     , а . Из равенства следует, что знаки и противоположны ( ).Пример 4. Найти расстояние от точки  до прямой  .Имеем  . Нормированное уравнение заданной прямой: , . |