Белоусов. Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43

• Название: Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43
• Анкор: Белоусов
• Дата: 24.08.2019
• Размер: 491.18 Kb.
• Имя файла: Belousov2006ru 1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #85350
• страница: 11 из 11

Определение Матрица A называется ступенчатой, если она имеет вид:
A =











a
11
a
12
. . . a
1l
. . . a
1n
0
a
22
. . . a
2l
. . . a
2n
0 0
. . . a ll
. . . a ln
0 0
0 0
0 0
0 0











,
(11.1)
где a ii
6= 0, (i = 1, 2, . . . , l; l ≤ n).
После вычеркивания из (11.1) нулевых строк получим матрицу, имеющую l строк. Ее минор l–го порядка a
11
a
12
. . . a
1l
0
a
22
. . . a
2l
0 0
. . . a ll имеет треугольный вид и согласно (3.8) равен отличному от нуля произведению a
11
a
22
. . . a ll
. Поэтому этот минор является базисным и его порядок равен рангу ступенчатой матрицы, т. е. r = l.
Убедимся в том, что используя перечисленные элементарные преобразования в определенной последовательности, можно любую матрицу привести к ступен- чатому виду. Будем предполагать, что m ≤ n. Выполнения этого условия всегда можно достигнуть транспонированием исходной матрицы. Если матрица состоит из одних нулей, то ее ранг равен нулю. Предположим, что в матрице (1.1) имеется по крайней мере один элемент, отличный от нуля. Тогда, переставляя строки и
93

столбцы, можно перевести этот элемент в левый верхний угол матрицы: a
11 6= 0.
Теперь добьемся, чтобы в нуль обратились все элементы матрицы, расположенные ниже элемента a
11
. Для этого умножим элементы первой строки матрицы (1.1) на
−a k
1
/a
11
и прибавим их к соответствующим элементам k–й строки (k=2, 3, 4, . . .,
m). В результате получим матрицу










a
11
a
12
a
13
a
1(n−1)
a
1n
0
a
(1)
22
a
(1)
23
a
(1)
2(n−1)
a
(1)
2n
0
a
(1)
32
a
(1)
33
a
(1)
3(n−1)
a
(1)
3n
0
a
(1)
(m−1)2
a
(1)
(m−1)3
. . . a
(1)
(m−1)(n−1)
a
(1)
(m−1)n
0
a
(1)
m
2
a
(1)
m
3
a
(1)
m
(n−1)
a
(1)
mn










,
(11.2)
в которой a
(1)
ks
= a ks
−
a k
1
a
1s a
11
(k = 2, 3, 4, . . . , m ; s = 2, 3, 4, . . . , n)
— новые матричные элементы, полученные после первого шага преобразования исходной матрицы к ступенчатому виду. Обратим внимание на то, что в первом столбце матрицы (11.2) все элементы, расположенные ниже элемента a
11
, равны нулю. Этим завершается первый шаг преобразований исходной матрицы (1.1). В
дальнейшем мы не будем менять элементы первой строки и первого столбца, но,
возможно, будем переставлять их.
Если среди элементов, не принадлежащих первой строке и первому столбцу,
нет элементов, отличных от нуля, то матрица (1.1) имеет ступенчатый вид, при- чем ее ранг равен 1. Если же среди них имеется элемент, отличный от нуля, то переставляя строки и столбцы, переведем его на пересечение второй строки и вто- рого столбца: a
(1)
22 6= 0. Преобразуем полученную матрицу таким образом, чтобы все элементы, расположенные ниже матричного элемента a
(1)
22
, обратились в нули.
Для этого умножим элементы второй строки матрицы (11.2) на −a
(1)
k
2
/a
(1)
22
и при- бавим их к соответствующим элементам k–й строки, где k=3,4,. . . ,m. В результате получим матрицу










a
11
a
12
a
13
a
1(n−1)
a
1n
0
a
(1)
22
a
(1)
23
a
(1)
2(n−1)
a
(1)
2n
0 0
a
(2)
33
a
(2)
3(n−1)
a
(2)
3n
0 0
a
(2)
(m−1)3
. . . a
(2)
(m−1)(n−1)
a
(2)
(m−1)n
0 0
a
(2)
m
3
a
(2)
m
(n−1)
a
(2)
mn










,
(11.3)
в которой a
(2)
ks
= a
(1)
ks
−
a
(1)
k
2
a
(1)
2s a
(1)
22
(k = 3, 4, . . . , m ; s = 3, 4, . . . , n)
94

— новые матричные элементы, полученные после второго шага преобразования исходной матрицы к ступенчатому виду. Мы завершили второй шаг преобразо- ваний. В результате и в первом и во втором столбцах преобразованной матрицы
(11.3) равны нулю все матричные элементы, расположенные ниже элементов a
11
и a
(1)
22
, соответственно. Далее мы не будем менять элементы второй строки и второго столбца, но, возможно, будем переставлять их.
Продолжая процесс последовательного обращения в нуль матричных элемен- тов, расположенных ниже a
11
, a
(1)
22
, . . . , a
(l−1)
ll
, после (l−1)–го шага (l ≤ n) получим:















a
11
a
12
a
13
a
1l
. . . a
1(n−1)
a
1n
0
a
(1)
22
a
(1)
23
a
(1)
2l
. . . a
(1)
2(n−1)
a
(1)
2n
0 0
a
(2)
33
a
(2)
3l
. . . a
(2)
3(n−1)
a
(2)
3n
0 0
0 0
a
(l−1)
ll
. . . a
(l−1)
l
(n−1)
a
(l−1)
ln
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0















,
(11.4)
где a
(l−1)
ks
= a
(l−2)
ks
−
a
(l−2)
k
(l−1)
a
(l−2)
(l−1)s a
(l−2)
(l−1)(l−1)
(k = l, l + 1, . . . , m ; s = l, l + 1, . . . , n) .
Преобразованная матрица
13
имеет ступенчатый вид и ее ранг r = l.
Пример 11.1 Вычислить ранг матрицы
A =






−1 2
−2 −7 2
−1 1
5 3
1 1
4 2
0 2
6 1
3
−1 −4






Решение. Для того, чтобы число строк матрицы не превышало число ее столбцов,
транспонируем матрицу A:
A ∼




−1 2
3 2 1
2
−1 1 0 3
−2 1
1 2 −1
−7 5
4 6 −4




(11.5)
Умножим первую строку (11.5) на число 2 и прибавим результат ко второй строке. Затем умножим первую же строку на число −2 и прибавим результат к
13
Аналогичные преобразования уже использовалось нами в п. 6 для вычисления определите- лей.
95

третьей строке. Наконец, умножим первую строку на −7 и прибавим результат умножения к четвертой строке. В результате получим:
A ∼




−1 2
3 2
1 0
3 7
4 5
0
−3
−5
−2
−3 0
−9 −17 −8 −11




(11.6)
Прибавим вторую строку (11.6) к третьей строке. Затем умножим вторую же стро- ку на число 3 и прибавим результат к четвертой строке. Имеем:
A ∼




−1 2 3 2 1 0
3 7 4 5 0
0 2 2 2 0
0 4 4 4




(11.7)
Умножив третью строку (11.7) на −2 и прибавив результат умножения к четвертой строке, получим ступенчатую матрицу




−1 2 3 2 1 0
3 7 4 5 0
0 2 2 2 0
0 0 0 0




(11.8)
Очевидно, что любой минор 4–го порядка преобразованной матрицы (11.8) бу- дет равен нулю, т. к. содержит строку, состоящую из одних нулей. Поэтому ранг матрицы A не может быть равен 4. Из (11.8) видно, что r (A) = 3, т. к. имеется отличный от нуля минор третьего порядка
−1 2 3 0
3 7 0
0 2
= (−1) · 3 · 2 = −6 6= 0 .
Пример 11.2 Определить ранг матрицы
B =


4 0 −1 0 2 4
4 4 1


Решение. Прибавим первую строку матрицы B, умноженную на число −1, к ее третьей строке. Получим:
B ∼


4 0 −1 0 2 4
0 4 2


Умножим вторую строку полученной матрицы на −2 и прибавим результат умно- жения к третьей строке:
B ∼


4 0 −1 0 2 4
0 0 −6


Таким образом, исходная матрица 3–го порядка является невырожденной, так как ее определитель равен 4·2·(−6) = −48 6= 0. Соответственно, ранг данной матрицы r (B) = 3.
96

Пример 11.3 Найти ранг матрицы
C =


2
−1 2 − λ
−1 2
−1 − λ
2 − λ
λ
1 − 2λ


,
где λ — любое действительное число.
Решение. Сначала умножим вторую строку матрицы C на −1, а затем поменяем местами вторую и первую строки. В результате получим матрицу


1
−2 1 + λ
2
−1 2 − λ
2 − λ
λ
1 − 2λ


Умножим первую строку на число −2 и прибавим результат ко второй строке.
Затем умножим первую же строку на число −(2 − λ) и прибавим результат к третьей строке. Получим:


1
−2
(1 + λ)
0 3
−3λ
0 λ + 2 (2 − λ) 1 − 2λ − (1 + λ) (2 − λ)


=
=


1
−2 1 + λ
0 3
−3λ
0 4 − λ −1 − 3λ + λ
2


Разделим вторую строку последней матрицы на число 3:


1
−2 1 + λ
0 1
−λ
0 4 − λ −1 − 3λ + λ
2


Умножим вторую строку этой матрицы на −(4 − λ) и прибавим результат умно- жения к третьей строке:


1 −2 1 + λ
0 1
−λ
0 0
−1 − 3λ + λ
2
+ λ (4 − λ)


=


1 −2 1 + λ
0 1
−λ
0 0
−1 + λ


Таким образом, ранг исходной матрицы C равен r (C) =

2 при λ = 1 ,
3 при λ 6= 1 .
Пример 11.4 Определить ранг и найти все линейно независимые строки матри- цы
97

D =




1 2 3 4
4 5 6 7
2 4 6 8
5 7 9 11




(11.9)
Решение. Для нахождения ранга матрицы приведем ее к ступенчатому виду.
Умножим первую строку матрицы D на число −4 и прибавим ее ко второй стро- ке, затем умножим первую же строку на −2 и прибавим ее к третьей строке и,
наконец, умножим первую строку на −5 и прибавим ее к четвертой строке. В
результате получим:
D ∼




1 2
3 4
0 −3 −6 −9 0
0 0
0 0 −3 −6 −9




(11.10)
Умножим вторую строку (11.10) на −1 и затем прибавим ее к четвертой строке.
Получим матрицу
D ∼




1 2
3 4
0 −3 −6 −9 0
0 0
0 0
0 0
0




,
имеющую ступенчатый вид. Таким образом, базисный минор матрицы, эквива- лентной по рангу матрице D, имеет вид
1 2
0 −3
= −3 6= 0 .
Следовательно, r (D) = 2.
Так как порядок квадратной матрицы (11.9) равен четырем, а ее ранг — двум,
то число возможных сочетаний из четырех строк по две равно C
2 4
= 6. Поэтому существует шесть пар строк матрицы (11.9), которые могут оказаться линейно независимыми:
r
1
, r
2
;
r
1
, r
3
;
r
1
, r
4
;
r
2
, r
3
;
r
2
, r
4
;
r
3
, r
4
Всевозможные пары линейно независимых строк матрицы (11.9) и постро- енные на них базисные миноры матрицы D приведены в Таблице 1. В частности,
первые две строки r
1
=
1 2 3 4


и r
2
=
4 5 6 7


(11.11)
матрицы (11.9) линейно независимы, т. к. ее минор
1 2 4 5
= −3 6= 0 ,
построенный на элементах только этих двух строк, является базисным.
98

Линейно независимые строки
Базисный минор r
1
, r
2
,
1 2 4 5
= −3 ,
r
1
, r
4
,
1 2 5 7
= −3 ,
r
2
, r
3
,
4 5 2 4
= 6 ,
r
2
, r
4
,
4 5 5 7
= 3 ,
r
3
, r
4
,
2 4 5 7
= −7 ,
Таблица 1.
Все миноры, построенные на элементах строк r
1
и r
3
, равны нулю в силу про- порциональности этих строк: r
3
= 2r
1
. Поэтому строки r
1
и r
3
линейно зависимы.
Пример 11.5 Найти линейно независимые строки и столбцы матрицы (8.1) из
Примера 8.4.
Решение. Матрица (8.1) имеет размеры 4 × 6. Согласно результатам из Приме- ра 8.4, ее ранг равен 4. Поэтому все строки данной матрицы линейно независимы.
Согласно Теореме 10.2, число линейно независимых столбцов матрицы (8.1) также равно 4. Из данной матрицы можно “выкроить” C
4 6
= 15 миноров 4–го порядка.
Все они приведены в Примере 8.4. Согласно полученным там результатам, линей- но независимыми являются четырнадцать сочетаний из шести столбцов матрицы
(8.1) по четыре столбца:
c
1
, c
2
, c
3
, c
4
;
c
2
, c
3
, c
4
, c
5
;
c
1
, c
2
, c
3
, c
5
;
c
1
, c
2
, c
3
, c
6
;
c
2
, c
3
, c
4
, c
6
;
c
1
, c
2
, c
4
, c
5
;
c
1
, c
2
, c
4
, c
6
;
c
1
, c
3
, c
4
, c
5
;
c
1
, c
4
, c
5
, c
6
;
c
1
, c
2
, c
5
, c
6
;
c
2
, c
3
, c
5
, c
6
;
c
1
, c
3
, c
4
, c
6
;
c
1
, c
3
, c
5
, c
6
;
c
2
, c
4
, c
5
, c
6
Приведенные сочетания столбцов соответствуют базисным минорам ∆
(1)
4
, ∆
(2)
4
и
∆
(4)
4
— ∆
(15)
4
из Примера 8.4.
Столбцы c
3
, c
4
, c
5
, c
6 99

являются линейно зависимыми, т. к. минор ∆
(3)
4
, построенный на этих столбцах,
равен нулю.
Пример 11.6 Построить матрицу размера 4×5, имеющую ранг r = 2.
Решение. Запишем 2 одинаковые строки с 5 элементами в каждой, например,
r
1
=
1 2 3 4 5


,
r
2
=
1 2 3 4 5


,
а затем во второй строке изменим одно из чисел:
r
′
2
=
1 5 3 4 5


Строки r
1
и r
′
2
не являются пропорциональными, т.е. r
1 6= Cr
′
2
, где C — некоторое число. Недостающие две строки r
3
и r
4
получим составляя линейные комбинации строк r
1
и r
′
2
, например,
r
3
= r
1
+ 2r
′
2
,
r
4
= 2r
1
+ r
′
2
В результате получим матрицу




1 2
3 4
5 1
5 3
4 5
3 12 9 12 15 3
9 9 12 15




,
ранг которой равен 2.
Пример 11.7 Построить матрицу размера 4×5, имеющую ранг r = 1.
Решение. Запишем произвольную строку с 5 элементами, например,
r
1
=
1 2 3 4 5


Вторую строку получим умножая r
1
на произвольное число, например, 2:
r
2
=
2 4 6 8 10


Недостающие две строки r
3
и r
4
получим составляя линейные комбинации строк r
1
и r
2
, например,
r
3
= r
1
+ 2r
2
,
r
4
= 2r
1
+ r
2
В результате получим матрицу




1 2
3 4
5 2
4 6
8 10 5 10 15 20 25 4
8 12 16 20




,
ранг которой равен 1.
100

Литература
1. А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, — М.: Наука, 1971.
2. В. Ф. Ильин, Э. Г. Позняк, Линейная алгебра, — М.: Наука, 1974.
3. Г. Е. Шилов, Математический анализ (конечномерные линейные простран- ства), — М.: Наука, 1969.
4. Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман,
Высшая ма- тематика для экономистов, — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
5. И. Гоян, В. Марин, Элементы высшей алгебры: упражнения и задачи (для лицеев), — Кишинев: Эврика, 1998.
101