Белоусов. Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43
 Скачать 491.18 Kb.
|
|
A 11 , найдем, что − ¯ A 12 = M 12 Пронося третий столбец исходного определителя на место второго, а затем и на место первого столбца, найдем, что ¯ A 13 = M 13 . Продолжая этот процесс, нетрудно установить, что ¯ A 1,j = M 1,j , если для того, чтобы разместить j–й столбец на месте 1–го, его необходимо последовательно переставить с четным числом 1, 2, . . . , (j − 1) столбцов, и ¯ A 1,j = −M 1,j — если с нечетным. В первом случае j должно быть нечетным числом, а во втором — четным. Следовательно, общее выражение для коэффициентов ¯ A 1j (j = 1, 2, . . . , n) разложения произволь- ного определителя n–го порядка (5.4) по элементам 1–й строки можно представить в форме: ¯ A 1,j = (−1) 1+j M 1,j (5.7) Для того, чтобы разложить определитель по элементам любой строки, доста- точно переставить эту строку на место первой, учитывая, что при каждой переста- новке строк определитель меняет знак на противоположный. В качестве примера разложим определитель (5.4) по элементам второй строки. Используя разложение (5.5) определителя (5.4) и полученный ранее результат (5.7), представим опреде- литель ∆ ′ n = a 21 a 22 . . . a 2n a 11 a 12 . . . a 1n a n 1 a n 2 . . . a nn в виде ∆ ′ n = a 21 (−1) 1+1 M 21 + a 22 (−1) 1+2 M 22 + . . . + a 2n (−1) 1+n M 2n Но тогда ∆ n = −∆ ′ n = = −a 21 (−1) 1+1 M 21 − a 22 (−1) 1+2 M 22 − . . . − a 2n (−1) 1+n M 2n = = a 21 (−1) 2+1 M 21 + a 22 (−1) 2+2 M 22 + . . . + a 2n (−1) 2+n M 2n = = a 21 ¯ A 21 + a 22 ¯ A 22 + . . . + a 2n ¯ A 2n , 49 где ¯ A 2,j = (−1) 2+j M 2,j Аналогично, можно разложить ∆ n по элементам третьей строки. Для этого переставим ее сначала со второй строкой определителя, а затем с первой строкой. В результате получим: ∆ n = a 31 ¯ A 31 + a 32 ¯ A 32 + . . . + a 3n ¯ A 3n , где ¯ A 3,j = (−1) 3+j M 3,j Очевидно, что разложение определителя по элементам i–й строки будет иметь вид: ∆ n = n X s =1 a is ¯ A is (i = 1, 2, . . . , n) . При этом коэффициенты разложения являются алгебраическими дополнениями элементов определителя ∆ n : ¯ A i,j = (−1) i +j M i,j = A i,j Следствие Сумма произведений n произвольных чисел b 1 , b 2 , . . . , b n на алгебраические дополнения элементов любой строки определителя n–го по- рядка ∆ n равна определителю ∆ (b) n , полученному из ∆ n заменой элементов этой строки числами b 1 , b 2 , . . . , b n Доказательство. Действительно, разлагая ∆ (b) n по элементам строки, состоящей из чисел b 1 , b 2 , . . . , b n , получим сумму их произведений на алгебраические допол- нения этой строки. Теорема 5.2 Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя n–го порядка на алгебраические дополнения элементов другой его строки равна нулю, т. е. n X s =1 a is A js = 0 при i, j = 1, 2, . . . , n и i 6= j . (5.8) Доказательство. Рассмотрим определитель ∆ n = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n a i 1 a i 2 . . . a in a j 1 a j 2 . . . a jn a n 1 a n 2 . . . a nn 50 и вспомогательный определитель ∆ ′ n = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n a i 1 a i 2 . . . a in a i 1 a i 2 . . . a in a n 1 a n 2 . . . a nn , полученный из ∆ n заменой j–й строки на i–ю. Согласно Следствию из Теоремы 4.2, определитель ∆ ′ n = 0 как имеющий две одинаковые строки. С другой стороны, его можно вычислить, разлагая по элементам j–й строки. Используя Теорему 5.1, находим: ∆ ′ n = n X s =1 a is A js = 0 при i, j = 1, 2, . . . , n и i 6= j . Замечание 5.2 Результаты теорем 5.1 и 5.2 можно объединить формулой n X s =1 a is A js = ∆ n δ ij при i, j = 1, 2, . . . , n , (5.9) в которой δ ij — символ Кронекера: δ ij = 1 при i = j 0 при i 6= j (5.10) Замечание 5.3 Согласно Замечанию 4.1, Теоремы 5.1 и 5.2 в равной степени применимы как к строкам, так и к столбцам определителя. В последнем случае формула (5.9) приобретает вид: n X s =1 a sj A si = ∆ n δ ij для i, j = 1, 2, . . . , n . (5.11) Пример 5.3 Вычислить произвольный определитель второго порядка, разложив его по элементам первого столбца. Решение. Имеем последовательно: ∆ 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 A 11 + a 21 A 21 = = a 11 (−1) 1+1 M 11 + a 21 (−1) 2+1 M 21 = = a 11 a 22 − a 21 a 12 = a 11 a 22 − a 12 a 21 Полученное выражение совпадает с определением (3.3). 51 Пример 5.4 Вычислить произвольный определитель третьего порядка, разложив его по элементам первой строки. Решение. Имеем: ∆ 3 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = = a 11 (−1) 1+1 M 11 + a 12 (−1) 1+2 M 12 + a 13 (−1) 1+3 M 13 = = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 − a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = = a 11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 (a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 − a 22 a 31 ) = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 Это выражение совпадает с (3.4). 6 Вычисление определителей Вычисление определителей второго и третьего порядков удобно проводить, ис- пользуя геометрические правила, изображенные на рисунках 3 и 4. Приведем два основных способа вычисления определителей высших порядков. 6.1 Приведение определителя к треугольному виду Используя доказанные в п. 4 свойства определителей, можно преобразовать исходный определитель к треугольному виду (3.7). Cогласно (3.8), такой опреде- литель равен простому произведению диагональных матричных элементов. Этот способ вычисления был использован нами в Примерах 4.2 – 4.3. Для более деталь- ного его обсуждения рассмотрим определитель общего вида ∆ n = a 11 a 12 a 13 a 1(n−1) a 1n a 21 a 22 a 23 a 2(n−1) a 2n a 31 a 32 a 33 a 3(n−1) a 3n a (n−1)1 a (n−1)2 a (n−1)3 . . . a (n−1)(n−1) a (n−1)n a n 1 a n 2 a n 3 a n (n−1) a nn , (6.1) и преобразуем его таким образом, чтобы все матричные элементы, расположенные ниже главной диагонали, обратились в нуль. Если все элементы первого столбца исходного определителя равны нулю, то, согласно Замечанию 3.1, такой определитель равен нулю. Предположим, что по 52 крайней мере один из элементов первого столбца отличен от нуля. Переставляя строки определителя с учетом Теоремы 4.2, можно добиться, чтобы этот элемент расположился в левом верхнем углу определителя. Меняя индексацию матричных элементов, мы получим определитель вида (6.1), в котором a 11 6= 0. Умножим эле- менты его первой строки на −a k 1 /a 11 и прибавим их к соответствующим элементам k–й строки (для каждого k=2,3,4,. . . ,n). Согласно Следствию 3 из Теоремы 4.3, это преобразование не меняет значения определителя. В результате получим опреде- литель ∆ n = a 11 a 12 a 13 a 1(n−1) a 1n 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 2(n−1) a (1) 2n 0 a (1) 32 a (1) 33 a (1) 3(n−1) a (1) 3n 0 a (1) (n−1)2 a (1) (n−1)3 . . . a (1) (n−1)(n−1) a (1) (n−1)n 0 a (1) n 2 a (1) n 3 a (1) n (n−1) a (1) nn , (6.2) в котором a (1) kl = a kl − a k 1 a 1l a 11 (k, l = 2, 3, 4, . . . , n) — новые матричные элементы, полученные после первого шага преобразования определителя (6.1) к треугольному виду. Обратим внимание на то, что в первом столбце определителя (6.2) все матричные элементы, расположенные ниже глав- ной диагонали, равны нулю. Дальнейшие преобразования не затрагивают элементов первой строки и пер- вого столбца определителя (6.2). Если все элементы второго столбца определителя (6.2), расположенные ниже его первой строки (т. е. элементы a (1) 22 , a (1) 32 , . . . , a (1) n 2 ) равны нулю, то такой опре- делитель равен нулю. В самом деле, разлагая (6.2) по элементам первого столбца, получим: ∆ n = a 11 ∆ (1) n , где ∆ (1) n = a (1) 22 a (1) 23 a (1) 2(n−1) a (1) 2n a (1) 32 a (1) 33 a (1) 3(n−1) a (1) 3n a (1) (n−1)2 a (1) (n−1)3 . . . a (1) (n−1)(n−1) a (1) (n−1)n a (1) n 2 a (1) n 3 a (1) n (n−1) a (1) nn Если a (1) 22 = a (1) 32 = . . . = a (1) n 2 = 0, то, согласно Замечанию 3.1, ∆ (1) n = 0 и, следова- тельно, ∆ n = 0. Предположим, что по крайней мере один из элементов a (1) 22 , a (1) 32 , . . . , a (1) n 2 от- личен от нуля. Переставим строки определителя (6.2) с учетом Теоремы 4.2 таким образом, чтобы этот элемент расположился во второй строке и во втором столбце 53 определителя. Меняя индексацию матричных элементов, мы получим определи- тель вида (6.2), в котором a (1) 22 6= 0. Умножим элементы его второй строки на −a (1) k 2 /a (1) 22 и прибавим их к соответствующим элементам k–й строки (для каждого k=3,4,. . . ,n). В результате получим определитель ∆ n = a 11 a 12 a 13 a 1(n−1) a 1n 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 2(n−1) a (1) 2n 0 0 a (2) 33 a (2) 3(n−1) a (2) 3n 0 0 a (2) (n−1)3 . . . a (2) (n−1)(n−1) a (2) (n−1)n 0 0 a (2) n 3 a (2) n (n−1) a (2) nn , (6.3) в котором a (2) kl = a (1) kl − a (1) k 2 a (1) 2l a (1) 22 (k, l = 3, 4, . . . , n) — новые матричные элементы, полученные после второго шага преобразования исходного определителя к треугольному виду. Заметим, что уже и в первом и во втором столбцах определителя (6.3) все матричные элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Дальнейшие преобразования не затрагивают элементов первой и второй стро- ки, а также первого и второго столбца определителя (6.3). Продолжая процесс последовательного обращения в нуль матричных элемен- тов, расположенных ниже главной диагонали определителя, после (r − 1)–го шага (r ≤ n) получим: ∆ n = a 11 a 12 a 13 a 1r . . . a 1(n−1) a 1n 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 2r . . . a (1) 2(n−1) a (1) 2n 0 0 a (2) 33 a (2) 3r . . . a (2) 3(n−1) a (2) 3n 0 0 0 0 a (r−1) rr . . . a (r−1) r (n−1) a (r−1) rn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , (6.4) где a (r−1) kl = a (r−2) kl − a (r−2) k (r−1) a (r−2) (r−1)l a (r−2) (r−1)(r−1) (k, l = r, r + 1, . . . , n) . При r < n определитель ∆ n = 0, так как содержит строки, состоящие из одних 54 нулей. Если же r = n, то (6.4) принимает треугольный вид ∆ n = a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 2n 0 0 a (2) 33 a (2) 3n 0 0 0 0 a (n−1) nn (6.5) и, как следует из Примера 3.7, равен произведению диагональных матричных эле- ментов: ∆ n = a 11 a (1) 22 a (2) 33 . . . a (n−1) nn (6.6) 6.2 Понижение порядка определителя Теорема 5.1 позволяет представить определитель n–го порядка в виде алгебраи- ческой суммы n определителей (n − 1)–го порядка, каждый из которых, в свою очередь, может быть представлен в виде алгебраической суммы (n − 1) определи- телей (n − 2)–го порядка и т. д.. Очевидно, что разложение определителя следует проводить по элементам той строки (или того столбца), которая содержит наиболь- шее количество нулей. Если же все матричные элементы определителя отличны от нуля, то можно, используя свойства определителя, преобразовать его таким образом, чтобы какая-либо строка или столбец содержали бы только один отлич- ный от нуля матричный элемент. В этом случае, согласно Теореме 5.1, исходный определитель n–го порядка с точностью до знака равен простому произведению указанного матричного элемента на определитель (n − 1)–го порядка, получаемый из преобразованного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересе- чении которых находится этот элемент. В частности, определитель n–го порядка (6.1) после первого шага проведенных выше преобразований имеет вид (6.2) и в со- ответствии с Теоремой 5.1 его разложение по элементам первого столбца приводит к результату: ∆ n = a 11 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 2(n−1) a (1) 2n a (1) 32 a (1) 33 a (1) 3(n−1) a (1) 3n a (1) (n−1)2 a (1) (n−1)3 . . . a (1) (n−1)(n−1) a (1) (n−1)n a (1) n 2 a (1) n 3 a (1) n (n−1) a (1) nn (6.7) После второго шага определитель (6.1) в правой части (6.7) приобретает вид ∆ (1) n− 1 = a (1) 22 a (1) 23 a (1) 2(n−1) a (1) 2n 0 a (2) 33 a (2) 3(n−1) a (2) 3n 0 a (2) (n−1)3 . . . a (2) (n−1)(n−1) a (2) (n−1)n 0 a (2) n 3 a (2) n (n−1) a (2) nn (6.8) 55 Его разложение по элементам первого столбца дает ∆ (1) n− 1 = a (1) 22 a (2) 33 a (2) 3(n−1) a (2) 3n a (2) (n−1)3 . . . a (2) (n−1)(n−1) a (2) (n−1)n a (2) n 3 a (2) n (n−1) a (2) nn (6.9) Продолжая эту процедуру, получим для определителя ∆ n уже известный нам ре- зультат (6.6). Пример 6.1 Вычислить определитель 5–го порядка ∆ 5 = −2 5 0 −1 3 1 0 3 7 −2 3 −1 0 5 −5 2 6 −4 1 2 0 −3 −1 2 3 Решение. В третьем столбце данного определителя уже имеются два нуля. Чтобы получить в этом столбце еще два нуля, умножим пятую строку на 3 и прибавим ко второй, а затем умножим эту же строку на −4 и прибавим к четвертой. После этой операции получим: ∆ 5 = −2 5 0 −1 3 1 −9 0 13 7 3 −1 0 5 −5 2 18 0 −7 −10 0 −3 −1 2 3 Разложим этот определитель по элементам третьего столбца: ∆ 5 = (−1) 3+5 (−1) −2 5 −1 3 1 −9 13 7 3 −1 5 −5 2 18 −7 −10 = = − −2 5 −1 3 1 −9 13 7 3 −1 5 −5 2 18 −7 −10 Преобразуем определитель в правой части полученного выражения. Умножим его вторую строку на 2 и прибавим к первой. Затем умножим эту же строку на −3 и прибавим к третьей. И наконец, умножим вторую строку на −2 и прибавим к четвертой. Преобразованный таким образом определитель разложим по элементам первого столбца. Имеем: ∆ 5 = − 0 −13 25 17 1 −9 13 7 0 26 −34 −26 0 36 −33 −24 = 56 = − (−1) 1+2 −13 25 17 26 −34 −26 36 −33 −24 = −13 25 17 26 −34 −26 36 −33 −24 Элементы второй строки определителя в правой части полученного выражения кратны числу 2, а элементы третьей строки — числу 3. Вынося общие множители каждой из указанных строк за знак определителя, находим: ∆ 5 = 2 · 3 −13 25 17 13 −17 −13 12 −11 −8 Прибавим теперь элементы второй строки к соответствующим элементам первой: ∆ 5 = 6 0 8 4 13 −17 −13 12 −11 −8 Элементы первой строки кратны числу 4, которое можно вынести за знак опреде- лителя: ∆ 5 = 6 · 4 0 2 1 13 −17 −13 12 −11 −8 Разложим полученный определитель по элементам первой строки: ∆ 5 = 24 −2 13 −13 12 −8 + 1 13 −17 12 −11 Элементы первой строки первого из определителей 2–го порядка в правой части данного выражения кратны числу 13, а элементы второй строки этого же опреде- лителя кратны числу 4. Вынося эти числа за знак определителя, получим: ∆ 5 = 24 −2 · 13 · 4 1 −1 3 −2 + 13 −17 12 −11 = 24 [−104 + (−143 + 204)] = −1032 . Пример 6.2 Вычислить определитель 4–го порядка ∆ 4 = 4 6 −2 4 1 2 −3 1 4 −2 1 0 6 4 4 6 Решение. Преобразуем исходный определитель таким образом, чтобы в 3–ей строке содержался только один отличный от нуля матричный элемент. Для этого умножим все элементы 3–го столбца на −4 и прибавим их к соответствующим эле- ментам 1–го столбца, затем умножим все элементы 3–го столбца на 2 и прибавим 57 их к соответствующим элементам 2–го столбца. Раскладывая преобразованный определитель по элементам 3-ей строки, найдем: ∆ 4 = 12 2 −2 4 13 −4 −3 1 0 0 1 0 −10 12 4 6 = 1 · (−1) 3+3 12 2 4 13 −4 1 −10 12 6 Полученный определитель 3–го порядка можно вычислить, используя графиче- ское правило, изображенное на Рис. 3, или с помощью Теоремы 5.1. Удобно, одна- ко, предварительно упростить этот определитель, преобразовав его таким образом, |