Математика экзамен. Ответы. Матрицы, действия над матрицами
 Скачать 6.65 Mb.
|
|
Матрицы, действия над матрицами Ответ: Сложение матриц;Умножение матрицы на число;Умножение матриц друг на друга (применимо, если матрицы согласованы друг с другом — то есть, матрица $A$ должна иметь количество столбцов, равное количеству строк в матрице $B$);Транспонирование матрицы; *Умножение матрицы на вектор-столбец или строку;Вычисление определителя матрицы. 2. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Правило треугольников. Ответ:    Метод приведения к треугольному виду.Используя свойства, добьемся такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Тогда определитель будет численно равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. 3 Определители n-го порядка. Теорема Лапласа. Ответ:   4 Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Ответ:    5 Ранг матрицы. Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Ответ:  Под элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы понимают следующие действия:Перемена мест двух строк (столбцов).Умножение всех элементов строки (столбца) на некоторое числоa≠0.Суммирование всех элементов одной строки (столбца) с соответствующими элементами иной строки (столбца), умноженными на некое действительное число.Если применить к строкам или столбцам матрицыAнекое элементарное преобразование, то получим новую матрицуB. В этом случаеrang A=rangB, т.е. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.ЕслиrangA=rangB, то матрицыAиBназываются эквивалентными. Тот факт, что матрицаAэквивалентна матрицеB, записывают так:A∼B.Часто используется и такая запись:A→B, которая означает, что матрицаBполучена из матрицыAприменением некоего элементарного преобразования.При нахождении ранга методом Гаусса работать можно как со строками, так и со столбцами. Удобнее работать со строками, поэтому в примерах на этой странице преобразования выполняются именно над строками матриц.Отмечу, что транспонирование не изменяет ранг матрицы, т.е.rang A=rangA^T. Этим свойством в некоторых случаях удобно пользоваться так как при необходимости строки легко сделать столбцами и наоборот. 6 Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Ответ:      7 Векторы и операции над ними. Ответ:      8.Проекция вектора на ось и ее свойства. Ответ:   9. Декартова прямоугольная система координат. Полярная система координат. Ответ:   10 Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Ответ:      11 Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах. Ответ:   12 Предел функции при x, стремящемся к бесконечности. Замечательные пределы. Число е. Ответ:   e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. e = 2,718281828459045… Иногда число e называют числом Эйлера или неперовым числом. Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении. 13 Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точка непрерывности функции. Точка разрыва функции. Свойства непрерывных функций. Приращение аргумента. Приращение функции. Ответ: Функциюy = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка. Функция называется непрерывной в точке если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке. Использование последней формулы существенно упрощает вычисление пределов для непрерывных функций. Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке. График такой функции — непрерывная кривая Точкой разрыва функции называют значение ее аргумента, при котором функция не является непрерывной или при котором функция не определена. Если - точка разрыва и существуют конечные пределы то она называется точкой разрыва первого рода. Величину называют скачком функции в точке. Если - точка разрыва и, то называют точкой устранимого разрыва.  разность между двумя значениями аргумента, то есть хПриращение аргумента — это разность между двумя значениями аргумента, то есть х.Скорость изменения функции будет равна отношению приращения функции к приращению аргумента. При этом чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее мы приблизимся к верному значению.Отсюда мы получаем определение производной функции.Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. разность между двумя значениями функцииПриращение функции — это разность между двумя значениями функции, то есть у.Приращение аргумента — это разность между двумя значениями аргумента, то есть х.Скорость изменения функции будет равна отношению приращения функции к приращению аргумента. При этом чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее мы приблизимся к верному значению.Отсюда мы получаем определение производной функции. 14 Производная функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.     15 Таблица производных. Понятие сложной функции. Производная сложной функции. Ответ:    16 Схема исследования функции. Область определения функции. Множество значений функции. Четность и нечетно сть функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции. Возрастание и убывание функции, правило нахождения промежутков монотонности. Точки экстремума функции, правило нахождения экстремумов функции.      Возрастание и убывание функции. Кроме непосредственно значений функции важно понимать, как изменяется ее значение с изменением аргумента, т. е. уметь анализировать поведение функции. Так, говорят, что функция возрастает, если при увеличении аргумента значение функции увеличивается. Соответственно, функция убывает, если при увеличении аргумента значение функции уменьшается. Промежутки возрастания и убывания функций называются промежутками монотонности функций.Для их определения находят производную функции, приравнивают ее к нулю и находят корни производной. Этими корнями разбивают область определения функции на промежутки. В каждом из промежутков берут внутри точку и устанавливают знак производной в них. В тех промежутках, где производные положительные, функция возрастает, а где отрицательные — убывает. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее: Найти производную функции. Приравнять производную нулю и определить критические точки. Мысленно или на бумаге отметить критические точки на числовой оси и определить знаки производной функции в полученных интервалах. Если знак производной меняется с "плюса" на "минус", то критическая точка является точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума. 17 Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Исследование функции с помощью второй производной.  Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость изменения любой физической величины равна производной этой величины по времени. Так, в механике, наиболее распространенными физическими величинами являются координаты точки. При прямолинейном движении, мгновенная скорость движения точки равна производной ее координаты по времени.  18 Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.   19 Таблица неопределенных интегралов.  20 Методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования; метод замены переменной (метод подстановки); метод интегрирования по частям. Ответ: Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных является метод замены переменной. Сущность его заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому, который сравнительно легко берется непосредственно. Существуют два варианта этого метода.  21 Определенный интеграл. Понятие интегральной суммы Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции). Ответ:  сумма, через предел которой вводится определённый интегралИнтегральная сумма – сумма, через предел которой вводится определённый интеграл.Интегральные суммы бывают разного вида, наиболее известными являются интегральные суммы Римана и интегральные суммы Лебега. Достаточным условием существования определенного интеграла, т.е. интегрируемости функции f (x) на отрезке [a, b] является ее непрерывность на этом отрезке. Интегрируемы так же, если функция f (x) кусочно непрерывна (т.е. имеет конечное число точек разрыва 1-го рода) на отрезке [a, b]. 22 Основные свойства определенногоинтеграла . Геометрический смысл определенного интеграла. Ответ: Определенный интеграл имеет следующие свойства:Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулюВеличина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрированияПостоянный множитель можно выносить за знак определённого интегралаОпределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интеграловЕсли отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частямПри перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знакОпределённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке x0 внутри егоЕсли верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен)Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции f(x) и g(x) непрерывны, то неравенство f(x) >=g(x) можно почленно интегрировать  23 Методы вычисления определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Ответ:   24 Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Ответ:   25 Функции нескольких переменных. Частные производные. Ответ:   26 Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши.    Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным). Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие).  27 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Ответ: Многие задачи естествознания приводят к нахождению неизвестных функций, описывающих рассматриваемые явления или процессы, когда известны соотношения, связывающие между собой эти функции и их производные. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями. В качестве иллюстрации рассмотрим следующие примеры. 28. Методы решения дифференциальных уравнений. Ответ:  29 Понятие числового ряда. Сходимость и расходимость числовых рядов. Ответ:  30 Необходимый признак сходимости ряда. Признак сравнения. Признак Даламбера. Ответ: Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю:. Обратное в общем случае неверно, т.е., если, то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда: Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится. Или короче: если, то ряд расходится.     31 Понятие знакочередующегося ряда. Признак сходимости Лейбница. Ответ: Знакочередующимися рядами называются ряды, члены которых попеременно то положительны, то отрицательны. Чаще всего рассматриваются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через один: за каждым положительным следует отрицательный, за каждым отрицательным - положительный. Но встречаются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через два, три и так далее. Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних его члена имеют разные знаки, т.е. ряды вида u1 – u2 + u3 – u4 +… + un + …, где u1, u2, …, un, … положительны.  Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.Или в два пункта:1) Ряд является знакочередующимся.2) Члены ряда убывают по модулю:, причём, убывают монотонно.Если выполнены эти условия, то ряд сходится. 32 Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда. Ответ: Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда. Определение. Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно сходящимся. Приведенный выше признак в применении к абсолютно сходящимся рядам читается так: всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Такие ряды обладают рядом свойств, которые сформулируем без доказательства. 33 Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.   Действительно, областью сходимости степенного ряда является круг. При этом область сходимости, состоящую из одной точки, можно рассматривать как круг радиуса, а в случае сходимости ряда во всей комплексной плоскости как круг радиуса. Доказательство этого утверждения получается из основной теоремы теории степенных рядов — теоремы Абеля, которая формулируется и доказывается так же, как и в действительной области.  34 Понятие события. Достоверные, невозможные, совместные, несовместные, противоположные события. Классическое определение вероятности. Ответ: Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.  События называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.Пример совместных событий: выпадение чётного числа и выпадение числа, кратного трём, при броске игрального кубика. Когда выпадает шесть, реализуются сразу оба события.События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через. А, то другое принято обозначать A. Пример. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то A — промах. Пример. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные. 35 Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Ответ:  Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P (A) + P (B). Теорема умножения вероятностей взаимно зависимых событий. Вероятность произведения событий будет равна вероятности одного события из двух, умноженной на условную вероятность иного (при том, что есть первое), поэтому вычисляют его по формуле: P (A × B) = P (A) × P b (A) или же P (A × B) = P (A) × P a (B). 36 Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины. Ответ: Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Обозначают случайные величины буквами Х,Y,Z, а их возможные значения —х,у,z.    37. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Отклонение случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение случайной величины. Ответ: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть случайная величина X может принимать только значения х 1, х 2, ..., х п, вероятности которых соответственно равны р 1, р 2, ..., р п. Тогда математическое ожидание М (X) случайной величины X определяется равенством. М (X) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + x n p n. Отклонением называют разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием, т. е. x I - M (X).Пусть закон распределения дискретной случайной величины известен: X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p n. Тогда закон распределения отклонения этой случайной величины имеет вид: X-M (X) x 1 - M (X) x 2 - M (X) … x n - M (X). Среднеквадратическое отклонение случайной величины (или СКО случайной величины) показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения. Обозначение: σ (X), σ. В регрессионном анализе СКО характеризует достоверность линии тренда для прогнозирования. Среднеквадратическое отклонение связано с дисперсией случайной величины.  |