Белоусов. Учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев 2006 удк 519. 612 (075) b 43
 Скачать 491.18 Kb.
|
|
n P j =1 m P i =1 a ij . Следовательно, m P i =1 n P j =1 a ij ! = n P j =1 m P i =1 a ij , т. е. в двойной сумме можно менять порядок суммирования . Поэтому в дальнейшем мы будем опускать скобки при записи двойной суммы, полагая, что m P i =1 n P j =1 a ij = n P j =1 m P i =1 a ij 12 Пример 2.10 Вычислить произведение матриц A = 3 −2 5 и B = (1 − 1 2 2) . Решение. A 3×1 B 1×4 = 3 −3 6 6 −2 2 −4 −4 5 −5 10 10 Пример 2.11 Вычислить произведения матриц AB и AC, если A = 2 −1 4 5 , B = 1 2 0 −1 , C = 1 2 0 Решение. A 1×4 B 4×1 = (2 − 2 + 0 − 5) = (−5) , Произведение A 1×4 C 3×1 не существует т. к. число столбцов матрицы A (равное четырем) не равно числу строк матрицы C (равному трем). Имеют место следующие свойства: 1. Свойство дистрибутивности относительно суммы матриц: если сумма B + C и произведение AB существуют, то A (B + C) = AB + AC. Доказательство. В самом деле, если сумма B +C существует, то это озна- чает, что матрицы B, C и F = B + C имеют один и тот же размер. Поэтому, если определено произведение AB = L , то определены произведения AC = Q, AF = G и сумма R = L + Q , причем матрицы G и R имеют один и тот же размер. Пусть k — число столбцов матрицы A. Используя правила сложения и умно- жения матриц, получаем, что g ij = k X s =1 a is f sj = k X s =1 a is (b sj + c sj ) = = k X s =1 a is b sj + k X s =1 a is c sj = l ij + q ij = r ij 13 для всех i=1,2,. . . ,m и j=1,2,. . . ,n. В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что G = R, т. е. A (B + C) = = AB + AC. Аналогично можно доказать, что если сумма A + B и произведение AC су- ществуют, то (A + B) C = AC + BC. 2. Свойство ассоциативности относительно числового множителя: если про- изведение AB существует, то λ (AB) = (λA) B = = A (λB). Доказательство. Так как при умножении матрицы на число ее размеры не меняются, то из предположения о существовании произведения AB = F следует, что произведения LB = U и AQ = V , в которых L = λA и Q = λB , также существуют. При этом матрицы U,V и λF = G имеют один и тот же размер. Пусть k — число столбцов матрицы A. Используя определения операций про- изведения матриц и умножения матрицы на число, получаем, что g ij = λf ij = λ k X s =1 a is b sj = k X s =1 λa is b sj = k X s =1 l is b sj = u ij , g ij = λf ij = λ k X s =1 a is b sj = k X s =1 a is λb sj = k X s =1 a is q sj = v ij для всех i=1,2,. . . ,m и j=1,2,. . . ,n. В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что G = U = V , т. е. λ (AB) = = (λA) B = A (λB). 3. Свойство ассоциативности при умножении матриц: если произведения AB и BC существуют, то A (BC) = (AB) C. Доказательство. Выберем размеры матриц A, B и C таким образом, что- бы произведения BC = F и AB = G существовали: B k×l C l×n = F k×n , A m×k B k×l = G m×l Тогда произведения A m×k F k×n = L m×n и G m×l C l×n = Q m×n 14 также существуют и являются матрицами одного и того же размера. Докажем, что все элементы матрицы L равны соответствующим элементам матрицы Q. Используя определение операции умножения матриц, получим, что l ij = k X s =1 a is f sj = k X s =1 a is l X r =1 b sr c rj = = l X r =1 k X s =1 a is b sr ! c rj = l X r =1 g ir c rj = q ij для всех i=1,2,. . . ,m и j=1,2,. . . ,n. В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что L = Q, т. е. A (BC) = = (AB) C. Операция умножения матриц имеет ряд специфических свойств, отличающих ее от аналогичной операции для обычных чисел. • Если произведение матриц AB существует, то произведение BA может не существовать. Пример 2.12 Вычислить произведения AB и BA, если A = 2 3 1 −1 0 1 , B = 2 1 −1 1 3 −2 0 2 1 Решение. A 2×3 B 3×3 = 2 3 1 −1 0 1 2 1 −1 1 3 −2 0 2 1 = 7 13 −7 −2 1 2 Произведение BA не существует, т. к. число столбцов матрицы B (равное трем) не равно числу строк матрицы A (равному двум). • Если даже произведения AB и BA существуют, то они могут оказаться матрицами разных размеров. Пример 2.13 Вычислить произведения матриц AB и BA, если A = (a 1 a 2 . . . a n ) , B = b 1 b 2 b n Решение. A 1×n B n× 1 = (a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n ) = n X s =1 a s b s ! , B n× 1 A 1×n = b 1 b 2 b n (a 1 a 2 . . . a n ) = b 1 a 1 b 1 a 2 . . . b 1 a n b 2 a 1 b 2 a 2 . . . b 2 a n b n a 1 b n a 2 . . . b n a n 15 Замечание 2.2 В примерах 2.11 и 2.13 возникают матрицы размера 1×1, состо- ящие из одной строки и одного столбца. Эти матрицы не могут быть отож- дествлены с обычными числами: A 1×1 = (a 11 ) 6= a 11 . В самом деле, согласно дан- ному на стр. 6 определению, на произвольное число λ можно умножить любую матрицу, в то время как на матрицу размера 1 × 1 можно умножить справа лишь матрицу–столбец, а слева — лишь матрицу–строку. Пример 2.14 Вычислить произведения матриц AB и BA, если A = 2 1 1 0 3 2 , B = 0 3 1 5 −1 1 Решение. A 2×3 B 3×2 = C 2×2 = = 2 · 0 + 1 · 1 + 1 · (−1) 2 · 3 + 1 · 5 + 1 · 1 0 · 0 + 3 · 1 + 2 · (−1) 0 · 3 + 3 · 5 + 2 · 1 = 0 12 1 17 , B 3×2 A 2×3 = D 3×3 = = 0 · 2 + 3 · 0 0 · 1 + 3 · 3 0 · 1 + 3 · 2 1 · 2 + 5 · 0 1 · 1 + 5 · 3 1 · 1 + 5 · 2 (−1) · 2 + 1 · 0 (−1) · 1 + 1 · 3 (−1) · 1 + 1 · 2 = = 0 9 6 2 16 11 −2 2 1 • Легко понять, что оба произведения AB и BA существуют и являются матрицами одинакового размера лишь в случае квадратных матриц A и B одного и того же порядка 2 . Однако, даже в этом случае коммутативный (переместительный) закон умножения может не иметь места, т. е. AB может не равняться BA. Пример 2.15 По данным A = 1 0 0 0 и B = 0 0 1 0 найти AB и BA. Решение. AB = 1 0 0 0 0 0 1 0 = 0 0 0 0 = O , 2 Действительно, каждое из произведений A n×m B k×l и B k×l A n×m существует, если m = k и l = n. Они будут матрицами одного и того же размера, если n = k и l = m. Таким образом, m = n = k = l, т. е. A и B — квадратные матрицы одного и того же порядка. 16 BA = 0 0 1 0 1 0 0 0 = 0 0 1 0 Таким образом, AB 6= BA. Из данного примера видно, что из равенства AB = O еще не следует, что A = O или B = O! Нетрудно убедиться, что при умножении единичная матрица играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел: единичная матрица n–го порядка пере- становочна с любой квадратной матрицей A того же порядка, причем AE = EA = A . (2.12) Чтобы доказать это, введем обозначения: AE = F , EA = G. Используя правило умножения матриц и определение единичной матрицы e ij = 1, при i = j , 0, при i 6= j , (2.13) находим, что для всех i, j = 1, 2, . . . , n f ij = n X s =1 a is e sj = a ij , g ij = n X s =1 e is a sj = a ij Обратим внимание на то, что квадратная матрица E является единственной матрицей, удовлетворяющей условию (2.12) при ее умножении на любую квад- ратную матрицу A того же порядка. Действительно, если бы существовала еще матрица E ′ с таким же свойством, то мы имели бы E ′ E = E ′ , E ′ E = E, т. е. E ′ = E. Замечание 2.3 Отметим, что с помощью единичной матрицы операция умно- жения матрицы на число λ может быть представлена как умножение этой матрицы на некоторую другую матрицу: λ A m×n = λ E m×m A m×n = λ E m×m A m×n = Λ m×m A m×n , λ A m×n = λ A m×n E n×n = A m×n λ E n×n = A m×n Λ n×n , где Λ — диагональная матрица вида Λ = λ 0 0 · · · 0 0 λ 0 · · · 0 0 0 0 · · · λ Замечание 2.4 Если AB = O при любом B, то A = O. Если AB = O при любом A, то B = O. Доказательство. В самом деле, выбирая в качестве матрицы B единичную матрицу E, получим: A = AE = O. Полагая же A = E, найдем: B = EB = O. 17 Пример 2.16 Вычислить произведения A (α) A (β) и A (β) A (α) если A (α) = cos α − sin α sin α cos α Решение. Сначала найдем произведение A (α) A (β): A (α) A (β) = cos α − sin α sin α cos α cos β − sin β sin β cos β = = cos α cos β − sin α sin β − cos α sin β − sin α cos β sin α cos β + cos α sin β − sin α sin β + cos α cos β = = cos (α + β) − sin (α + β) sin (α + β) cos (α + β) (2.14) Для того, чтобы найти A (β) A (α), достаточно в произведении A (α) A (β) выполнить замену α ↔ β. Из результата (2.14) видно, что полученное выражение симметрично относительно указанной замены. Поэтому A (β) A (α) = A (α) A (β). Пример 2.17 Доказать, что матрица A = 1 0 0 0 1 0 3 1 2 перестановочна с матрицей B = α β 0 γ δ 0 3ǫ − 3α − γ ǫ − 3β − δ ǫ , в которой α, β, γ, δ, ǫ — произвольные действительные числа. Решение. AB = 1 0 0 0 1 0 3 1 2 α β 0 γ δ 0 3ǫ − 3α − γ ǫ − 3β − δ ǫ = = α β 0 γ δ 0 6ǫ − 3α − γ 2ǫ − 3β − δ 2ǫ BA = α β 0 γ δ 0 3ǫ − 3α − γ ǫ − 3β − δ ǫ 1 0 0 0 1 0 3 1 2 = = α β 0 γ δ 0 6ǫ − 3α − γ 2ǫ − 3β − δ 2ǫ = AB . 18 2.5 Возведение в степень Целой положительной степенью a m (m > 1) числа a называется произведение m чисел, равных a, т. е. a m = a a . . . a | {z } m раз , причем a 0 = 1 если a 6= 0. Аналогичную операцию можно определить и в случае матриц, понимая под целой положитель- ной степенью A m матрицы A произведение A m = AA . . . A | {z } m раз . Это произведение имеет смысл лишь в случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк той же самой матрицы A. Поэтому операцию возведения матрицы в целую положитель- ную степень удается определить только для квадратных матриц. Определение Под нулевой степенью квадратной матрицы A понимается еди- ничная матрица того же порядка что и A, т. е. A 0 = E. Целой положительной степенью A m (m > 0) квадратной матрицы A называется произведение m матриц, равных A, т. е. A m = AA . . . A | {z } m раз Имеют место следующие соотношения: 1. A m A k = A m +k Доказательство. A m A k = = AA . . . A | {z } m раз AA . . . A | {z } k раз = AA . . . A | {z } m +k раз = A m +k при m 6= 0, k 6= 0 , E AA . . . A | {z } k раз = AA . . . A | {z } k раз = A k = A 0+k при m = 0, k 6= 0 , AA . . . A | {z } m раз E = AA . . . A | {z } m раз = A m = A m +0 при m 6= 0, k = 0 , EE = A 0 = A 0+0 при m = 0, k = 0 , т. е. A m A k = A m +k 2. (A m ) k = A mk Доказательство. (A m ) k = = A m A m . . . A m | {z } k раз = = A m . . . A m | {z } m раз A m . . . A m | {z } m раз . . . A m . . . A m | {z } m раз | {z } k раз = = AA . . . A | {z } mk раз = A mk при m 6= 0, k 6= 0 , A 0 k = E k = EE . . . E | {z } k раз = E = A 0 при m = 0, k 6= 0 , (A m ) 0 = E = A 0 при m 6= 0, k = 0 , A 0 0 = E 0 = E = A 0 при m = 0, k = 0 , 19 т. е. (A m ) k = A mk Пример 2.18 Найти A n , если A = 1 1 −1 −1 Решение. Имеем: A 2 = 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 = 0 0 0 0 = O , A n = A 2 A n− 2 = OA n− 2 = O при n ≥ 3 . Этот пример показывает, что из равенства A m = O еще не следует, что A = O! Пример 2.19 Вычислить f (A), если f (x) = x 2 − x − x 0 и A = 2 1 1 3 1 2 1 −1 0 Решение. f (A) = = 2 1 1 3 1 2 1 −1 0 2 1 1 3 1 2 1 −1 0 − 2 1 1 3 1 2 1 −1 0 − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = = 8 2 4 11 2 5 −1 0 −1 + −2 −1 −1 −3 −1 −2 −1 1 0 + −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 = = 5 1 3 8 0 3 −2 1 −2 Пример 2.20 Найти действительные числа p и q, при которых матрица A = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 удовлетворяет уравнению A 3 = pA 2 + qA. Решение. Имеем: A 2 = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 = 2 0 2 0 1 0 2 0 2 , (2.15) A 3 = AA 2 = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 2 0 1 0 2 0 2 = 4 0 4 0 1 0 4 0 4 (2.16) 20 Подставим (2.15) и (2.16) в уравнение A 3 = pA 2 + qA: 4 0 4 0 1 0 4 0 4 = 2p 0 2p 0 1p 0 2p 0 2p + q 0 q 0 q 0 q 0 q (2.17) Из (2.17) получим следующую систему уравнений для определения p и q: 2p + q = 4 , p + q = 1 . (2.18) Решая эту систему, находим: p = 3, q = −2. Пример 2.21 Пусть A = 1 a 0 1 , где a — некоторое действительное число. 1. Вычислить A n 2. Показать, что матрица A удовлетворяет уравнению 2x 4 − 3x 3 + x 2 − x + x 0 = O, в котором O — нулевая матрица того же порядка, что и A. 3. Доказать, что матрица A перестановочна с матрицей B = α β 0 α , в которой α, β — произвольные действительные числа. 4. Найти n P m =1 A m Решение. 1. A 2 = 1 a 0 1 1 a 0 1 = 1 2a 0 1 , A 3 = AA 2 = 1 a 0 1 1 2a 0 1 = 1 3a 0 1 , A 4 = AA 3 = 1 a 0 1 1 3a 0 1 = 1 4a 0 1 Приведенные равенства позволяют нам предположить, что для любого n = 1, 2, . . . A n = 1 na 0 1 (2.19) 21 Чтобы убедиться в этом, докажем, что из справедливости формулы (2.19) для произвольного значения n следует ее справедливость и для значения n + 1: A n +1 = AA n = 1 a 0 1 1 na 0 1 = 1 (n + 1) a 0 1 Полученный результат означает, что если формула (2.19) справедлива для n = 4, то она справедлива и при n = 5; если (2.19) справедлива для n = 5, то она справедлива и при n = 6 и т. д.. Используемый способ доказательства называется методом математической индукции. 2. Подставив найденные выражения для A n (n = 1, 2, 3, 4) в уравнение 2x 4 − 3x 3 + x 2 − x + x 0 = O, получим: 2 1 4a 0 1 − 3 1 3a 0 1 + 1 2a 0 1 − 1 a 0 1 + 1 0 0 1 = = 2 − 3 + 1 − 1 + 1 8a − 9a + 2a − a + 0 0 2 − 3 + 1 − 1 + 1 = 0 0 0 0 = O . 3. Докажем, что AB = BA. Имеем: AB = 1 a 0 1 α β 0 α = α β + αa 0 α BA = α β 0 α 1 a 0 1 = α αa + β 0 α = AB . 4. Вычислим P n m =1 A m : n X m =1 A m = n X m =1 1 ma 0 1 = n P m =1 1 a n P m =1 m 0 n P m =1 1 = = n as n 0 n Здесь s n = n X m =1 m = 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 2) + (n − 1) + n | {z } n слагаемых = = n (n + 1) 2 (2.20) 22 |