Белоусов. Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43
 Скачать 491.18 Kb.
|
|
a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d , (7.33) где a, b, c и d — некоторые действительные числа. Решение. Определитель матрицы (7.33) равен произведению ее диагональных матричных элементов: |F | = abcd . Поэтому матрица (7.33) является невырожденной и, следовательно, имеет обрат- ную, лишь если a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0. Составим расширенную матрицу a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (7.34) Преобразуем ее таким образом, чтобы матрица в левой части (7.34) превратилась в единичную. Для этого разделим первую строку (7.34) на a, вторую строку — 67 на b, третью строку — на c и четвертую строку — на d. В результате получим расширенную матрицу 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (1/a) 0 0 0 0 (1/b) 0 0 0 0 (1/c) 0 0 0 0 (1/d) , в правой части которой располагается матрица F − 1 = 1 a 0 0 0 0 1 b 0 0 0 0 1 c 0 0 0 0 1 d (7.35) Перемножая (7.33) и (7.35) убеждаемся, что F F − 1 = E. 7.3 Нахождение обратной матрицы методом Жордана–Гаусса Для более удобного использования метода элементарных преобразований строк расширенной матрицы (A|E) сформулируем геометрические правила, позволяю- щие относительно просто вычислять матричные элементы на каждом шаге преоб- разований. Определение Будем говорить, что столбец произвольной матрицы является единичным, если один из принадлежащих ему элементов равен единице, а все остальные равны нулю. Примеры единичных столбцов: 1 0 0 0 0 , 0 1 0 0 0 , 0 0 1 0 0 , . . . , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 1 Замечание 7.1 Единичная матрица состоит из разных единичных столбцов, ко- торые располагаются в ней в такой последовательности, чтобы равные едини- це матричные элементы принадлежали главной диагонали этой матрицы, а все остальные ее элементы равнялись нулю: E = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 (7.36) 68 Очевидно, что любую квадратную матрицу состоящую из разных единичных столб- цов можно перестановкой строк или столбцов преобразовать к единичной матрице. Запишем расширенную матрицу (A|E) указав в явном виде лишь элементы, расположенные на пересечении i–й и r–й строк и j–го и s–го столбцов матриц A и E (i, j, r, s = 1, 2, . . . , n, i 6= r, j 6= s): . . . a ij a is . . . a rj a rs . . . e ij . . . e is . . . e rj . . . e rs (7.37) Используя операции, перечисленные на стр. 63, преобразуем расширенную матри- цу (7.37) таким образом, чтобы ее левая часть превратилась в единичную матрицу. Заметим, что любой столбец матрицы A = (a ij ) должен содержать по край- ней мере один отличный от нуля элемент. В противном случае, согласно Заме- чанию 3.1, матрица A является вырожденной и, следовательно, обратная к ней матрица не существует. Пусть, например, элемент a rs , принадлежащий r–й строке и s–му столбцу матрицы A отличен от нуля: a rs 6= 0. Поместим его в рамку (см. (7.37)) и в дальнейшем будем называть разрешающим элементом. Строку и стол- бец расширенной матрицы, на пересечении которых располагается разрешающий элемент, будем также называть разрешающими. Добьемся , чтобы разрешающий столбец стал единичным. Для этого сначала разделим разрешающую стоку на разрешающий элемент: . . . a ij . . . a is . . . a (1) rj 1 e ij . . . e is . . . e (1) rj . . . e (1) rs (7.38) Здесь a (1) rj = a rj a rs , e (1) rj = e rj a rs , e (1) rs = e rs a rs (7.39) Далее, прибавим к элементам i–й строки матрицы (7.38) соответствующие эле- менты ее r–й строки, предварительно умноженные на −a is . В результате получим расширенную матрицу, левая часть которой содержит единичный столбец: . . . a (1) ij . . . 0 . . . . . . a (1) rj . . . 1 . . . . . . e (1) ij . . . e (1) is . . . e (1) rj . . . e (1) rs , (7.40) 69 Элементы разрешающей строки этой матрицы определяются формулами (7.39), а все остальные — выражениями: a (1) ij = a ij − a is a (1) rj = a ij − a is a rj a rs = a rs a ij − a is a rj a rs , (7.41) e (1) ij = e ij − a is e (1) rj = e ij − a is e rj a rs = a rs e ij − a is e rj a rs , (7.42) e (1) is = e is − a is e (1) rs = e is − a is e rs a rs = a rs e is − a is e rs a rs , (7.43) Этим завершается первый шаг преобразований расширенной матрицы (A|E) к виду (E|A − 1 ). Обратим внимание на то, что элементы (7.41) матрицы, расположенной в ле- вой части (7.40), могут быть получены сразу из (7.37) с помощью следующего геометрического правила “прямоугольника”. Рассмотрим прямоугольник, диаго- налью которого является отрезок, соединяющий искомый элемент a ij с разреша- ющим элементом a rs . В вершинах этого прямоугольника располагаются элементы a ij , a is , a rj , a rs (см. Рис. 9). r s s s a ij a is a rs a rj r s s s a is a ij a rj a rs Со знаком (+) Со знаком (−) Рис. 9 Заметим, что в числителе выражения (7.41) содержится алгебраическая сумма двух слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение двух мат- ричных элементов, расположенных по диагоналям в вершинах рассматриваемого прямоугольника. Произведение, включающее в себя разрешающий элемент, входит в алгебраическую сумму со знаком (+), а оставшееся произведение — со знаком (−). Разделив указанную алгебраическую сумму на разрешающий элемент a rs по- лучим матричный элемент a (1) ij матрицы (7.40). Вычисление элементов e (1) ij (j = 1, 2, . . . , n), расположенных в правой части матрицы (7.40) и определяемых формулами (7.42), (7.43), также может быть вы- полнено с помощью правила прямоугольника (см. Рис. 10). 70 r s s s a is e ij e rj a rs r s s s e ij a is a rs e rj Со знаком (+) Со знаком (−) Рис. 10 Таким образом, для преобразования матрицы (7.37) к виду (7.40) достаточно выполнить следующие операции. 1. Элементы разрешающей строки разделить на разрешающий элемент. 2. На месте разрешающего элемента записать число 1. Все остальные элементы разрешающего столбца следует положить равными нулю. 3. Для вычисления оставшихся элементов расширенной матрицы воспользо- ваться правилом прямоугольника. Все строки и столбцы матрицы в левой части (7.40) должны содержать по крайней мере один отличный от нуля элемент. В противном случае, матрица A является вырожденной и, следовательно, обратная к ней матрица не существует. Пусть, например, элемент a (1) pq , не принадлежащий r–й строке и s–му столбцу мат- рицы в левой части (7.40) отличен от нуля: a (1) pq 6= 0 (p 6= r, q 6= s). Выберем его в качестве нового разрешающего элемента и приступим ко второму шагу преобра- зований. Используя перечисленные операции, преобразуем (7.44) таким образом, чтобы новый разрешающий столбец (q–й) стал единичным. Существенно, что при этом единичный s–й столбец матрицы в левой части (7.44) не изменится. Для того, чтобы доказать это, запишем расширенную матрицу (A|E) указав в явном виде элементы, расположенные на пересечении i–й, p–й, r–й строк и j–го, q–го, s–го столбцов матриц A и E (i, j, p, q, r, s = 1, 2, . . . , n; i 6= p, r, j 6= q, s, p 6= r, q 6= s): a (1) iq . . . a (1) ij . . . 0 a (1) pq . . . a (1) pj . . . 0 a (1) rq . . . a (1) rj . . . 1 . . . e (1) iq . . . e (1) ij . . . e (1) is . . . e (1) pq . . . e (1) pj . . . e (1) ps . . . e (1) rq . . . e (1) rj . . . e (1) rs (7.44) 71 Согласно формулам (7.41) и (7.39): a (2) is = a (1) pq a (1) is − a (1) iq a (1) ps a (1) pq , (i = 1, 2, 3, . . . , n; i 6= p) , a (2) ps = a (1) ps a (1) pq Но a (1) is = δ ir при i = 1, 2, 3, . . . , n. Поэтому при p 6= r a (2) is = δ ir , (i = 1, 2, 3, . . . , n) , т.е. после второго шага преобразований единичный столбец матрицы (7.40) не из- менится, если новый разрешающий элемент не принадлежит прежним разрешаю- щим строке и столбцу. Выбирая каждый раз разрешающие элементы по одному из каждой строки и каждого столбца левой части матрицы (7.37) и выполняя аналогичные преобра- зования, после n–го шага получим в левой части расширенной матрицы матрицу, состоящую из разных единичных столбцов. Согласно Замечанию 7.1, простой пе- рестановкой строк эта матрица может быть преобразована к единичной. Тогда, в соответствии с методом элементарных преобразований строк, в правой части расширенной матрицы расположится матрица A − 1 , обратная к матрице A. Для контроля за вычислениями матричных элементов на каждом шаге преоб- разований удобно ввести в расширенную матрицу (7.37) дополнительный столбец, . . . a ij a is . . . a rj a rs . . . e ij . . . e is . . . e rj . . . e rs Σ i Σ r , (7.45) произвольный матричный элемент которого Σ i (i = 1, 2, . . . , n) равен сумме эле- ментов i–й строки матрицы (7.37): Σ i = n X j =1 a ij + n X j =1 e ij (7.46) Тогда после первого шага преобразований получим расширенную матрицу . . . a (1) ij . . . 0 . . . . . . a (1) rj . . . 1 . . . . . . e (1) ij . . . e (1) is . . . e (1) rj . . . e (1) rs Σ (1) i Σ (1) r , (7.47) в которой матричный элемент Σ (1) i = a rs Σ i − a is Σ r a rs (i = 1, 2, . . . , n) (7.48) 72 последнего столбца этой матрицы по-прежнему представляет собой сумму элемен- тов i–й строки матрицы (7.40). В самом деле, Σ (1) i = Σ i − a is a rs Σ r = = n X j =1 a ij + n X j =1 e ij ! − a is a rs n X j =1 a rj + n X j =1 e rj ! = = n X j =1 a ij − a is a rs a rj + n X j =1 e ij − a is a rs e rj = = n X j =1 a (1) ij + n X j =1 e (1) ij Пример 7.7 Методом Жордана–Гаусса найти матрицу, обратную к данной (см. Примеры 7.1, 7.2): A = 1 −1 1 2 1 1 1 1 2 (7.49) Решение. 1 −1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 5 5 ∼ ∼ 1 −1 1 0 3 −1 0 2 1 1 0 0 −2 1 0 −1 0 1 2 1 3 ∼ 1 −3 0 0 5 0 0 2 1 2 0 −1 −3 1 1 −1 0 1 −1 4 3 ∼ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1/5 3/5 −2/5 −3/5 1/5 1/5 1/5 −2/5 3/5 7/5 4/5 7/5 Следовательно, A − 1 = 1 5 1 3 −2 −3 1 1 1 −2 3 Этот результат совпадает с результатами, полученными в Примерах 7.1, 7.2. Пример 7.8 Методом Жордана–Гаусса найти матрицу, обратную к данной (см. Пример 7.3): B = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 (7.50) 73 Решение. 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3 2 ∼ ∼ 1 0 −1 0 1 1 0 0 1 1 −1 0 0 1 0 0 0 1 0 3 2 ∼ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 −1 1 0 1 −1 0 0 1 2 1 2 Следовательно, B − 1 = 1 −1 1 0 1 −1 0 0 1 Этот результат совпадает с полученным в Примере 7.3. Пример 7.9 Методом Жордана–Гаусса найти матрицу, обратную к матрице C = 0 1 1 2 (7.51) (см. Пример 7.4). Решение. 0 1 1 2 1 0 0 1 2 4 ∼ ∼ 0 1 1 0 1 0 −2 1 2 0 ∼ 1 0 0 1 −2 1 1 0 0 2 Следовательно, C − 1 = −2 1 1 0 Этот результат совпадает с полученным в Примере 7.4. Пример 7.10 Методом Жордана–Гаусса найти матрицу, обратную к матрице D = 1 2 1 2 3 2 1 2 1 , (7.52) если она существует. 74 Решение. 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 8 5 ∼ ∼ 1 2 1 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 −2 1 0 −1 0 1 5 −2 0 (7.53) Третья строка матрицы в левой части (7.53) состоит из одних нулей. Следователь- но, обратная к (7.52) матрица не существует (см. Пример 7.5). 7.4 Свойства невырожденных матриц Отметим следующие свойства: 1. |A − 1 | = |A| − 1 Доказательство. Используя Теорему 4.4, находим: A − 1 |A| = A − 1 A = |E| . Но определитель единичной матрицы любого размера равен единице (см. стр. 34), поэтому A − 1 |A| = 1 и следовательно, |A − 1 | = |A| − 1 2. (A − 1 ) − 1 = A. Доказательство. Действительно, умножая это равенство на A − 1 справа и учитывая определение матрицы, обратной к матрице A − 1 , получим: A − 1 − 1 A − 1 = E . (7.54) С другой стороны, из определения матрицы, обратной к матрице A, следует, что A A − 1 = E . (7.55) Принимая во внимание единственность обратной матрицы из (7.54) и (7.55), получаем, что (A − 1 ) − 1 = A. 3. (A m ) − 1 = (A − 1 ) m Доказательство. В самом деле, из определения матрицы, обратной к мат- рице A m , следует, что (A m ) − 1 A m = E или (A m ) − 1 AA . . . A | {z } m раз = E . 75 Умножим это равенство справа на A − 1 m = A − 1 A − 1 . . . A − 1 | {z } m раз Имеем: (A m ) − 1 AA . . . A | {z } m раз A − 1 A − 1 . . . A − 1 | {z } m раз = A − 1 m Учитывая, что AA − 1 = E, получим: (A m ) − 1 = (A − 1 ) m 4. (AB) − 1 = B − 1 A − 1 Доказательство. Действительно, из определения матрицы, обратной к матрице (AB), следует, что (AB) − 1 (AB) = E . Умножая это равенство справа на произведение B − 1 A − 1 и учитывая, что BB − 1 = E и AA − 1 = E, получим: (AB) − 1 = B − 1 A − 1 5. (A − 1 ) T = A T − 1 Доказательство. Транспонируя равенства A − 1 A = E и AA − 1 = E, учтем Свойство 4 операции транспонирования (см. стр. 25) и очевидное соотно- шение E T = E. В результате получим: E = A − 1 A T = A T A − 1 T (7.56) и E = AA − 1 T = A − 1 T (A) T (7.57) Принимая во внимание определение обратной матрицы и ее единственность, из (7.56) и (7.57) находим, что (A − 1 ) T = A T − 1 8 Ранг матрицы Рассмотрим произвольную матрицу A размера m × n и натуральное число k, такое, что k ≤ min {m, n}. Вычеркивая в матрице A произвольным образом (m−k) строк и (n − k) столбцов, можно “выкроить” из нее квадратные подматрицы (т. е. матрицы, хотя бы один из размеров которых меньше соответствующего раз- мера исходной матрицы) k–го порядка. Определители этих подматриц называют минорами k–го порядка данной матрицы. Определение Минором k–го порядка 10 матрицы A называется определитель k–го порядка с элементами, расположенными на пересечении любых k строк и лю- бых k столбцов матрицы A. 10 Данное определение минора k–го порядка обобщает приведенное на стр. 46 определение ми- нора матричного элемента квадратной матрицы . В последнем случае из квадратной матрицы n–го порядка вычеркиваются не любые, а вполне определенные одна строка и один столбец (на пересечении которых располагается заданный матричный элемент). В результате получается минор (n − 1)–го порядка. 76 Полное число миноров k–го порядка, которые можно “выкроить” из матрицы A размера m × n, составляет C k m C k n , где C k n = n! k! (n − k)! — число сочетаний из n элементов по k. Например, из матрицы A 3×4 можно получить 12 миноров первого, 18 миноров второго и 4 минора третьего порядков. Так как, согласно определению, минор k–го порядка представляет собой не что иное, как определитель k–го порядка, т. е. некоторое число, то очевидно, что одна и та же матрица может иметь равные миноры различных порядков. |