Белоусов. Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43
 Скачать 491.18 Kb.
|
|
Пример 8.1 Два минора 2–го порядка M 2 = 2 2 2 3 = 2 и M ′ 2 = 3 2 2 2 = 2 матрицы 1 6 8 7 0 2 2 4 0 2 3 2 5 3 2 2 равны минору 3–го порядка M 3 = 1 6 8 0 2 2 0 2 3 = 2 этой же матрицы. Замечание 8.1 Произвольный минор k–го порядка может равняться нулю или быть отличным от нуля. Докажем, что если все миноры k–го порядка матрицы A m×n равны нулю, то равны нулю и все ее миноры более высокого порядка. Доказательство. Если k = min {m, n}, то миноров (k + 1)–го порядка просто не существует. Если же k < min {m, n}, то согласно Теореме 5.1 разложение любого минора (k + 1)–го порядка данной матрицы по элементам (k + 1)–й строки пред- ставляет собой алгебраическую сумму произведений элементов (k + 1)–й строки на соответствующие миноры k–го порядка, которые, согласно исходному предпо- ложению, равны нулю. Поэтому равны нулю и все миноры (k + 1)–го порядка. Это, в свою очередь, влечет за собой равенство нулю всех миноров (k + 2)–го, (k + 3)–го и, наконец, (k + l)–го порядка, где l = = min {m, n} − k. Если среди матричных элементов a ij (i = 1, 2, . . . , m, j = = 1, 2, . . . , n) имеются отличные от нуля, то всегда можно указать натуральное число r, обла- дающее следующими свойствами: 1. Матрица A имеет отличный от нуля минор r–го порядка. 77 2. Всякий минор матрицы A, имеющий порядок r + 1 или выше (если таковые вообще существуют), равен нулю. Число r, обладающее указанными свойствами, называется рангом матрицы A. Иными словами, рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается как r (A) или rang A. Из данного определения следует, что: 1. Ранг произвольной матрицы A не превосходит наименьший из ее размеров: r (A) ≤ min {m, n} . 2. Если все элементы матрицы A равны нулю, то ранг такой матрицы равен нулю. 3. Если A — невырожденная квадратная матрица n–го порядка, то ее ранг совпадает с порядком матрицы: r = n. Теорема 8.1 Ранг подматрицы не может превосходить ранг матрицы. Доказательство. Пусть A 1 m 1 × n 1 — подматрица матрицы A m×n . Предположим, что r (A) < r (A 1 ). Согласно определению ранга матрицы, число r (A 1 ) есть наивысший порядок отличных от нуля миноров подматрицы A 1 матрицы A. Но всякий минор подматрицы является в то же время и минором самой матрицы. Следовательно, матрица A имеет отличный от нуля минор порядка r (A 1 ). Но тогда ее ранг не может быть меньше, чем r (A 1 ). Таким образом, предполагая выполнение нера- венства r (A) < r (A 1 ) мы пришли к противоречию. Следовательно, имеет место неравенство r (A 1 ) ≤ r (A). Неравенство r (A 1 ) ≤ r (A) связано с тем, что матрица A имеет большее число строк или столбцов, чем ее подматрица A 1 и, следовательно, большее число ми- норов одного и того же порядка. Кроме того, матрица A может иметь и миноры более высокого порядка, чем минимальный размер ее подматрицы A 1 , ограничи- вающий максимальной порядок ее миноров. Миноры матрицы A, не являющиеся одновременно минорами ее подматрицы A 1 , могут оказаться отличными от нуля. Поэтому ранг матрицы либо превосходит ранг любой ее подматрицы, либо равен ему. Тот минор r–го порядка, который отличен от нуля, называется базисным ми- нором матрицы A. Строки и столбцы, на пересечении которых располагается ба- зисный минор, называются, соответственно, базисными строками и базисными столбцами. Все остальные строки и столбцы матрицы будем называть небазис- ными. Подчеркнем, что под базисной строкой матрицы понимается отнюдь не отдельный ее фрагмент, входящий в базисный минор, а вся строка целиком. Это же замечание относится и к понятию базисного столбца. Вообще говоря, у матрицы A может оказаться несколько базисных миноров, но все они имеют один и тот же порядок r. Понятия базисных и небазисных строк или столбцов матрицы имеет смысл только по отношению к какому-либо конкретному базисному минору, т. е. если по отношению к одному минору какая-либо строка 78 является базисной, то по отношению к другому минору она может быть и небазис- ной. К обсуждению вопроса о неоднозначности выбора базисных строк и столбцов мы еще вернемся в Замечании 10.1. Если ранг матриц A размера m × n равен r, то полное число миноров r–го порядка, которые можно “выкроить” из A, равно произведению C r m C r n , однако, не обязательно все эти миноры являются базисными, т. к. некоторые из них могут равняться нулю. Пример 8.2 Вычислить ранг матрицы A = 1 0 −2 0 2 0 −4 0 3 0 −6 0 4 0 −8 0 Решение. Матрица A имеет четвертый порядок, поэтому r (A) ≤ 4. Она является вырожденной матрицей, т. к. содержит два нулевых столбца, т. е. два столбца, все элементы которых равны нулю. Кроме того, вырожденными являются и все квад- ратные подматрицы 3–го порядка, т. к. они имеют по одному нулевому столбцу. Таким образом, r (A) ≤ 2. Очевидно, что мы могли бы с самого начала отбросить нулевые столбцы мат- рицы A и вместо нее рассматривать матрицу ˜ A = 1 −2 2 −4 3 −6 4 −8 , ранг которой r( ˜ A) ≤ 2. В самом деле, миноры, включающие в себя фрагменты нулевого столбца (или строки) исходной матрицы, сами содержат нулевой столбец (или строку) и, следовательно, равны нулю. Любые два минора 2–го порядка матрицы ˜ A содержат пропорциональные столб- цы и поэтому их определители равны нулю. Следовательно, r( ˜ A) ≤ 1. Поскольку, однако, ˜ A имеет отличные от нуля элементы, ее ранг r( ˜ A) = r (A) = 1. Пример 8.3 Определить ранг матрицы B = 0 0 1 5 0 0 0 0 0 Решение. Данная матрица имеет один нулевой столбец (второй) и одну нулевую строку (третью). Отбрасывая нулевые строки и столбцы, получим невырожденную матрицу 2–го порядка 0 1 5 0 , определитель которой равен −5. Таким образом, ранг данной матрицы равен 2. 79 Пример 8.4 Определить ранг матрицы D = 5 6 0 0 1 2 3 4 1 −2 0 0 0 1 −1 −3 1 1 −2 0 −2 −1 0 −1 (8.1) и найти все ее базисные миноры. Решение. Наименьший из размеров матрицы D равен 4. Следовательно, r (D) ≤ 4. Вычислим определитель матрицы, получаемой из (8.1) вычеркиванием двух по- следних столбцов: ∆ (1) 4 = 5 6 0 0 3 4 1 −2 0 1 −1 −3 −2 0 −2 −1 = −45 . Таким образом, ∆ (1) 4 6= 0 и, следовательно, r (D) = 4. Полное число матриц 4–го порядка, которые можно получить из (8.1) вычер- киванием любых двух столбцов, равно C 4 4 C 4 6 = 15. Вычислим определители этих матриц: ∆ (2) 4 = 6 0 0 1 4 1 −2 0 1 −1 −3 1 0 −2 −1 0 = 45 , ∆ (3) 4 = 0 0 1 2 1 −2 0 0 −1 −3 1 1 −2 −1 0 −1 = 0 , ∆ (4) 4 = 5 6 0 1 3 4 1 0 0 1 −1 1 −2 0 −2 0 = 12 , ∆ (5) 4 = 5 6 0 2 3 4 1 0 0 1 −1 1 −2 0 −2 −1 = 15 , ∆ (6) 4 = 6 0 0 2 4 1 −2 0 1 −1 −3 1 0 −2 −1 −1 = 90 , ∆ (7) 4 = 5 6 0 1 3 4 −2 0 0 1 −3 1 −2 0 −1 0 = −39 , ∆ (8) 4 = 5 6 0 2 3 4 −2 0 0 1 −3 1 −2 0 −1 −1 = −60 , ∆ (9) 4 = 5 0 0 1 3 1 −2 0 0 −1 −3 1 −2 −2 −1 0 = 30 , 80 ∆ (10) 4 = 5 0 1 2 3 −2 0 0 0 −3 1 1 −2 −1 0 −1 = 12 , ∆ (11) 4 = 5 6 1 2 3 4 0 0 0 1 1 1 −2 0 0 −1 = 3 , ∆ (12) 4 = 6 0 1 2 4 1 0 0 1 −1 1 1 0 −2 0 −1 = −9 , ∆ (13) 4 = 5 0 0 2 3 1 −2 0 0 −1 −3 1 −2 −2 −1 −1 = 60 , Таким образом, только миноры ∆ (1) 4 , ∆ (2) 4 и ∆ (4) 4 — ∆ (15) 4 являются базисными. Замечание 8.2 При нахождении базисных строк и столбцов матрицы и вычис- лении ее ранга строки и столбцы можно переставлять произвольным образом. Доказательство. В самом деле, в произвольной матрице A выделим r базисных строк и столько же базисных столбцов. Элементы, расположенные на пересечении базисных строк и столбцов образуют подматрицу, определитель которой является базисным минором. Эту подматрицу можно “выкроить” из A, вычеркивая в ней все небазисные строки и столбцы. При этом безразлично, вычеркиваются ли такие строки и столбцы сразу или же после их произвольной перестановки. Перестановка базисных строк (столбцов) исходной матрицы A означает такую же перестановку соответствующих строк (столбцов) указанной подматрицы и, со- гласно Теореме 4.2, способна изменить лишь знак базисного минора. 9 Линейная зависимость строк и столбцов матрицы Произвольная матрица A m×n = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n a m 1 a m 2 . . . a mn (9.1) при помощи горизонтальных прямых может быть разбита на отдельные подматри- цы, каждая из которых представляет собой матрицу–строку размера 1 × n. Таким образом, имеется возможность рассмотрения исходной матрицы как некоторой но- вой матрицы–столбца A m×n = r 1 r 2 r m , (9.2) 81 элементами которой являются m указанных строк: r 1 = (a 11 a 12 . . . a 1n ) , r 2 = (a 21 a 22 . . . a 2n ) , r m = (a m 1 a m 2 . . . a mn ) . (9.3) Для обозначения элементов (9.3) матрицы (9.2) используется жирная буква r 11 , снабженная одним индексом, указывающим в каком порядке располагаются стро- ки в (9.2). Тем самым подчеркивается, что эти элементы являются, вообще говоря, матрицами, а не числами, функциями или алгебраическими выражениями. В соответствии с определением, данным на стр. 4, две строки матрицы будем считать равными, если они совпадают поэлементно, т. е. r k = r l , если a kj = a lj для всех j = 1, 2, . . . , n. Арифметические операции над строками матрицы (умножение на число, сло- жение) выполняются в соответствии с определениями, приведенными в п. 2: λr k = (λa k 1 λa k 2 . . . λa kn ) , (9.4) r k + r l = (a k 1 + a l 1 a k 2 + a l 2 . . . a kn + a ln ) . (9.5) Определение Строка r называется линейной комбинацией s строк r 1 , r 2 , . . . , r s , если существуют такие числа λ 1 , λ 2 , . . . , λ s , что r = λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + . . . + λ s r s (9.6) Частными случаями линейной комбинации являются сумма строк (когда λ 1 = λ 2 = . . . = λ s = 1) и произведение строки на число (когда s = 1). Если в линейной комбинации (9.6) положить λ 1 = λ 2 = . . . = λ s = 0 , то в результате получим r = O, где O = (0, 0, . . . , 0) — нулевая строка. Может оказаться, что правая часть (9.6) равна нулевой строке и когда не все коэффициенты λ i = 0, где i = = 1, 2, . . . , s. В этом случае говорят, что строки r 1 , r 2 , . . . , r s являются линейно зависимыми. Определение Строки r 1 , r 2 , . . . , r s матрицы называются линейно зависимы- ми, если найдутся такие числа λ 1 , λ 2 , . . . , λ s , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация r = λ 1 r 1 + +λ 2 r 2 + . . . + λ s r s равна нулевой строке, т. е. λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + . . . + λ s r s = O . (9.7) Пример 9.1 Строки матрицы 5 2 1 −1 3 3 9 7 5 3 8 7 11 Обозначение происходит от английского слова row — строка, ряд. 82 линейно зависимы, так как они связаны соотношением 4r 1 − r 2 − 3r 3 + 2r 4 = O , в котором все коэффициенты отличны от нуля. Между строками данной матрицы существуют и другие линейные зависимости, в которых некоторые из коэффици- ентов равны нулю, например, 2r 1 + r 2 − r 3 + 0r 4 = O , или 0r 1 + 3r 2 + r 3 − 2r 4 = O . Пример 9.2 Доказать, что если матрица состоит из одной строки r 1 , то эта строка будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда r 1 = O. Решение. Действительно, если r 1 = O, то, например, при λ 1 = 1 будет λ 1 r 1 = O. Обратно, если λ 1 r 1 = O и λ 1 6= 0, то, в соответствии с (9.4), r 1 = O. Строки, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно незави- симыми. Можно дать и “самостоятельное” определение линейной независимости строк: Определение Если линейная комбинация строк r = λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + . . . + λ s r s равна нулевой строке тогда и только тогда, когда все коэффициенты λ i = 0 (i = 1, 2, . . . , s), то строки r 1 , r 2 , . . . , r s называются линейно независимыми. Пример 9.3 Доказать, что строки единичной матрицы n–го порядка E n = 1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 . .. 0 0 0 0 . . . 1 линейно независимы. Решение. Составим равенство λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + . . . + λ n r n = O , (9.8) в котором r 1 = 1 0 0 . . . 0 , r 2 = 0 1 0 . . . 0 , r 3 = 0 0 1 . . . 0 , r n = 0 0 0 . . . 1 — строки единичной матрицы n–го порядка. Принимая во внимание (9.4) и (9.5), получим, что λ 1 λ 2 λ 3 . . . λ n = 0 0 0 . . . 0 , т. е. равенство (9.8) имеет место только когда λ 1 = λ 2 = . . . = λ n = 0. Следова- тельно, строки единичной матрицы линейно независимы. 83 Замечание 9.1 Характер линейных зависимостей между строками матрицы не меняется при произвольной перестановке ее строк или столбцов Доказательство. Предположим, что произвольные строки r p , r q , . . . , r s матрицы A m×n = (a ij ) линейно независимы. Это означает, что соотношение λ p r p + λ q r q + . . . + λ s r s = O (9.9) имеет место тогда и только тогда, когда λ p = λ q = . . . = λ s = 0. Очевидно, что это условие не зависит от того, в каком порядке располагаются строки в матрице. Для того, чтобы убедиться, что строки r p , r q , . . . , r s останутся линейно неза- висимыми и после произвольной перестановки столбцов матрицы, заметим, что в соответствии с правилами (9.4) и (9.5) равенство (9.9) представляет собой нe что иное, как компактную форму записи совокупности n равенств λ p a pj + λ q a qj + . . . + λ s a sj = 0 (j = 1, 2, . . . , n) , (9.10) каждое из которых соответствует отдельному значению индекса j, указывающего номер столбца, в котором располагается соответствующий матричный элемент. Очевидно, что изменение порядка расположения столбцов в матрице равносильно простой перестановке равенств с различным значением индекса j и не меняет совокупности условий (9.10) в целом. Если между произвольными строками r p , r q , . . . , r s матрицы A имеется линей- ная зависимость, то она сохранится и после произвольной перестановки ее строк и столбцов. В самом деле, если бы после перестановки строк и столбцов матрицы строки r p , r q , . . . , r s оказались линейно независимыми, то, выполняя все преобра- зования в обратном порядке, мы в соответствии с уже доказанным получили бы линейную независимость этих строк в исходной матрице A, т. е. пришли бы к противоречию. Теорема 9.1 Строки матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда одна из них является линейной комбинацией остальных строк. Доказательство. Действительно, пусть одна из строк r 1 , r 2 , . . . , r s , например последняя, является линейной комбинацией остальных, т. е. r s = λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + . . . + λ s− 1 r s− 1 Это равенство можно переписать в виде: λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + . . . + λ s− 1 r s− 1 + (−1) r s = O . (9.11) Соотношение (9.11) означает, что существует линейная комбинация строк r 1 , r 2 , . . . , r s , коэффициенты которой не все равны нулю (например, коэффициент при r s равен −1) и которая равна нулевой строке. Следовательно, строки r 1 , r 2 , . . . , r s являются линейно зависимыми. Докажем теперь обратное утверждение: если строки r 1 , r 2 , . . . , r s — линейно зависимы, т. е. равенство λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + . . . + λ s r s = O 84 имеет место хотя бы при одном λ i из всего набора i = 1, 2, . . . , s, отличном от нуля, то по меньшей мере одна из строк является линейной комбинацией остальных. Пусть для определенности в (9.7) λ s 6= 0. Тогда получим равенство r s = − λ 1 λ s r 1 + − λ 2 λ s r 2 + . . . + − λ s− 1 λ s r s− 1 , которое можно переписать в форме r s =˜ λ 1 r 1 + ˜ λ 2 r 2 + . . . + ˜ λ s− 1 r s− 1 , где ˜ λ i = − (λ i /λ s ); i = 1, 2, . . . , (s − 1). Таким образом, если λ s 6= 0, то s–я строка является линейной комбинацией остальных строк. Данная теорема проясняет происхождение термина “линейная зависимость”. Теорема 9.2 Если часть строк матрицы линейно зависимы, то и все эти стро- ки линейно зависимы. Доказательство. Пусть, например, строки r 1 , r 2 , . . . , r s− 1 линейно зависимы. Это означает, что равенство λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + . . . + λ s− 1 r s− 1 = O имеет место и в случае, когда не все числа λ i равны нулю. Тогда условие λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + . . . + λ s− 1 r s− 1 + λ s r s = O будет выполняться при тех же значениях λ |