Белоусов. Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43
 Скачать 491.18 Kb.
|
|
∆ n = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n a n 1 a n 2 . . . a nn = X (−1) N a 1α 1 a 2α 2 . . . a nα n , (3.6) где сумма берется по всем перестановкам α 1 , α 2 , . . . , α n чисел 1, 2, . . . , n. Часто для обозначения определителя |A| квадратной матрицы A = = (a ij ) используется обозначение 6 det A или det (a ij ). Замечание 3.1 Из данного определения следует, что если какая–либо строка (или столбец) определителя состоит из одних нулей, то такой определитель равен нулю. Пример 3.4 Является ли произведение a 13 a 24 a 41 a 23 a 55 членом определителя 6 Обозначение происходит от английского слова determinant — определитель 32 ∆ 5 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 ? Решение. В произведении a 13 a 24 a 41 a 23 a 55 содержатся два элемента из второй строки (a 24 и a 23 ) и, следовательно, оно не может быть членом данного определителя. Пример 3.5 Является ли произведение a 23 a 31 a 42 a 56 a 14 a 65 членом определителя ∆ 6 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 a 61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 ? Решение. Произведение a 23 a 31 a 42 a 56 a 14 a 65 = a 14 a 23 a 31 a 42 a 56 a 65 содержит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данного опре- делителя и, следовательно, является его членом. Пример 3.6 С каким знаком в определитель 6–го порядка входит член a 23 a 31 a 42 a 56 a 14 a 65 ? Решение. Упорядочим матричные элементы в произведении таким образом, что- бы их первые индексы располагались в порядке возрастания: a 14 a 23 a 31 a 42 a 56 a 65 Тогда вторые индексы образуют перестановку 4, 3, 1, 2, 6, 5 . Определим число содержащихся в ней инверсий. Имеем последовательно: 4, 3, 1, 2, 6, 5 — 2 числа перед 1 , 4, 3, 2, 6, 5 — 2 числа перед 2 , 4, 3, 6, 5 — 1 число перед 3 , 4, 6, 5 — 0 чисел перед 4 , 6, 5 — 1 число перед 5 , 6 — 0 чисел перед 6 . Таким образом, N (4 3 1 2 6 5) = 2+2+1+0+1+0 = 6. Следовательно, перестановка является четной и рассматриваемый член a 23 a 31 a 42 a 56 a 14 a 65 входит в определитель со знаком “+”. 33 Пример 3.7 Вычислить определитель треугольной матрицы, элементы которой a ij = 0 при i > j: ∆ (>) tr (n) = a 11 a 12 a 1(n−1) a 1n 0 a 22 a 2(n−1) a 2n 0 0 . . . a (n−1)(n−1) a (n−1)n 0 0 0 a nn (3.7) Решение. Будем рассматривать только ненулевые члены данного определителя. Переберем последовательно элементы различных строк определителя (3.7), на- чиная с n–й строки. Единственным не равным нулю элементом этой строки яв- ляется a nn . Он войдет как сомножитель в каждый из рассматриваемых членов определителя. (n − 1)–я строка содержит два не равных нулю элемента — a (n−1)(n−1) и a (n−1)n Однако, элемент a (n−1)n располагается в том же столбце, что и a nn и поэтому не мо- жет войти в виде сомножителя ни в один из рассматриваемых членов (3.7). Таким образом, ненулевые члены определителя (3.7) содержат в качестве сомножителя число a (n−1)(n−1) a nn Очевидно, что из (n − 2)–й строки только элемент a (n−2)(n−2) может войти в виде сомножителя в отличные от нуля члены определителя. Продолжая этот процесс, мы найдем, что определитель (3.7) равен произведе- нию ее диагональных элементов a 11 a 22 . . . a (n−1)(n−1) a nn , взятым со знаком “+”, т. к. вторые индексы матричных элементов в этом про- изведении располагаются в возрастающей последовательности, если в такой же последовательности расположены их первые индексы. Имеем: ∆ (>) tr (n) = a 11 a 22 . . . a (n−1)(n−1) a nn (3.8) Замечание 3.2 Отметим, что результат (3.8) остается справедливым и в частном случае определителя диагональной матрицы: a 11 0 0 0 0 a 22 0 0 0 0 . . . a (n−1)(n−1) 0 0 0 0 a nn = a 11 a 22 . . . a (n−1)(n−1) a nn Отсюда следует, что определитель единичной матрицы n–го порядка E n равен единице , т. е. |E n | = 1 · 1 . . . · 1 | {z } n раз = 1. С ростом порядка определителя n резко возрастает число его членов n!. По- этому для вычисления определителей высокого порядка нецелесообразно исполь- зовать данное выше определение. В этих случаях следует применить формулы, позволяющие понизить порядок определителя. Эти формулы будут рассмотрены ниже. 34 4 Свойства определителей 4.1 Операция транспонирования Теорема 4.1 При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: A T = |A| . Доказательство. Действительно, определители A T и |A| состоят из одних и тех же членов, каждый из которых является произведением n элементов матри- цы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Поэтому достаточно убедиться, что одинаковые члены содержатся в этих определителях с одним и тем же знаком. Для этого заметим, что определитель A T = a 11 a 21 . . . a n 1 a 12 a 22 . . . a n 2 a 1n a 2n . . . a nn (4.1) может быть получен из определителя |A| = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n a n 1 a n 2 . . . a nn (4.2) посредством зеркального отражения всех его элементов относительно главной диаго- нали. Введем в рассмотрение некоторую прямоугольную систему координат, для ко- торой главная диагональ определителя является биссектрисой II–го и IV–го ко- ординатных углов (см. Рис. 5). Рассмотрим произвольную точку M(x, y) на плос- кости XOY . Очевидно, что зеркально отраженной относительно биссектрисы II–го и IV–го координатных углов будет точка M ′ (x ′ , y ′ ) = M ′ (−y, −x). Таким образом, в результате зеркального отражения координаты точки меняются местами и изменяют свой знак на противоположный. 6 - Y X O ``b ``b M(x, y) M ′ (−y, −x) Рис. 5 35 Рассмотрим теперь некоторый отрезок AB на плоскости XOY (см. Рис. 6). Его зеркальным отражением относительно биссектрисы II–го и IV–го координатных углов будет отрезок A ′ B ′ . Если y 1 < y, когда x 1 > x, то AB имеет положитель- ный наклон в смысле данного выше определения. Но тогда из равенств x ′ = −y, y ′ = −x, x ′ 1 = −y 1 , y ′ 1 = −x 1 следует, что y ′ 1 < y ′ , когда x ′ 1 > x ′ , т. е. отрезок A ′ B ′ также имеет положительный наклон. Аналогично, можно убедиться, что отрезок с отрицательным наклоном при зеркальном отражении переходит в отрезок с таким же наклоном. Но тогда число отрезков с отрицательным наклоном, соединяющих элементы данного члена определителя, не изменяется в результате зеркального отражения элементов относительно главной диагонали, т. е. в результате опера- ции транспонирования. Следовательно, не изменяется и знак этого члена опре- делителя. Таким образом, знаки всех членов сохраняются. Поэтому и величина определителя остается неизменной. 6 - Y X O b b B(x 1 , y 1 ) B ′ (x ′ 1 , y ′ 1 ) Рис. 6 b A(x, y) b A ′ (x ′ , y ′ ) Замечание 4.1 Теорема 4.1 устанавливает равноправие строк и столбцов определителя. Поэтому дальнейшие свойства мы будем формулировать и доказы- вать только для строк. Пример 4.1 Вычислить определитель треугольной матрицы, элементы которой a ij = 0 при i < j: ∆ (<) tr (n) = a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a (n−1)1 a (n−1)2 . . . a (n−1)(n−1) 0 a n 1 a n 2 a n (n−1) a nn Решение. Согласно Теореме 4.1, значение определителя ∆ (<) tr (n) не изменится, если его строки и столбцы поменять местами с сохранением порядка, т. е. перейти 36 к определителю транспонированной матрицы: ∆ (<) tr (n) = a 11 a 21 a (n−1)1 a n 1 0 a 22 a (n−1)2 a n 2 0 0 . . . a (n−1)(n−1) a n (n−1) 0 0 0 a nn Но тогда, используя результат (3.8) из Примера 3.7, найдем, что ∆ (<) tr (n) = a 11 a 22 . . . a (n−1)(n−1) a nn 4.2 Перестановка строк и столбцов Теорема 4.2 При перестановке местами двух строк матрицы ее определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда переставляются две сосед- ние строки, например i–я и (i + 1)–я. Очевидно, что определитель, полученный в результате такой перестановки строк, будет состоять из тех же самых членов, что и исходный. Каждый из них представляет собой произведение матричных элемен- тов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца и, следовательно, обязательно содержит в качестве сомножителей по одному элементу, принадлежа- щему i–й и (i + 1)–й строкам. Поэтому произвольный член определителя можно представить в виде a 1α 1 a 2α 2 . . . a iα i a (i+1) α (i+1) . . . a nα n (4.3) При перестановке i–й и (i + 1)–й строк этот член перейдет в a 1α 1 a 2α 2 . . . a (i+1) α i a i α (i+1) . . . a nα n (4.4) При этом, однако, происходит нарушение установленного порядка расположения матричных элементов в произведении, в соответствии с которым их первые ин- дексы должны располагаться в возрастающей последовательности. Этот порядок можно восстановить, если в произведении (4.4) поменять местами сомножители a (i+1) α i и a i α (i+1) . В результате, член (4.4) преобразованного определителя перепи- шется в виде a 1α 1 a 2α 2 . . . a iα (i+1) a (i+1) α i . . . a nα n (4.5) Поэтому, если α i > α (i+1) и, следовательно, до перестановки i–й и (i + 1)–й строк пара чисел α i и α (i+1) образовывала инверсию в последовательности α 1 , α 2 , . . ., α i , α (i+1) , . . ., α n , то после перестановки строк определителя эта инверсия исчезает. Наоборот, если α i < α (i+1) и, следовательно, до перестановки i–й и (i + 1)–й строк пара чисел α i и α (i+1) не составляла инверсии в последователь- ности α 1 , α 2 , . . . , α i , α (i+1) , . . . , α n , то после перестановки строк определителя эта инверсия возникнет. Из сравнения (4.3) и (4.5) видно, что в результате 37 рассматриваемого преобразования определителя все инверсии в последова- тельности α 1 , α 2 , . . ., α n , не связанные с парой чисел α i и α (i+1) , сохраняются и новые инверсии, не связанные с этой парой, не возникают. Эти утверждения следуют и из геометрического представления инверсии в пе- рестановке вторых индексов матричных элементов как отрезка отрицательного на- клона, соединяющего два элемента из разных строк определителя. Действительно, если отрезок, соединяющий элементы a iα i и a (i+1) α (i+1) , принадлежащие, соответ- ственно, i–й и (i + 1)–й строкам определителя, имеет положительный наклон (см. Рис. 7a), то после перестановки этих строк его наклон станет отрицательным (см. Рис. 7b). Наоборот, отрезок отрицательного наклона после перестановки строк приобрел бы положительный наклон. w w w w a i α i a i α i a (i+1) α (i+1) a (i+1) α (i+1) (a) (b) i i + 1 Рис. 7 i i + 1 i + 1 i Очевидно, что отрезки, соединяющие элементы i–й и (i + 1)–й строк с элементами других строк определителя, а также отрезки, соединяющие элементы других строк определителя между собой, не изменяют своего наклона при пере- становке i–й и (i + 1)–й строк. Таким образом, при перестановке i–й и (i + 1)–й строк полное число инверсий в последовательности α 1 , α 2 , . . . , α i , α (i+1) , . . . , α n вторых индексов матричных элементов, образующих члены определителя, изме- няется на единицу. Поэтому каждый член определителя, а следовательно, и сам определитель при перестановке строк меняет знак на противоположный. Если переставляются не соседние строки, а, например, i–я и (i + k)–я, то та- кую перестановку можно представить как последовательность k перестановок i–й строки с (i + 1)–й, (i + 2)–й, . . ., (i + k)–й, а затем (k − 1) перестановок (i + k)–й строки с (i + k − 1)–й, (i + k − 2)–й, . . ., (i + 1)–й. При этом знак определителя поменяется нечетное число k + (k −1) = = (2k −1) раз и, следовательно, изменится на противоположный. На Рис. 8 в качестве примера изображена последовательность операций, вы- полняемых при перестановке i–й и (i+ 4)–й строк определителя. Сначала следует переставить i–ю строку с (i + 1)–й, (i + 2)–й, (i + 3)–й и (i + 4)–й (Рис. 8(а)). Затем (i + 4)–ю строку переставим с (i + 3)–й, (i + 2)–й и (i + 1)–й (Рис. 8(b)). В результате этих 4 + 3 = 7 операций придем к определителю, у которого i–я и (i + 4)–я строки поменялись местами (Рис. 8(c)). 38 6 6 6 ? ? ? ? i i + 4 i i + 4 i i + 4 (a) (b) (c) Рис. 8 Следствие Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю. Доказательство. Перестановка этих строк не меняет вида определителя. С дру- гой стороны, согласно доказанному, он должен изменить свой знак. Таким обра- зом, ∆ = −∆ и, следовательно, ∆ = 0. 4.3 Линейность Теорема 4.3 Если все элементы i–й строки определителя |A| представлены в виде линейной комбинации двух слагаемых a ij = λ 1 b (1) ij + λ 2 b (2) ij (j = 1, 2, . . . , n) с коэффициентами λ 1 и λ 2 , то определитель |A| равен такой же линейной ком- бинации двух определителей: |A| = λ 1 B (1) + λ 2 B (1) , (4.6) у каждого из которых все строки, кроме i–й, такие же, как и у исходного опре- делителя |A|, а i-е строки определителей B (1) и B (2) состоят из элементов b (1) ij и b (2) ij , соответственно. Доказательство. В соответствии с определением, данным на стр. 32, определи- тель |A| можно представить в виде: |A| = X (−1) N a 1α 1 a 2α 2 . . . a (i−1)α (i−1) a iα i a (i+1)α (i+1) . . . a nα n , (4.7) где сумма берется по всем перестановкам α 1 , α 2 , . . . , α (i−1) , α i , α (i+1) , . . . α n , а N — число инверсии в каждой такой перестановке. 39 Согласно условиям теоремы, a iα i = λ 1 b (1) iα i + λ 2 b (2) iα i (4.8) Подставляя (4.8) в правую часть (4.7), получим: |A| = X (−1) N a 1α 1 a 2α 2 . . . a (i−1)α (i−1) λ 1 b (1) iα i + + λ 2 b (2) iα i a (i+1)α (i+1) . . . a nα n = = λ 1 X (−1) N a 1α 1 a 2α 2 . . . a (i−1)α (i−1) b (1) iα i a (i+1)α (i+1) . . . a nα n + +λ 2 X (−1) N a 1α 1 a 2α 2 . . . a (i−1)α (i−1) b (2) iα i a (i+1)α (i+1) . . . a nα n = = λ 1 B (1) + λ 2 B (2) Замечание 4.2 Теорему 4.3 можно сформулировать в более общей форме: если все элементы i–й строки определителя A (M ) представлены в виде линейной комбинации любого фиксированного числа M слагаемых a (M ) ij = M X l =1 λ l b (l) ij (j = 1, 2, . . . , n) (4.9) с коэффициентами λ l (l = 1, 2, . . . , M), то определитель A (M ) равен такой же линейной комбинации определителей: A (M ) = M X l =1 λ l B (l) , (4.10) у каждого из которых все строки, кроме i–й, такие же, как и у исходного опре- делителя A (M ) , а i–я строка определителя B (l) состоит из элементов b (l) ij Доказательство. Сгруппируем слагаемые в сумме (4.9) следующим образом: a (M ) ij = M − 1 X l =1 λ l b (l) ij + λ M b (M ) ij = a (M −1) ij + λ M b (M ) ij , (4.11) где j = 1, 2, . . . , n. Тогда, в соответствии с Теоремой 4.3, A (M ) = A (M −1) + λ M B (M ) , (4.12) причем A (1) = λ 1 B (1) (4.13) Соотношения типа (4.12) называются рекуррентными соотношениями. Из (4.11) и (4.13) находим: A (2) = A (1) + λ 2 B (2) = λ 1 B (1) + λ 2 B (2) , 40 A (3) = A (2) + λ 3 B (3) = λ 1 B (1) + λ 2 B (2) + λ 3 B (3) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · . (4.14) Равенства (4.13)–(4.14) позволяют предположить, что для любого M = 1, 2, . . . имеет место равенство A (M ) = M X l =1 λ l B (l) (4.15) Чтобы убедиться в этом, воспользуемся методом математической индукции. До- кажем, что из справедливости формулы (4.15) для произвольного значения M следует ее справедливость и для значения M + 1. Пусть a (M +1) ij = M X l =1 λ l b |